Eléments de correction : Mines-ponts lière MP Première composition (3h)

Eléments de correction : Mines-ponts 010 - lière MP Première composition 3h 1. La fonction t fe it C est continue et périodique par composition f est continue sur T et t e it est continue, -périodique sur et arrive bien dans T. Ainsi c n est bien déni pour tout n Z et on a même par croissance de l'intégrale à bornes croissantes : n Z, c n f où f = sup f désigne la norme innie de f, la fonction f étant bornée sur car elle y est continue et périodique. Ainsi, pour z de D, les séries géométriques f z n et f z n, de raisons z < 1 et z < 1, sont convergentes et par comparaison, les séries c n z n et c n z n sont absolument convergentes donc convergentes car C est complet. Finalement, la fonction g f est bien dénie sur D tout entier. Au passage, nous avons obtenu que le rayon de convergence de chacune des séries entières c n z n et c n z n est supérieur ou égal à 1.. Soit x 0 ; y 0 D, montrons que S admet une dérivée partielle par rapport à x en x 0 ; y 0 autrement dit que s : x Sx; y 0 est bien dénie au voisinage de x 0 et qu'elle est dérivable en x 0. Soit ε = 1 x 0 + iy 0 / > 0 et ρ = 1 + x 0 + iy 0 / < 1 car x 0 ; y 0 est dans D. Pour tout x dans ]x 0 ε; x 0 + ε[, l'inégalité triangulaire donne : x + iy 0 x 0 + iy 0 + x x 0 x 0 + iy 0 + ε = ρ Ainsi x + iy 0 appartient à l'ouvert de convergence de la série entière dénissant S puisque son rayon de convergence est au moins égal à 1 et ρ > 1. Ainsi s est déni sur le voisinage I =]x 0 ε; x 0 +ε[ de x 0. Considérons la suite de fonctions dénies par f n : x I a n x + iy 0 n pour tout n N. Par dénition, la série f n converge simplement vers s sur I autrement dit s = f n sur I. Vérions les hypothèses du théorème de dérivation terme à terme : Pour tout n N, f n est de classe C 1 sur I par composition. De plus, f nx = na n x + iy 0 n 1 pour tout x de I. La série f n converge simplement sur I vers s. La série des dérivées f n converge normalement donc uniformément car C est complet sur I. En eet, pour tout n de N : x I, f nx = n a n x + iy 0 n n a n ρ n 1 donc n a n ρ n 1 majore { f nx ; x I} et à ce titre est plus grand que son plus petit majorant f n. Or les ouverts de convergence d'une série entière et de sa série dérivée sont confondus, donc la série à termes positifs n a n ρ n 1 converge car 0 < ρ < 1 est dans l'ouvert de convergence de la série entière a n z n donc dans celui de na n z n 1. Ainsi la série f n à termes positifs converge i.e. f n converge normalement sur I par comparaison à la série à termes positifs n a n ρ n 1 convergente. Le théorème de dérivation de dérivation terme à terme assure donc que s est de classe C 1 sur I donc en x 0 et que s = f n. En particulier s x 0 = na n x 0 + iy 0 n 1 = na n x 0 + iy 0 n 1. 1

