Collège Jules Ferry Session 2012 Diplôme National du Brevet Blanc n 1 Epreuve de Mathématiques Durée 2 heures L emploi des calculatrices est autorisé (circulaire n 99 186 du 16 Novembre 1999 publiée au B.O. n 42 du 25 Novembre 1999) En plus des points prévus pour chacune des trois parties de l épreuve, la présentation, la rédaction et l orthographe seront évaluées sur 4 points. Activités numériques (12 points) LE SUJET EST À RENDRE AVEC LA COPIE Exercice 1 (4 points) Effectuer les calculs suivants en écrivant les étapes intermédiaires et en donnant les résultat sous la forme d une fraction irréductible pour le A, le C et le D. A = 7 15 2 15 9 4 B = ( 48 + 54) ( 28 42) 49 : 7 C = 6 5 17 14 : 5 7 D = 3 8 + 5 8 13 15 3 5 Exercice 2 (4 points) On considère le programme de calcul ci-dessous : Choisir un nombre Ajouter 1 Calculer le carré du résultat obtenu Lui soustraire le carré du nombre de départ Ecrire le résultat final 1. Vérifier que lorsque le nombre de départ est 1, on obtient 3 au résultat final. Lorsque le nombre de départ est 2, quel résultat final obtient-on? 2. Le nombre de départ étant x, exprimer le résultat final en fonction de x. 3. On considère l expression P = ( x + 1) ² x ². Développer puis réduire l expression P. 4. Quel nombre de départ doit-on choisir pour obtenir un résultat final égal à 16. Exercice 3 (4 points) On considère l expression suivante : E = ( 2 x 3 ) ² + ( 2 x 3 ) ( x + 8 ) 1. Développer puis réduire E. 2. Factoriser E. 3. Calculer l expression E quand x = 4 4. Résoudre l équation ( 2 x 3 ) ( 3 x + 5 ) = 0 1/3
Activités Géométriques (12 points) Exercice 1 : QCM (1 point par réponse juste, 0,5 point par réponse fausse, 0 point pour absence de réponse) On considère la figure suivante qui n est pas en vraie grandeur où : AB = 8,4 cm, BE = 3,5 cm, CD = 4,2 cm, (AC) (BE) et (BE) // (CD) Le QCM (Question à Choix Multiple) ci-dessous concerne cette figure : E 3,5 cm D 4,2 cm Vous y répondrez en associant à chaque numéro de question, la lettre de la réponse correspondant, et sans donner d explication. Ecrire la réponse de la façon suivante : "question 6 : réponse b " A 8,4 cm B C réponse a réponse b réponse c Question 1 : la longueur AE vaut : 7,6 cm 58,31 cm 9,1 cm Question 2 : la longueur AC vaut : 12,4 cm,08 cm cm Question 3 : la mesure de l angle EAB vaut environ : 67 13,5 23 Question 4 : l aire du triangle EBA, en cm², vaut : 11,9 14,7 21 Question 5 : le périmètre du triangle EBA, en cm, vaut : 21 14,7 5,95 Exercice 2 (7 points) On veut calculer l aire de la figure ci-dessous qui n est pas en vraie grandeur. On a : AC = 7,5 cm, BC = DE = 6 cm, CD = 8 cm CE = cm A a ) Prouve que le triangle DEC est rectangle. 7,5 b ) Calcule l aire du triangle DEC. C c ) Prouve que : (AB) // (DE) d ) En déduire que le triangle ABC est rectangle. e ) Prouve que AB = 4,5 cm 6 f ) En déduire l aire du triangle ABC. B g ) Déduire des questions b et f l aire de la surface grise. 8 D 6 E Problème (12 points) Partie A (2 points) Voici un tableau de proportionnalité donnant la vitesse exprimée en nœuds et la vitesse exprimée en mètres par seconde correspondante. Compléter le tableau ci-dessous sur cette feuille. Vitesse mesurée en nœuds... 1,028 1,285 1,542 Vitesse mesurée en m/s 1 2... 3 2/3
Partie B (4,5 points) Une barque traverse une rivière en partant d un point A d une rive pour arriver en un point B sur l autre rive. On suppose que ABC est rectangle en C. On note α la mesure de l angle a BAC. La traversée de A vers B s effectue à la vitesse constante de 1,542 nœud et dure 50 secondes. 1. Exprimer cette vitesse en m/s. 2. Montrer que la distance parcourue AB est de 150 m. 3. Sachant que α = 60, calculer la largeur AC de la rivière. Partie C (5,5 points) Les points A et B sont distants de 150 mètres. Au même moment : un nageur part de A et se dirige vers B, à vitesse constante de 1 m/s ; une pirogue part de B et se dirige vers A, à la vitesse constante de 1,028 nœud. 1. a. A quelle distance du point A se trouve le nageur 30 s après son départ? b. A quelle distance du point A se trouve la pirogue 30 s après son départ? 2. Soit t le temps nécessaire pour parcourir une distance. La distance entre le point A et le nageur est alors donnée par le calcul d = 1 t et celle entre le point A et la pirogue est donnée par le calcul D = 150 2t. On veut déterminer de deux façons différentes l instant où le nageur et la pirogue vont se croiser. a. Dans le graphique ci-contre, on a représenté les distances du nageur et de la pirogue par rapport à A en fonction du temps. y distance ( en m) pirogue nageur Déterminer alors graphiquement au bout de combien de temps le nageur et la pirogue vont se croiser. On laissera apparents les traits de construction sur cette feuille. b. Retrouver ce temps en résolvant une équation. 0 temps (en s) x Formulaire : On rappelle que, si d est une distance, v une vitesse et t un temps, alors on a la formule v = d t 3/3
