Suites - exercices corrigés

Suites - exercices corrigés 4 Je coais mo cours Défiitio d ue suite umérique : o peut défiir les suites comme des foctios de vers, u f (par exemple u la suite de Fiboacci : u0, u, u u u ) ou par des relatios ieres (récurrece) : u f u, u,, u0 comme par exemple Ue suite est croissate (décroissate) lorsque : tous ses termes vot e augmetat (dimiuat), pour tout, o a u u ; décroissate lorsque u u Algorithme de calcul des premiers termes d ue suite défiie par u f u Doées : f, u 0, Variables locales : k, X 0 k u0 X Tat que k Faire f( X) Fi tat que Afficher X X u : et la doée de 0 Algorithme de calcul de la somme des premiers termes (de u 0 à u ) d ue suite défiie par u f u doée de u 0 : et la Doées : f, u 0, Variables locales : k, X, S u0 S 0 k u0 X Tat que k Faire f( X) Fi tat que X, S X S Afficher X, afficher S http://larochelyceefreefr

Remarque : il est pas écessaire de passer par X, o peut faire juste S f( X) S Comportemet à l ifii : o cosidère qu ue suite u coverge vers ue limite l si et seulemet si lorsqu o choisit importe quel etier p alors o peut trouver u rag N à partir duquel tous les termes sot à ue distace moidre qu u ombre de la forme 0 p de l, soit u l 0 p Par exemple la suite u ted vers car u N peut deveir aussi petit que l o veut Algorithme permettat de dire si ue suite u coverge probablemet vers ue limite l : Doées : f, u 0, Variables locales : p, X, k, max, N 0 k u0 X Tat que f( X) X k k Fi tat que k N Tat que Xl 0 p et k max faire Xl 0 p et k max faire Suites arithmétiques f( X) X k k Fi tat que Si k max alors afficher «limite probable = l au rag N» sio afficher k Remarque : max est le ombre de boucles maximal que l o puisse faire ; si das la première boucle k atteit max la limite est pas boe ; si c est das la deuxième boucle la limite semble boe à partir du rag N (et pour la valeur de p testée) er terme u 0 ; u u a d où u u0 a ou u up ( p) a Ses de variatio : si a 0, croissate ; si a 0, décroissate Limites : toutes les suites arithmétiques diverget vers ou Méthode de calcul de la somme des premiers ombres etiers : S = + + + + Somme des termes d ue suite arithmétique : O écrit la somme das les deux ses puis o ajoute terme à terme : S S, soit S S http://larochelyceefreefr

0 0 0 0 0 S u u u u u a u a u a, soit u0 u0 a u0 u S, ce que l o résume avec S (bre de termes)(terme+derier terme) Suites géométriques er terme u 0 ; u qu ; p u u0 q ou u upq Ses de variatio : si u0 0 décroissate si 0q, statioaire si q Das le cas où q 0 Limites : coverge vers 0 si q ; si q, ted vers suivat les cas Méthode de calcul de la somme S q q q, soit S q qui doe, u oscille e permaece, u est croissate si q, S q q q q q : o multiplie des deux côtés par q, ce Somme des termes d ue suite géométrique ; même démarche : Si q, S u0 ( ) lim u 0 lorsque q S u0 u0 q u0 q u0 q q q u0 q u est géométrique de raiso q telle que q et lim q si q O utilise l iégalité t t : lorsque t 0 (doc t q ) et ted vers, t ted vers d où t ted vers E passat à l iverse, o a 0 0 q t t doc lim u 0 lorsque q O tiet des raisoemets semblables lorsque t 0 Lorsque q, q S u0 u0 q q Pour ue suite récurrete du u f u, doer la type valeur de 0 à partir de laquelle la distace etre deux termes cosécutifs deviet iférieure à ue précisio P doée ; Doées : f, u 0, P (la précisio cherchée), N max (le ombre maximum d itératios pour le cas où la suite e covergerait pas) 0 N, u 0 f X Y un, Tat que Y X P et N Nmax faire Y X http://larochelyceefreefr

l algorithme doera alors les valeurs de 0 et de la limite l f X Y N N Fi tat que Sortie : N, Y Représetatio graphique d ue suite de la forme u f u iterprétatio Exemple : f x ; u 0=0,5 x dot o coaît le premier terme u0 et Istructios f(x)=+/x =0 u_0=05 y=x 4 http://larochelyceefreefr

