Chapitre 8 Produit scalaire

Chapitre 8 Produit scalaire I. Produit scalaire 1) Norme d'un vecteur Soit u un vecteur du plan, et soit A et B deux points du plan tels que u= AB. La norme du vecteur u, notée u, est la longueur du segment [ AB] ; on a : u = AB = AB. Remarque : Dans un repère orthonormé, si u a pour coordonnées ( x y), alors : u = x + y. Propriétés : Soit u et v deux vecteurs du plan. Pour tout nombre réel k, on a k u = k u (notamment, u = u ). u+ v u + v (inégalité triangulaire). u =0 u= 0. ) Produit scalaire de deux vecteurs Soit u et v deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de u et de v, noté u v, le nombre réel défini par : u v= 1 ( u + v u v ) Remarques : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre Soit A, B, C trois points du plan tels que u= AB et v= AC, on a : u v= AB AC = 1 (AB + AC BC ) Théorème : expression dans un repère orthonormé Le plan est muni d'un repère orthonormé (O ; i, j). Soit u( x y) ( et v x' y ') deux vecteurs du plan. On a alors : u v=xx '+ yy '. Cette forme est l'expression analytique du produit scalaire. 1

Dans le plan muni d'un repère orthonormé. u =x + y, v =x ' + y' et u v =( x x ') +( y y '). Ainsi u v= 1 ( u + v u v )= 1 [(x +y )+(x ' +y' ) ((x x' ) +( y y') )]. En développant le membre de droite, il vient : u v= 1 (x + y +x ' + y' x + x x ' x' y + y y ' y' )= 1 ( xx' + yy' )=xx ' + yy' Propriété : Pour tout vecteur u du plan, on a u u= u. u u= 1 ( u + u u u )= 1 ( u 0 )= 1 ( u )= u. Le produit scalaire du vecteur u par lui-même, noté u, est appelé carré scalaire de u. II. Propriétés du produit scalaire 1) Symétrie et bilinéarité Propriétés : Le produit scalaire de deux vecteurs est symétrique : pour tous vecteurs u et v, on a u v= v u. Le produit scalaire de deux vecteurs est bilinéaire, c est-à-dire que : pour tous vecteurs u, v et w et pour tout réel, on a : (λ u) v =λ ( u v) et u ( v + w)= u v + u w On munit le plan d'un repère orthonormé. Soit u( x y) (, v x' y ') ( et w x' ' trois vecteurs du plan et un nombre réel. y' ') On utilise l'expression analytique du produit scalaire et les propriétés de la multiplication des nombres réels (commutativité et distributivité). Symétrie : u v=xx '+ yy '= x' x+ y ' y= v u Bilinéarité : (λ u) v=(λ x) x' +(λ y) y '=λ xx '+λ yy '=λ (xx ' + yy' )=λ ( u v) u ( v+ w)=x( x' +x ' ')+y(y' +y ' ')= xx' +xx ' ' +yy' +yy' '=(xx ' +yy' )+(xx ' ' +yy' ')= u v+ u w Exemples : 5 u (3 v w)=5 u (3 v) 5 u ( w)=15 u v 10 u w. AB AC= BA AC= BA ( AC )= BA CA.