Finalement, nous avons que S admet une dérivée partielle selon x en tout point de D donnée par : S x x 0; y 0 = na n x 0 + iy 0 n 1 = n + 1a n+1 x 0 + iy 0 n x 0 ; y 0 D Soit u la somme sur D de la série entière n + 1 = a n+1 z n de la variable complexe z ; comme D est est inclus dans l'ouvert de convergence de u car c'est le même que celui de a n z n, u est bien déni et continue comme fonction de la variable z sur D. Ainsi e S x = ũ est continue comme fonction de deux variables sur D. 3. Soit la suite dénie par b n = i n a n pour tout n N. La série entière b n z n a même rayon de convergence que a n z n car b n = a n pour tout n, donc on peut appliquer la question précédente à b n z n : ainsi, en notant W : z D une dérivée partielle par rapport à x sur D donnée par x 0 ; y 0 D, W y x 0; y 0 = b n z n = Siz, la fonction W : x; y S y; x admet n + 1i n+1 a n+1 x 0 + iy 0 n = i n + 1a n+1 ix 0 y 0 n Ainsi comme Sx; y = W y; x pour tout x; y de D, par composition on en déduit que S admet une dérivée partielle selon y en tout point de D donnée par : x 0 ; y 0 D S y x 0; y 0 = W x y 0; x 0 = i na n iy 0 x 0 n 1 = i n + 1a n+1 x 0 + iy 0 n = i S x x 0; y 0 Et cette fonction est continue sur D comme fonction de deux variables. Ainsi S admet une dérivée partielle selon x et selon y en tout point de D et ces fonctions sont continues comme fonctions de deux variables sur D ce qui prouve que S est de classe C 1 sur D. Soit la suite dénie par d n = n + 1a n+1 pour tout n N. La série entière d n z n a même rayon de convergence que a n z n dont elle est la série dérivée formelle, donc on peut appliquer la question précédente et le premier point de la question 3 à d n z n ce qui permet de conclure que ũ : x 0 ; y 0 D d n x 0 + iy 0 n = S x x 0; y 0 est de classe C 1 sur D. On a même x 0 ; y 0 D, S x x 0; y 0 = n + a n+ x 0 + iy 0 n et S y x x 0; y 0 = i n + a n+ x 0 + iy 0 n On en déduit par multiplication par i que i S e = S e est aussi de classe x y C1 sur D et donc la fonction S est de classe C sur D, on a de plus trouvé : x 0 ; y 0 D S x x 0; y 0 = n + a n+ x 0 + iy 0 n et S y x 0; y 0 = i S x x 0; y 0 = S x x 0; y 0 Donc par somme Sz = 0 pour tout z de D.

4. D'après la question 1, les séries entières c n z n de somme S + et c n z n de somme S sont de rayon de convergence supérieur à 1, donc d'après la question 3, les fonctions S + et S sont de classe C sur D et de laplacien nul. Par somme et composition, la fonction g f : x; y D S + x; y + S x; y c 0 est de classe C sur D i.e. g f est C sur D et par linéarité de la dérivation : z D, g f z = g f x + g f ez; Imz = S y + z + S z 0 = 0 5. Soit z dans D, par dénition des c n et linéarité de l'intégrale, on a c n z n = 1 fe it e int z n dt Les fonctions u n : t [; π] fe it e int z n sont continues par composition et la série u n converge uniformément car normalement sur le segment [; π] : en eet pour tout t de [; π], on a u n t z n f, donc u n z n f d'où la convergence de la série à termes positifs un par comparaison à la série géométrique z n f convergente car de raion z < 1. Ainsi, on peut intégrer terme à terme u n sur [; π], ce qui donne c n z n = 1 = 1 + fe it e int z n dt fe it 1 1 e it z 1 dt = 1 Pour les des raisons similaires, on obtient c n z n = 1 π + fe it e int z n dt = 1 1 fe it 1 e it z 1 dt = 1 ze fe it it dt 1 e it z e it z fe it dt 1 e it Ainsi par somme et par linéarité de l'intégrale, on obtient à l'aide des deux expressions précédentes, g f z = 1 fe it 1 1 e it z 1 + 1 1 e it z 1 + 1 dt = 1 fe it 1 e 1 dt = 1 e fe it it e 1 dt 1 e it z e it z mais aussi g f z = 1 e fe it it z 1 e it z + eit z 1 e it z + 1 dt = 1 donc par somme, on a toujours par linéarité de l'intégrale de la partie réeelle g f z = 1 fe it e 6. Pour tout n de N, on obtient pour tout k Z, c k p n = 1 pi p n e it e kt dt = 1 pi e it + z dt = 1 e it z z fe it e + 1 dt e it z fe it P z t dt e in kt dt = δ k,n avec δ k,n le symbole de Kronecker 3