CORRECTION DU PREMIER BREVET BLANC Activités numériques (12 points) Exercice 1 (4 points : 1 1-1 1) : A = 7 15 2 15 9 4 = 7 15 2 3 3 2 2 3 5 = 7 15 3 = 14 30 9 30 = 5 30 = 1 6 B = ( 48 + 54) ( 28 42) 49 : 7 = 6 ( 14 ) 7 = 84 7 = 91 C = 6 5 17 14 : 5 7 = 6 5 17 14 7 5 = 6 5 17 7 2 7 5 = 6 5 17 = 12 17 = 5 = 1 2 D = 3 8 + 5 8 13 15 3 5 = 3 8 + 5 8 13 15 9 15 = 3 8 + 5 8 4 15 = 3 8 + 5 4 2 4 3 5 = 3 8 + 1 6 = 9 24 + 4 24 = 13 24 Exercice 2 (4 points : 0,5 0,5 1 1 1) 1. ( 1 + 1 ) ² 1 = 2² 1 = 4 1 = 3 ( 2 + 1 ) ² 2² = 3² 4 = 9 4 = 5 2. ( x + 1 ) ² x ² 3. P = ( x + 1 ) ² x ² = x ² + 2 x + 1 x ² = 2 x + 1 4. Soit x le nombre de départ. On cherche à résoudre 2 x + 1 = 16 donc 2 x = 15 donc x = 7,5 Pour que le résultat final soit égal à 16, il faut que le nombre de départ soit 7,5. Exercice 3 (4 points : 1 1 1 1) 1. E = ( 2 x 3 ) ² + ( 2 x 3 ) ( x + 8 ) = 4 x ² 12 x + 9 + 2 x ² + 16 x 3 x 24 = 6 x ² + x 15 2. E = ( 2 x 3 ) ² + ( 2 x 3 ) ( x + 8 ) = ( 2 x 3 ) ( 2 x 3 + x + 8 ) = ( 2 x 3 ) ( 3 x + 5 ) 3. Si x = 4, alors E ( 4 ) = ( 2 4 3 ) ² + ( 2 4 3 ) ( 4 + 8 ) = ( 8 3 ) ² + ( 8 3 ) 4 = ( 11 ) ² + ( 11 ) 4 = 121 44 = 77 4. Pour qu un produit soit nul il faut et il suffit que l un de ses facteurs soit nul. Soit 2 x 3 = 0 donc 2 x = 3 donc x = 3 2 Donc les solutions de cette équation sont 3 2 et 5 3 Soit 3 x + 5 = 0 donc 3 x = 5 donc x = 5 3 Activités Géométriques Exercice 1 : (5 points) CBCBA Exercice 2 (7 points : 1,5 0,5 1,5 1 1,5 0,5 0,5) : a ) Dans le triangle DEC on a : CE² = ² = 0 et CD² + DE² = 8² + 6² = 0 donc CE² = CD² + DE² D où le triangle DEC est rectangle en D d après le théorème réciproque de Pythagore. b ) L aire du triangle rectangle DEC est L l CD DE = = 8 6 = 24 cm² 2 2 2 c ) Les point A, C, E et B, C, D sont alignés dans le même ordre. On a : CB CD = 6 CA et 8 CE = 7,5. Or 6 = 60 et 8 7,5 = 60. Les produits en croix sont égaux donc les fractions sont égales, donc CB CD = CA CE Les droites (AB) et (DE) sont donc parallèles d après le théorème réciproque de Thalès. d ) Les droites (AB) et (DE) étant parallèles, la droite (BD) qui est perpendiculaire à (DE) est aussi perpendiculaire à (AB). Autrement dit : le triangle ABC est rectangle en B.
e ) J applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B : On a AC² = AB² + BC² donc AB² = AC² BC² = 7,5² 6² = 20,25 donc AB = 20,25 = 4,5 cm Remarque : on pouvait aussi utiliser le théorème de Thalès pour trouver le résultat. f ) L aire du triangle rectangle ABC est L l BC BA = = 6 4,5 = 13,5 cm² 2 2 2 g ) L aire de la figure vaut donc : 24 + 13,5 = 37,5 cm² Problème (12 points) Partie A (2 points : 1 1) Vitesse mesurée en nœuds 0,514 1,028 1,285 1,542 Vitesse mesurée en m/s 1 2 2,5 3 Partie B (4,5 points : 1 1,5 2) 1. D après le tableau ci-dessus, une vitesse de 1,542 nœuds correspond à une vitesse de 3 m/s. 2. On sait que d = v t Donc d = 3 50 = 150. La distance parcourue AB est de 150 m. 3. Dans le triangle ABC rectangle en C : cos( a BAC) = AC AB cos (60) = AC donc AC = cos (60) 150 = 75. La largeur de la rivière est de 75 mètres. 150 Partie C (5,5 points : 1 2 1 1,5) Les points A et B sont distants de 150 mètres. Au même moment : un nageur part de A et se dirige vers B, à vitesse constante de 1 m/s ; une pirogue part de B et se dirige vers A, à la vitesse constante de 1,028 nœud. 1. a. Le nageur parcourt un mètre en une seconde. En 30 secondes, il parcourt donc 30 mètres et se trouve donc à 30 mètres de A. b. Une vitesse de 1,028 noeuds correspond à une vitesse de 2 m/s. En 30 secondes, la pirogue parcourt donc 2 30 = 60 mètres. Mais elle part de B. 150 60 = 90. La pirogue se trouve donc à 90 mètres de A. 2. a. Graphiquement, on trouve t = 50 s. 2. b. Il faut donc que les deux distances d et D soient égales. d = D t = 150 2t 3t = 150 t = 150 3 = 50 On retrouve bien le temps de 50 secondes.