GeoGebra (lige de saisie) Les sot là pour séparer les istructios (e pas saisir) U=ItératioListe[f(x),u_0,] P=Séquece[Segmet[(Elémet[U,k],Elémet[U,k+]), (Elémet[U,k],Elémet[U,k])],k,,] Q=Séquece[Segmet[(Elémet[U,k],Elémet[U,k+]), (Elémet[U,k+],Elémet[U,k+])],k,,] P_0=(u_0,0) Q_0=Segmet[P_0,(u_0,u_0)] 4 Exercices de base 4 Calculs simples u désige ue suite arithmétique de premier terme u 0 = 0 et de raiso 4 a Calculer u, u, u u 0 4 6, u 6 4, u 4 b Doer l expressio de u e foctio de et calculer u 9 u u0 r 0 4 ; u9 0 9 4 66 c Calculer la somme des termes de la suite u depuis u 0 jusqu à u 50 u0 u50 0 90 Il y a 4 termes : u0 u50 4 4 40 450 d Préciser le ses de variatio de u aisi que sa limite Comme o ajoute 4 à chaque fois que l o passe d u terme au suivat, la suite est croissate (support = droite de pete 4, soit croissate) v désige ue suite géométrique de premier terme v 0 = 8 et de raiso / a Calculer v, v, v v v0q 8 7 ; v vq 9 ; v vq b Doer l expressio de v e foctio de et calculer v 0 v v0 q 8 ; v 0 4 8 8 79 0 0 0 6 c Calculer la somme des 0 premiers termes de la suite v 5 http://larochelyceefreefr

0 0 0 0 q / / 4 v0 v9 v0 8 8 q / 4 / 4 d Préciser le ses de variatio de v aisi que sa limite La suite est pas mootoe à cause de la raiso égative (u coup positif, u coup égatif) Pour la limite, comme, la suite ted vers 0 4 Calculs mois simples a Si u est arithmétique, o aura u 0r u r 0000 6 7 u0 5r u0 0r 6000 6 000 u0 5r u0 75 5, 57 u0 4, 54 6 0 0 5000 u0 4r 0000 6000 75 75 7r r, 57 b Si u est géométrique, o aura E faisat le quotiet des deux expressios, o a q 0 q u0 5000 u0 q 5000 q q 6 6 q 5 q u5 000 u0q 000 q q 5 q 5 5 8 6 8 6 5 q q q 5 5q q 5q q 5 0 6 q Si o peut trouver des solutios à l équatio et e déduire u 0, ceci ous doerait bie les caractéristiques d ue suite géométrique malheureusemet l équatio e semble pas avoir de solutios (à part mais ce est pas vraimet ue solutio itéressate)! 5 5 59 000 5 000 05 0 4 4 4 O a Il y a deux racies dot aucue est etière, ce est doc pas possible! 6 http://larochelyceefreefr

Ue suite géométrique dot la raiso q est telle que q a ue somme qui coverge vers vaudrait ici 8 : si o pred par exemple u0, o aurait coviet pas Preos plutôt 4 Fastoche q par exemple, alors u0 qui q 9 8 8 8 q q q ce qui e 8 u0 8 u0 4 / u est la suite géométrique de premier terme u 0 = 8 et de raiso q = Calculer les termes u, u, u 0 Motrer que la somme S u0 u u0 est égale à 7 44 Suite arithmétique u5 5 u0 5r r 48 5 77 r 7 u6 48 u0 6r u0 48 6 7 60 u 60 7 u 60 7 7 7 87 4 4 u 60 7 50 7 40 58, 59 u789 u007 5 Il y a 007 789+=9 termes das la somme qui vaut doc S 9 45 Somme de termes u 5 4 9 4 ; 5 k 5 5 S u k u u u u u u k 5 5 u u5 5 formules : S 5 5 5 4 5 400 46 Locatio de machies, soit e utilisat les O peut dépeser S 60 65 70 75? de sorte que le total fasse 570 Comme o a ue suite arithmétique de premier terme u0 60 et de raiso 5, o a e otat le ombre de termes de la somme : u0 u 60 60 5 S 570 0 5 740 5 5 700 0, soit ecore 5 404 0 d où 7 : o peut doc louer la machie 8 jours 47 Etretie de machies 7 http://larochelyceefreefr