d'où g pn z = z n pour tout z D ainsi g pn = p n. De même, on obtient g qn = q n. En utilisant la question 5 pour f = p 0 = 1, on obtient 1 = 1 P z t dt z D. Modions l'expression de P z t pour t et z D, e it + z P z t = e = e eit + z e it z e it z e it z = 1 z e it > 0 car z < 1 z 7. Soit f n n N une suite de CT qui converge uniformémént sur T vers f. Alors, chaque f n étant continue, f est continue sur T donc appartient à CT et on peut noter f f n = sup T f f n. Soit z dans D, alors pour tout n de N : - soit z T et G f z G fn z = fz f n z f f n - soit z D et via la question 5 et la linéarité de l'intégrale G f z G fn z = g f z g fn z = 1 π fe it f n e it P z t dt Or pour tout t de [; π], on a fe it f n e it P z t f fn P z t car e it T et P z est positif via 6. Par croissance généralisée de l'intégrale, on obtient G f z G fn z 1 f f n P z t dt = f f n P z t dt = f f n via 6 Ainsi f f n est un majorant de { G f z G fn z ; z D} donc G f G fn f f n. Par comparaison, comme f n n N converge uniformément sur T vers f i.e. f f n tend vers 0, la suite positive G f G fn n N converge vers 0 i.e. la suite G fn n N tend uniformément vers G f sur D. 8. Soit f dans CT, notons e 1 : t e it. Alors f e 1 est une fonction -périodique, continue par composition, donc d'après le théorème de Weierstrass trigonométrique, il existe une suite de polynôme trigonométriques n n N qui converge uniformément vers f e 1 sur. Or tout polynôme trigonométrique n s'écrit r n e 1 où r n est une combinaison linéaire des p k et des q k avec k décrivant N car p k e 1 : t e kt et q k e 1 : t e kt, autrement dit n = r n e 1 avec r n dans P. Alors sup T f r n = sup f e 1 r n e 1 puisque e 1 est surjective de dans T, ainsi r n n N est une suite de P convergeant uniformément vers f sur T. D'après la question 7, commme chaque fonction r n est bien continue sur T, la suite G rn converge donc uniformément vers G f sur D. Or la question 6 a montré que G pk = p k et G qk = q k pour tout k N donc par linéarité de l'intégrale, la fonction qui à g CT associe son nième coecient de Fourier est linéaire, et donc G rn = r n. Ainsi r n n N est une suite de fonctions continues sur D qui converge uniformément sur D vers G f qui est donc ipso facto continue sur D. 9. Comme G est de classe C sur D et x + iy = x + y, par somme u est de classe C sur D et u = G + 4ε = 4ε car G = 0, ainsi pour tout z de D, on a uz > 0. Comme u est une fonction de D dans continue sur le compact D, elle y est bornée et atteint ses bornes, en particulier son maximum : il existe z 0 D tel que uz uz 0 pour tout z D. Si z 0 est dans D alors ũ x : x ũx; Imz 0 est dénie sur un intervalle ouvert contenant x 0 = ez 0 et par restriction atteint un maximum en x 0, donc comme ũ x est de classe C par composition, 4