Soit ABCD un rectangle avec AB=a et AD=b. En utilisant la relation de Chasles, on peut décomposer les vecteurs et développer grâce aux propriétés du produit scalaire : AC DB=( AB+ BC) ( DA+ AB)= AB DA+ AB AB+ BC DA+ BC AB AC DB= 0+ AB AB BC DA+ 0=a b Égalités remarquables : Pour tous vecteurs u, v du plan, on a : ( u+ v) = u + u v+ v soit u + v = u + v + u v ( u v) = u u v+ v soit u v = u + v u v ( u+ v) ( u v)= u v soit ( u+ v) ( u v)= u v On utilise les propriétés de symétrie et de bilinéarité du produit scalaire : ( u+ v) =( u+ v) ( u+ v)= u u+ u v+ v u+ v v= u + u v+ v u+ v = u + u v+ v Remarques : La première égalité nous donne une nouvelle expression du produit scalaire en fonction des normes : u v= 1 ( u+ v u v ) La deuxième égalité correspond à l'expression donnant la définition du produit scalaire. ) Produit scalaire et orthogonalité Soit u et v deux vecteurs non nuls du plan, et soit A, B, C et D quatre points tels que u= AB et v= CD. Les vecteurs u et v sont orthogonaux lorsque les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires. Théorème : Soit u et v deux vecteurs non nuls du plan. Les vecteurs u et v sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul. On écrit u v u v=0 Soit A, B et C trois points du plan distincts deux à deux tels que u= AB et v= AC. On a u v=0 1 ( u + v u v )=0 u + v = u v. Or u = AB =AB, v = AC =AC et u v = AB AC = CB =BC Ainsi u v=0 AB + AC =BC ABC est rectangle en A (théorème de Pythagore). On conclut u v=0 u et v sont orthogonaux. Remarques : Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan. Le théorème nous donne une condition nécessaire et suffisante d'orthogonalité de deux droites : les droites (AB) et (CD) sont orthogonales si, et seulement si, AB CD=0. 3

Soit u, v et w trois vecteurs tels que u v= u w. Il ne faut pas en conclure que les vecteurs v et w sont égaux. En effet, u v= u w u v u w=0 u ( v w)=0 Donc les vecteurs u et v w sont orthogonaux Propriété : Le plan est muni d'un repère orthonormé (O ; i, j). Les vecteurs u( x y) ( et v x' y ') sont orthogonaux si, et seulement si : xx '+ yy '=0 Dans la base orthonormée ( i, j), on peut montrer que les vecteurs u( 3 5 ) et v ( 3+ 5 ) sont orthogonaux. En effet : u v=(3 5)(3+ 5)+ ( )=3 ( 5) 4=9 5 4=0, III. Applications en géométrie analytique Dans toute cette partie, le plan est muni d'un repère orthonormé (O ; i, j). 1) Équation d'une droite de vecteur normal n Soit (d) une droite de vecteur directeur u. Un vecteur normal à la droite (d) est un vecteur non nul orthogonal au vecteur u. Soit (d) une droite de vecteur normal n( a b) et A( x 0 ; y 0 ) un point de (d). Un point M (x ; y) du plan appartient à la droite (d) si, et seulement si, les vecteurs AM et n sont orthogonaux, autrement dit si, et seulement si, AM n=0. Or les coordonnées du vecteur AM sont ( x x 0 y y 0) ; le produit scalaire AM n vaut donc a(x x 0 )+ b( y y 0 ). On en déduit le théorème suivant : Théorème : Soit a et b deux nombres réels non nuls tous les deux ((a;b) (0;0)). La droite (d) admet le vecteur n( a pour vecteur normal si, et seulement si, elle admet une b) équation cartésienne de la forme ax+ by+ c=0, où c R. 4

Remarques : Une droite peut donc être complètement définie par la donnée d'un point et d'un vecteur normal. Dans un repère orthonormé du plan (O ; i, j), une droite (d) d'équation cartésienne ax+ by+ c=0 admet pour vecteur directeur u( b a ) et pour vecteur normal n ( a b). De plus, u et n ont la même norme Soit (d) la droite d'équation x+ 5 y 18=0. Un vecteur normal à (d) est n( 5 ) et un vecteur directeur de (d) est u ( 5 ). ) Équation d'un cercle Propriété : Soit c un cercle de centre Ω(x 0 ; y 0 ) et de rayon R. Un point M (x ; y) appartient au cercle c si, et seulement si : (x x 0 ) + ( y y 0 ) =R. Cette équation est une équation cartésienne du cercle c. M c Ω M = R Ω M =R. Or dans (O ; i, j), on a Ω M =(x x 0 ) + ( y y 0 ). Propriété : Soit c un cercle de diamètre [ AB]. Un point M appartient au cercle c si, et seulement si, MA MB=0. Si M est distinct de A et B : MA MB=0 les droites (MA) et (MB) sont orthogonales le triangle AMB est rectangle en M M appartient au cercle de diamètre [ AB]. Si M = A ou M =B, alors le point M appartient évidemment au cercle de diamètre [ AB], et le produit scalaire MA MB est nul (car MA= 0 ou MB= 0 ). Exemples : Dans un repère orthonormé (O ; i, j), l'équation du cercle c de centre Ω( ; 3) passant par le point A(;1) est : (x+ ) + ( y 3) =0 car Ω A =( ( )) + (1 3) =4 + ( ) =16+ 4=0. Soit l'ensemble des points M (x ; y) vérifiant x + y + 6 x y+ 8=0. x + y + 6 x y+ 8=0 [ x + 6 x ]+ [ y + y]+ 8=0 [(x+ 3) 9]+ [( y 1) 1]+ 8=0 (x+ 3) + ( y 1) = On reconnaît l'équation du cercle c de centre Ω( 3 ;1) et de rayon. 5