U chef d etreprise paie 60 000 par a pour l etretie de ses machies Lors du reouvellemet du cotrat pour les dix prochaies aées, ue société lui propose deux formules : Partie A Cotrat A : le cotrat augmete de 5 % par a : suite géométrique de raiso 5 u u u,05u 00 ) O a doc u u,05,05 60000 Attetio, la dixième aée correspod à u 9 9,05 60000 9079,69 Il faut trouver pour que =5 0 5,05 (o a 00 u,05 60000 0000,05 O fait ça à la machie et o trouve 0 9,558,05 0,688946,05,7096,5765,795856 4,55065,8856494 5,76856 4,97996 6,4009564 5,078988 7,407004 8,47745544 q 4 O calcule u0 u u9 u0 75467,55 q Partie B 0 Cotrat B : le cotrat augmete de 500 par a, la suite est arithmétique, v 60000 500 v9 60000 500 9 9500 v0 v9 v0 v v9 0 757500 4 Le cotrat A est le plus avatageux sur 0 as mais B est le plus itéressat par la suite (faire u graphique) 48 Water Lily Au pays des plates géates, les éuphars pousset e doublat chaque jour leur surface U mati u éuphar éclôt au cetre d u étag circulaire d u rayo de 00 m ; le éuphar mesure alors cm de rayo e cm S et S S S 0 8 http://larochelyceefreefr

Résoudre S 0000, soit ici =5 Raiso puisque S r 4 S S 000 cm 49 The Pie Tree h6 0, 4, 4 et h 7 0, 4,8 (attetio aux uités) Comme les termes augmetet de maière costate, la suite est arithmétique : h h 5 5 0, 4 h h 0 5 0 5 0, 4 7 6 4 h h h 8 8 5 8 5 0, 4 5 8 5,,8 5 La représetatio est u segmet de droite qui passe par 5 ; 0 de pete 0,4 4 The Mathematical Times correctio ici : http://wwwapmepassofr/img/pdf/corrige_00_04_podichery-pdf 4 Exercices itermédiaires 4 The Boss Ue etreprise propose, pour recruter u ouvel employé, deux types de rémuératio : Type : Salaire iitial de 00 par mois avec augmetatio auelle du salaire mesuel de 00 Type : Salaire iitial de 00 par mois avec augmetatio auelle du salaire mesuel de 8 % u0 u u 00, 00 00 00, 00 00 400 ; 8 00, 00 00, 08 00,, 08, 08 00, 08 00 00 v v u 0 u est arithmétique de premier terme 00, de raiso 00 : u 00 00 ; v est géométrique de premier terme 00, de raiso,08 : 00,08 4 Il faut faire les sommes sur 5 as, de 0 à 4 : U u0 u4 00 00 4 5 5 5 00 7 5 5 q, 08 00 5 V v0 00, 08 q,08 0,08 v 9 http://larochelyceefreefr

46 Suite homographique u Soit la suite u défiie par u 0 = et u u u u u0 u0, u u 5 0, u u 5 0 u 4 / 5 4 u 6 / 5 6 4 0 doc u u 5, doc pas géométrique o plus u 5 u 8 u est pas arithmétique Istructio GeoGebra : L=Séquece[(k,Itératio[*x/(+*x),,k]),k,0,0] Cojectures : la suite est décroissate et ted vers 0 4 v u a v0, v 5 6 u / 5, v La suite v semble arithmétique de raiso b v u u v u u u u u 8 9 u 0 http://larochelyceefreefr

c v v0 et u ce que vous pouvez vérifier u u d O calcule u 6 4 6 0 6 u 0 et losrque ted 5 5 vers, ted égalemet vers l ifii et 47 Ouaip, c est ue suite mo gars! u u 4 5, u u 4 9, u 4 u 4 4 deviet très petit et ted vers 0 u 4 Calculos v v u u u u 4 u 4 La différece est costate, la suite est arithmétique de raiso 4 v v 4 u 4 4 4, soit u O a doc 4 Calculos u tous les termes le sot v 4 4 4 4 4 u qui est positif puisuqe Par ailleurs o voit sur la calculatrice que u 4 : 4 4 4 4 0, c est doc vrai 4 Quad ted vers, 4 u 4 qui ted vers 0 doc u ted vers 4 40 Y fait chô a T T0 0 80 0 50 0 5 0 50, T 5 et T 7,5 T 0 b T T 0 T 0 u T 0 a doc u est ue suite géométrique de raiso et de premier terme u T 0 T 0 u0 T0 0 60 b, c u 60 et doc T u 0 0 60 d A 5 o a T5,88 et à t 6, T6 0,98 doc à partir du rag 6, o a T Si représete des heures par exemple la température du récipiet sera pratiquemet égale à la température de la pièce au bout de 6 heures (à tester ) http://larochelyceefreefr