on a donc ũ x x 0 = 0 et ũ x x 0 0 cf le lemme démontré ci-après i.e. eu ez x 0 ; Imz 0 0. En considérant ũ y : y ũez 0 x; y, les mêmes arguments conduisent à eu ez y 0 ; Imz 0 0, ainsi par somme uz 0 0, ce qui contredit le premier point de la question. Ainsi z 0 est dans T, donc Gz 0 = 0 et z 0 = 1 d'où uz 0 = ε et donc z D, uz ε Démontrons par l'absurde le lemme utilisé précédemment à savoir que si v est une fonction de classe C sur un intervalle I atteint un maximum en x 0 point intérieur à I alors v x 0 0. On a déjà que v x 0 = 0, supposons v x 0 > 0, alors par continuité de v, il existe un intervalle ouvert I centré en x 0 contenu dans I sur lequel v reste strictement positif, donc v est strictement croissante sur I. Or v x 0 = 0, donc v < 0 sur I ] ; x 0 [, et donc v est décroissante sur ce même intervalle, ce qui contredit le fait que v admette un maximum en x 0. 10. Montrons que si G : D vérie a1 pour f = 0, a et a3 alors G = 0 i.e. G = G f. Pour tout ε > 0, d'après la question 9, on a Gz + ε z ε donc Gz ε car z 0 pour tout z D. Ainsi en faisant tendre ε vers 0, on obtient G 0 sur D. La fonction G vérie aussi a1 pour f = 0, a et a3 donc d'après ce qu'on vient de voir, on a aussi G 0 sur D i.e. G 0 sur D. Donc par double inégalité G = 0. Montrons que si G : D C vérie a1 pour f = 0, a et a3 alors G = 0 i.e. G = G f. Soit une telle fonction G. Alors les parties réelle et imaginaire eg : D et ImG : D de G vérient : l'hypothèse a car eg et ImG sont continues sur D par continuité de G sur D c'est l'hypothèse a pour G. l'hypothèse a1 pour f = 0 car les restrictions de eg et ImG à T sont respectivement les parties réelles et imaginaires de celle de G à T donc sont nulles car G vérie a1 pour f = 0. l'hypothèse a3. En eet, G vérie a3 donc la restriction ˆG de G à D est C et G = 0 sur D, ainsi les restrictions de eg et ImG à D qui sont eĝ et ImĜ, sont de classe C ; de plus, comme la dérivation et e respectivement Im commutent, on a eg = e G = 0 et ImG = Im G = 0. Ainsi par le premier point de la question, eg = ImG = 0 i.e. G = 0. Traitons enn le cas général et montrons que si G vérie a1 pour f, a et a3, alors G = G f. Soit une telle fonction G, alors G f vérie les mêmes hypothèses question 4 pour a3, 8 pour a, et par dénition pour a1. Donc G G f vérie a1 pour f f = 0, a et a3, donc G G f = 0 via le point précédent et donc G = G f. 11. La fonction G est dénie par Gx; y = e x cosy pour tout x; y D, donc G est de classe C sur D par composition et produit ce qui prouve que G est C sur D. De plus, x; y D, Gx + iy = G x x; y + G y x; y = ex cosy + e x cosy = 0 Ainsi G vérife a3. Par composition, G vérie aussi a continuité sur D. Et comme G vérie a1 pour f la restriction de G à T, la question 10 donne G = G f sur D. La fonction G est dénie par : z D Gz = e ez cosimz = e ez eiimz + e iimz 5 = eez+iimz + e ez iimz = ez + e z

Ainsi pour tout x ] 1; 1[, x est dans D et Gx = e x = Par ailleurs, en notant pour tout n Z, c n le nième coecient de Fourier de f, on a : x ] 1; 1[ D, G f x = g f x = c 0 + c n + c n x n Donc par unicité des coecients d'une série entière de rayon de convergence non nul ici, il vaut au moins 1, on obtient comme G f = G sur ] 1; 1[ D : c 0 = 1 et c n + c n = 1/n! pour tout n N donc c n + c n = 1/ n!. Or le coecient c k vaut : c k = 1 fe it e ikt dt = 1 e cos t cossin te ikt dt k Z Donc par linéarité de l'intégrale, l'intégrale cherchée est : 1 e cos t cossin t cosnt dt = c n + c n x n n! = 1 n! si n 0 et 1 sinon 1. Soit u : U C une application continue sur un ouvert U