IV. Autres expressions du produit scalaire 1) Formule du cosinus Théorème : Soit u et v deux vecteurs non nuls, et une mesure de l'angle de vecteurs ( u; v). Alors u v= u v cos θ. Soit O un point du plan. On pose i = 1 u u et j le vecteur tel que ( i ; j) π [ π] et j =1. Le repère (O ; i, j) est un repère orthonormé, dans lequel on a : u( u 0 ) et v ( v cosθ v sin θ) On a donc u v= u v cos θ +0 v sin θ. Notation : ( i ; j)= π + k π (pour k Z) est équivalent à ( i ; j) π [π] qui se lit : «( i ; j) mesure π modulo π» Remarques : Cette formule peut-être très utile pour calculer une mesure de l'angle de vecteurs ( u; v) : cosθ= u v u v Pour tout réel x, on a cos( x)=cos( x). On peut donc utiliser des angles géométriques. Propriétés : Si u et v sont colinéaires et de même sens, alors u v= u v. Si u et v sont colinéaires et de sens contraire, alors u v= u v. Si u et v sont de même sens, alors θ 0[ π], donc cos θ=1. Si u et v sont de sens contraire, alors θ π[ π], donc cos θ= 1. Soit ABC un triangle équilatéral de côté a. On a : AB 1 AC= AB AC cos(60 )= AB AC = a 6

) Formule des projetés orthogonaux Le projeté orthogonal d'un point M sur une droite (d) est le point d'intersection de la droite (d) et de la droite perpendiculaire à (d) passant par le point M. Théorème : Soit A, B, C et D quatre points du plan (avec A et B distincts) ; soit H et K les projetés orthogonaux respectifs de C et D sur la droite (AB). Alors : ={ AB HK si AB et HK sont de même sens AB CD= AB HK AB HK si AB et HK sont de sens contraire On a : AB CD= AB ( CH + HK+ KD)= AB CH + AB HK+ AB KD Or les droites (AB) et (HC) sont, par définition, orthogonales ; il en est donc de même pour les vecteurs AB et HC, dont le produit scalaire est nul. De la même manière, on a AB KD=0. Par conséquent, on a u v= AB HK. Or les vecteurs AB et HK sont colinéaires ; on peut donc conclure en utilisant la propriété précédente. H est le projeté orthogonal de M sur (d) Soit ABCD un carré de côté a. On a alors : AB AC= AB AB=a Car le point C se projette orthogonalement en B sur (AB) Remarques : L'expression donnée dans le théorème est une «définition équivalente» du produit scalaire. La formule du cosinus est une «définition équivalente» du produit scalaire, pour des vecteurs non nuls. 7