4 Cetre de gravité? u a b a b a b a b a b u 5 5 5 5 5 u est costate et vaut u0 a0 b0 5 v a b a b a b a b v 5 5 5 5 v est ue suite géométrique de raiso 5 et de premier terme v0 a0 b0 O a doc v v0 q 5 u v a 5 a u a b u v a 5 O a v a b u v b u v b b 5 5 Comme 5 ted vers 0 à l ifii, 5 lim a lim b O vérifie avec le tableur par exemple : a b a b 0 7,499996,5000064,4,6 8,4999987,500008,48,5 9,49999974,5000006,496,504 0,49999995,50000005 4,499,5008,49999999,5000000 5,49984,5006,5,5 6,499968,5000,5,5 4 The Show Must Go O La perte de % correspod à I I 0 I0 0,77I0 00 a A chaque passage l itesité est multipliée par 0,77 : I 0,77I b I est ue suite géométrique de raiso 0,77 O a I I0q I0 0,77 c Comme I 0,77I I, I est décroissate http://larochelyceefreefr

O cherche I 0 sachat que 4 5 5 I4 5 I0 0,77 I0 4,67 4 0,77 I : 4 4 O cherche pour que I I0 I0 0,77 0, 5I0 0,77 0, 5 A la machie o a les résultats 4 suivats : Pour =6 o est e dessous de /4 I I 0 9 0,095569 0,77 0 0,07668 0,599 0,0564544 0,4565 0,044989 4 0,5504 0,04487 5 0,706784 4 0,057555 6 0,0848 5 0,09874 7 0,60485 6 0,057044 8 0,576 7 0,07584 4 Jumpi Mokey Le ombre 4 est atteigable car + + 4 = 4 Le sige a pas le choix : + + 4 et il est bloqué! Le ombre 9 est atteigable car o a + + 4 + 5 6 + 7 8 + 9 = 9, sas jamais sortir de l itervalle [0 ; 9] 4 Les exemples précédets traitet les carrés 4 et 9 Le cas échéat la recherche pour 6 peut doer + + + 4 5 + 6 7 + 8 9 + 0 + + 4 5 + 6, e remarquat que l o e sort jamais de l itervalle [0 ; 6] L observatio des sommes produites peut ameer la solutio géérale : ( ) ( ) ( ) ( 4) ( ) ( ) ( ), d où est atteigable Les seules difficultés sot le comptage des termes valat et la vérificatio du fait que l o reste bie das [0 ; ] http://larochelyceefreefr

5 Si le ombre est atteigable, il existe des a i valat ou tels que a a ( ) a 0 Das cette somme o sépare les termes positifs dot o ote la somme S + des termes égatifs dot o ote la somme S O a alors : S +=S O calcule esuite ( ) S S S, o e déduit que ( ) S soit ( ) 4 et doc 4 divise le produit est doc de la forme 4k ou 4k+ : par exemple 8 est pas atteigable La réciproque est fausse puisque 5 est pas atteigable 6 L idée est de trasformer ue cofiguratio de siges + e +, cela va ajouter au ombre N Esuite o complète par la suite (N+) + (N+) (N+) + (N+4) et o trouve N+4 O ote S(i) la somme partielle des i premiers termes Remarquos que la séquece doat N se termie par (N )+N La séquece commece par ++ et le premier sige apparaît e positio i+ Alors S i i car S 4 O chage alors la sous-séquece i i e i i possible S, ce qui est O ajoute alors la séquece (N+) + (N+) (N+) + (N+4), ce qui assure que N+4 est atteigable 4 5 Vrai - Faux 45 Fesic 000, Exercice a 0 =, b 0 = 4, a ( a b ) 4 et b ( a b ) 4 a Vrai : O a U a b 4 a 4 b a b U Doc la suite est statioaire et vaut 4 U 0 = a 0+b 0 = 6 V a b a b a b V 4 b Vrai : O a Doc V est ue suite géométrique de raiso De plus V et de premier terme V0 4 qui coverge car c Vrai : Le milieu des segmets [A B ] a pour abscisse a b U U0 4 Doc pour tout, les segmets [A B ] ot le même milieu I, qui est le poit de (Ox) d'abscisse 4 http://larochelyceefreefr