de C. Supposons u de classe C sur U et u = 0 sur U. Soit a U et > 0 tels que Da; U et notons G : z D ua + z C. Alors par composition G est C sur D et Gz = Ga + z = 0 pour tout z de D, ainsi G vérie a3. Or G vérie a par composition et a1 pour f : z T ua + z qui est bien continue sur T par composition. Ainsi d'après 10, on a G = G f et en particulier via 5 : z D, G f z = g f z = 1 ua + e it P z t dt. Or pour tout z de Da,, le complexe z a/ est dans D, donc z a uz = G = 1 ua + e it P z a t dt éciproquement, supposons l'égalité précédente vraie pour tout z de Da; et tout Da; U. Fixons a; avec Da; U, l'application f : z T ua + z est continue sur T par composition u est supposée continue sur U, ainsi g f existe et vérie via 5 : z a z a z Da;, D, g f = 1 fe it P z a t dt π Ainsi notre hypothèse assure uz = g z a f pour tout z Da; et via 4, gf est C sur D où son laplacien g f est nul, donc par composition u est C et de u = 0 sur Da;. Ceci étant vrai pour tout Da; U et la régularité et le laplacien étant des notions locales, u est C et de laplacien nul sur la réunion W des Da;, avec Da; U. Or pour tout a dans U, il existe > 0 avec Da, U donc Da, / U ainsi a est dans W et donc U W et comme par dénition W U, on a W = U et donc bien u est de classe C sur U et u = 0 sur U. 13. Par la partie directe de 1, on a pour tout a; avec Da; U et pour tout z de Da; : n N, u n z = 1 π u n e it P z a t dt Or sur [; π], les fonctions g n : t u n e it P z a t sont continues par composition et la suite correspondante converge uniformément vers g : t ue it P z a t sur [; π]. En eet t [; π], g n t gt sup T u n u P z a t sup u n u T + z a z a 6

car par dénition P z t eit +z e it z 1+ z pour tout t et tout z de D. 1 z Ainsi le théorème d'échange limite et intégrale assure que 1 π g π ntdt 1 π converge vers gtdt. n N π Par ailleurs, u n z n N converge vers uz par choix des u n donc on peut passer à la limite dans ce qui donne uz = 1 π π ueit P z a t dt et ce pour tout z de Da; avec Da; U. Or u est continue sur U comme limite uniforme sur U de la suite de fonctions continues u n sur U. Ainsi la réciproque de 1 assure que u est de classe C sur U et u = 0 sur U. 14. La question 6 assure que ϕ z vére c et c3. Dans 7, avec f n = 0 donc G fn = 0, on a vu ϕf = G f z G fn z Nf f n = Nf et ce pour tout f de CT donc ϕ z vére c4. Enn, l'application qui à f CT associe la suite de ses coecients de Fourier est C-linéaire par linéarité de l'intégrale, donc par produit f CT c n fz n n N et f CT c n f z n n N aussi. L'application qui à une suite associe la somme de la série associée quand celle-si est convergente est aussi C-linéaire donc par composition et combinaison linéaire, ϕ est bien C-linéaire. De plus, elle arrive dans C, donc c'est une forme C-linéaire et comme on a c4, ϕ est bien continue et ϕ z vére c1. 15. Soit ϕ vériant c1, c et c3. Considérons f dans CT. D'après 8, il existe une suite f n n N de fonctions de PT qui converge uniformément vers f sur T. Or pour tout g de PT, par dénition de PT, il existe N et M deux entiers naturels non nuls N M et des complexes α k...n et β k k=1...m avec g = α k p k + α k q k donc la linéarité de ϕ et ϕ z hypothèse c1, cf 14 pour ϕ z puis les les hypothèses c et c3 vériées par ϕ et ϕ z, assurent k=1 ϕ ϕ z g = N M α k ϕ ϕ z p k + α k ϕ ϕ z q k = k=1 N M α k z k z k + α k z k z k = 0 k=1 Ainsi ϕf n = ϕ z f n pour tout n N. Or f n n N converge uniformément vers f sur T i.e. f n n N converge vers f au sens de la norme N, donc par continuité de ϕ et ϕ z hypothèse c1, cf 14 pour ϕ z, ϕf n tend vers ϕf et ϕ z f n vers ϕ z f quand n tend vers +, donc ϕf = ϕ z f. Comme f a été choisi quelconque dans CT, on a bien ϕ = ϕ z. 16. Montrons que Nh = sup T h. Comme Nh majore { ht ; t T }, par croissance dela fonction carrée sur +, le réel Nh majore bien { ht ; t T } = W donc sup W = sup T h Nh car sup W est le plus petit majorant de W. Par déntion de N, il existe une suite t n n N telle que la suite de terme général ht n tend vers Nh, mais alors ht n tend vers Nh par continuité de la fonction carrée et ht n sup W pour tout n par déntion de sup W, ainsi par croissance du passage à la limite Nh sup W et par double inégalité, on a bien Nh sup W = sup T h. Comme f continue sur T, fermé borné donc compact de C, à valeurs réelles, elle y est bornée et atteint ses bornes en particulier son maximum disons en z 0. Comme f est positive, f = f et donc Nf = fz 0. Ainsi hz = fz fz 0 + iλ = fz fz 0 + λ pour tout z de T, avec 0 fz fz 0 donc 0 fz 0 fz fz 0 fz 0 fz 0 = fz 0 i.e. fz fz 0 fz 0 Ainsi par croissance du carrée sur +, on a hz fz 0 + λ = Nf + λ pour tout z de T 7

et on a aussi hz 0 fz 0 + λ = Nf + λ. Ainsi Nh = sup h = Nf + λ T 17. Pour tout réel λ, notons h λ = f Nf + iλ = f + Nf + iλ p 0. La linéarité de ϕ hypothèse c1 donne ϕh λ = ϕf + Nf + iλϕp 0 par donc comme ϕp 0 = z 0 = 1 via c, on a ϕh λ = ϕf Nf + iλ. Ainsi d'après c4, on obtient par croissance de la fonction carré sur + : ϕh λ = ϕf Nf + iλ Nh λ = Nf + λ soit par expression du module à l'aide des parties réelle et imaginaire, e ϕf Nf Nf + eϕf λ λ 0 soit encore eϕf Nfeϕf + Imϕf λ Imϕf 0 Or le membre de gauche de cette expression est ane en λ et reste constamment négatif pour toute valeur de λ donc le polynçome en λ est constant et le coecient de λ à savoir Imϕf est nul. Ainsi ϕf est réel. On obtient alors ϕf Nf ϕf 0 ce qui impose comme Nf 0, l'appartenance de ϕf au segment [0; Nf], on retrouve une conséquence de l'hypothèse c4 et aussi ϕf 0. 18. La question 17 montrer que si f CT arrive dans + alors ϕf appartient à + donc à. Donc si f CT arrive dans alors f appartient à CT et arrive dans +, donc via 17, le complexe ϕ f = ϕf par linéarité de ϕ, propriété c1 est en fait dans. Or si f CT est à valeurs réelles alors f = f + f avec f ε : z T maxεfz; 0 où ε = ±, qui sont encore dans f CT. Ainsi par linéarité de ϕ, on obtient ϕf = ϕf + ϕf avec d'après ce qui précède ϕf + et ϕf réels donc par somme ϕf est aussi réel. Ainsi ϕ envoie les éléments de CT à valeurs réelles dans, propriété notée c5. Soit f quelconque dans CT. Ses parties réelle et imaginaire sont encore dans CT. Donc ϕ f = ϕef i Imf = ϕef i ϕimf par C-linéarité de ϕ hypothèse c1 = ϕef + i ϕimf propriété c5 = ϕef + i Imf = ϕf par C-linéarité de ϕ hypothèse c1 Finalement f CT, ϕ f = ϕf En appliquant la propriété précédente à chaque p n, on trouve en utilisant l'hypothèse c, que ϕ vérie l'hypothèse c3 puisque p n = q n. Ainsi ϕ satisfait c1, c, c3 et c4 donc via le résultat de la question 15, on a encore ϕ = ϕ z. 8