d Faux : Pour tout, U a b a b V a b 0 0 6 alors a 6 b 6 doc a b 45 Fesic 000, Exercice (u ) suite géométrique de raiso et de premier terme u =, v u a Faux : O a u Attetio au décalage de rag dû au fait que u commece à u b Vrai : O a premier terme v v Doc la suite v est ue suite arithmétique de raiso c Faux : Pour tout, o a k uk u k d Faux : La somme des racies est pas égale à la racie de la somme et de 45 Fesic 00, Exercice 0 k k S a Vrai : Pour tout etier >0, raiso d où k et S k k S k or k k k k est la somme d ue suite arithmétique de b Faux : Pour tout etier >0, S 0 De plus S S 0 doc la ( ) 4 ( ) suite est décroissate Elle est majorée par S par coséquet pour tout etier >0, o a : 0 S c Faux : lim S lim 5 http://larochelyceefreefr

d Faux : D après b) la suite est décroissate 454 Fesic 00, Exercice 9 Pour tout etier aturel, o cosidère la foctio f défiie sur par f x x x a Pour tout, la foctio f est strictemet décroissate sur l itervalle [0, ] Vrai Faux b Pour tout O ote, l équatio 0 f x admet ue uique solutio das Vrai Faux f x u l uique solutio das l itervalle [0, ] de l équatio 0 c Pour tout, o a : u Vrai Faux 0 d O a : lim u 0 Vrai Faux f ( x ) x x a Vrai : Calculos f '( x) x 0 x], / ] [ /, [, or pour supérieur à doc la foctio est décroissate sur [0, ] Attetio au «piège» et à e pas faire b Faux : Calculos les ordoées des extremum : 4 f x 0 x / qui est égatif si vaut au mois et 4 f qui est positif ; o a doc le tableau de variatio : x / 0 / + + f(x) et f( x) 0 a deux solutios das les réels positifs 6 http://larochelyceefreefr

c Vrai : Si u, comme f est décroissate sur [0, ], f(0) f( u ) f( ), soit 0 0, ce qui est vrai Il faut toujours avoir préset à l esprit les propriétés des foctios croissates ou décroissates d Vrai : C est plus simple comme ted vers 0, o a bie lim u 0 455 Fesic 00, Exercice 0 u0 0, u, u u u, v u u, w u u Il y a assez peu de choses à savoir sur les suites, c est plutôt des questios de méthode ; les deux sot écessaires voire idispesables (coaître très bie le cours et coaître les méthodes) a Faux : Si la suite v est arithmétique, v vest costate : 5 5 5 v v ( u u ) ( u u ) u u u u u u v ; 8 c est doc faux, mais ous gagos ue iformatio itéressate : v v et v est géométrique de raiso 8 et de premier terme v0 0 d où b Vrai : Recommeços : v 8 w w u u u u u u u u u 0 doc c est vrai E plus o a w w0 u u0 5 w v u u u u u u Ok! 5 5 5 c Vrai : d Vrai : Remplaços pour calculer u : 458 Fesic 005, Exercice 0 u 8 5 u = ombre de diagoales d u polygoe covexe ayat côtés dot la limite est 7 http://larochelyceefreefr

C C D B D B A A E E F a Faux : u5 5 et u6 9 ; lorsqu o rajoute le poit F o rajoute diagoales et u côté deviet ue diagoale b Vrai : Lorsqu o rajoute u poit au polygoe à sommets, o rajoute côtés et diagoales, par ailleurs u côté deviet ue diagoale doc : u u u c Faux : Ue suite arithmétique a ue raiso costate! 4 5 6 d Vrai : Par récurrece : u 0, ok ; u4, u5 5, u6 9, ok ; ( ) u doc ( )( ) u ; a-t-o u u? ( )( ) ( ) 459 Fesic 005, Exercice u v u v u v u v 0, 0,, a Vrai : le calcul est pas très marrat u v u v u v ( ) u ( ) v w v u ( ) b ( ) u ( ) v ( )( ) v u w w w ( ) ( ) ( )( ) ( ) terme, doc w 0 u v Vrai : O a w w0 q ; la raiso est positive (, 44 ) de même que le premier 8 http://larochelyceefreefr

c Vrai : Au pif, o peut peser que les deux suites sot adjacetes puisque w ted évidemmet vers 0 ; il faut doc que la suite v soit décroissate u v u v v v u v w Plus sérieusemet v v v 0 d Vrai : Suites adjacetes et tutti-quati ; les deux suites u et v coverget vers ue même limite (que vous vous ferez ue joie de trouver e partat par exemple sur l expressio de u u puis ) 450 Fesic 006, Exercice O cosidère la suite u défiie pour a Vrai : si c est vrai o a b Faux : u c Vrai : u u u ; or u!, doc décroissate termes * par : u et u! 4 4 4 4 d Vrai : la factorielle du déomiateur grossit très vite u u!!! car 45 Fesic 007, Exercice 0 u0 0 v u v, u 5 0 v 5 u v 5 a Vrai : et w v u u v u v w v u v u w Premier terme : w0 v0 u0 5 5 5 5 5 u v u v b Vrai : u u u w qui est positif doc la suite u est croissate 5 5 5 c Vrai : Les suites u et v sot adjacetes et coverget vers ue limite commue d Vrai : La première iégalité est vraie (u croissate), la deuxième égalemet : 45 Fesic 007, Exercice u v u v v u v 0 5 5 a Vrai : si o a u u C est vrai tout le temps u u 9 http://larochelyceefreefr

b Vrai : u elle coverge c Vrai : v d Vrai : O a u u u u u 0 doc u est décroissate ; comme elle est borée, u u u u u 6 u 4 v ; v u u u u v et le résultat demadé : u 0 u0 u u v v vu v u u v v u u v, soit 0 45 Fesic 008, Exercice f x 4 x ; u0 4 u f u a Vrai : f x x 4 ' 0 doc f est croissate sur 4 7 b Faux : u 4 Comme f est croissate, par récurrece cette iégalité est coservée : 4 u u f u f u u u doc u est décroissate c Vrai : Si u, alors u : d Vrai : u est décroissate et miorée doc covergete 4 4 u 4 u u u 454 Fesic 008, Exercice f x 4 x ; u0 4 u f u et v u u 4 4u 8 4 u u u a Vrai : v 4 4v 4 u 4 u u u doc v est géométrique de raiso 4 5 4 4 v v5 q q q q v5 v5 4 k5 9 0 b Faux : k 0 http://larochelyceefreefr

u v c Vrai : v u v v u u v u v u u v d Faux : u v v v v ; comme v ted vers, la suite u coverge vers 46 Algorithmes & Programmes 46 Les lettres de Gasto v u 800 v u 800 u 00 800 v 800 600 v 4 4 4 O a v0 u0 800 000 800 00 et v 00 puis u 4 u u v 800 00 800 4 http://larochelyceefreefr

A = 7 o a u 80 0 000 9 890,065 700 0 867,57677 475 850,686 06,5 88,064 4 79,6875 88,508768 5 084,76565 4 8,8576 6 0,5749 5 86,065 7 960,80664 6 8,0749 8 90,5498 7 809,006 Le pauvre Gasto L arrivera jamais à élimier so courrier e retard : il e restera toujours au mois 800 Et m oiselle Jeae sera bie déçue x x y x x y 0 4 a Remarquos que : 0 y Si y est croissate o a y y d où Comme ( ) y x ; cherchos y : y x x0 x x x y y x y x y x est croissate, o a x x0 x x y x E fait o avait 0 x x x x x x x doc x x0 x x x x x x y x Voici u exemple sur ue suite décroissate : x 0,9x x xk xk k0 k0 0 0 0 0 9 9 9,5 8, 7, 9,0 http://larochelyceefreefr

7,9 4,9 8,5975 4 6,56 40,95 8,90 5 5,9049 46,8559 7,809667 6 5,44 5,70 7,45904 7 4,78969 56,9579 7,95988 8 4,0467 6,5795 6,806490 9,8740489 65,56 6,556 0,4867844 68,689404 6,808549,80596 7,7570464 5,9797586,84956 74,5847 5,77069,548658 77,075 5,50880054 4,876795 79,408868 5,94059 5,0589 8,469798 5,09868 6,85009 8,88 4,9045 7,667787 84,990565 4,769647 8,5009465 86,49488 4,558 9,50857 87,8445 4,967 0,576655 89,0580 4,408696,0948989 90,59 4,09784 0,9847709 9,7069,9648095 La suite y semble égalemet décroissate O peut remarquer simplemet que arithmétique des termes de x b u0 u u v0 800 v 800 v 800 v0 v v 800 M or v est géométrique doc M 0,75 4800 800 q ( / 4) v0 v v v0 00 4800 q / 4 4 y est la moyee ; d où http://larochelyceefreefr

Comme u est décroissate, 0,75 ted vers, 0,75 M doit être égalemet décroissate La suite coverge égalemet : le terme ted vers 0 doc M ted vers 800 4 http://larochelyceefreefr