V. Applications au triangle et en trigonométrie 1) Relations dans le triangle Formule de la médiane Formules de la médiane : Soit A et B deux points du plan, et I le milieu du segment [ AB]. Pour tout point M du plan : MA + MB = MI + AB MA MB = IM AB MA MB=MI AB 4 Pour tout point M du plan, on a MA + MB = MA + MB =( MI + IA) +( MI + IB). Ainsi, MA + MB = MI + MI IA+ IA + MI + MI IB+ IB qui s'écrit encore : MA + MB = MI + MI IA+ MI IB+ IA + IB = MI + MI ( IA+ IB)+ IA + IB Or I est le milieu de [ AB] ; on a donc IA+ IB= 0 et IA =IB = ( 1 AB ) = AB 4. On a donc MA + MB = MI + MI 0+ AB 4 + AB 4 = MI + AB. Dans le triangle ABC ci-contre, on a BA + BC = BI + AC On a donc : BI = 1 ( BA + BC AC ) = 1 ( 5 +6 10 ) = 11, soit BI = 11. 8

Formule d'al-kashi Dans un triangle ABC, on notera : a=bc, b=ac, c= AB, ^A=^BAC, ^B=^ABC, ^C=^ACB Formule d'al-kashi : Pour tout triangle ABC, on a : a =b + c bc cos  b =a + c ac cos B c =a + b abcos Ĉ a =BC = BC =( BA+ AC) = BA + BA AC + AC =BA +AC AB AC. Or AB AC= AB AC cos ^A qui est l'égalité recherchée. Soit EFG un triangle tel que EF=7, FG=4 et EG=5. On cherche à déterminer les mesures de ses angles. On a donc : g =e + f ef cosĝ Soit 7 =4 + 5 4 5 cosĝ. D'où cosĝ= 8 = 0, soit Ĝ 101,5. 40 De même : f =e + g eg cos^f. D'où cos F = 40 50 =5 7 soit F 44,4. Donc Ê=180 (Ĝ+ F ), soit Ê 34,1. Formule des aires Formule des aires : Pour tout triangle ABC non aplati, si on note s l'aire du triangle ABC, on a : s= 1 bcsin ^A= 1 acsin ^B= 1 ab sin ^C 9

Démonstration (par disjonction des cas) : Appelons H le pied de la hauteur issue de C dans le triangle ABC. Cas 1 :  est aigu On a ^HAC =^BAC=^A Dans le triangle AHC rectangle en H, on a sin^hac = HC AC, c est-àdire sin Â= HC AC. ce que l'on peut encore écrire HC=bsin  Cas :  est droit H et A sont confondus ; on a donc HC= AC=b. Dans ce cas, on a Â= π, donc sin Â=1 ; on peut alors écrire HC=b=b 1=b sin  Cas 3 : A est obtus ^HAC et ^BAC=^A sont supplémentaires ; ils ont donc le même sinus : sin^hac=sin ^A Dans le triangle AHC rectangle en H, on a sin^hac = HC AC, c est-à-dire sin Â= HC ; b ce que l'on peut encore écrire HC=bsin  Dans tous les cas, on peut écrire HC=bsin Â. On peut donc exprimer l'aire s du triangle ABC : s= 1 AB HC= 1 c b sin  ; ce qui s'écrit également s= 1 bc sin Â. Formule des sinus : Pour tout triangle ABC non aplati, on a : a sin  = b sin B = c sin Ĉ On utilise la formule S=bcsin ^A=acsin ^B=absin^C et on divise par le produit abc, ce qui donne : S abc = sin  a = sin B b = sin Ĉ c ou encore a sin  = b sin B = c sin Ĉ = abc S. 10

) Trigonométrie Formules d'addition : Pour tous réels a et b, on a : cos(a+ b)=cosa cosb sin a sin b cos(a b)=cosa cosb+ sin a sin b sin(a+ b)=sin acosb+ sin bcos a sin(a b)=sin acosb sin bcos a Soit a et b deux réels. On munit le plan d'un repère orthonormé (O ; i, j). On définit les vecteurs u et v de la façon suivante : u = v =1 ( i ; u) b[ π ] et ( i ; v) a[ π ] On peut écrire : ( u; v)=( u; i )+( i ; v)= ( i ; u)+( i ; v)= b+a Donc ( u ; v) a b[ π] De plus, les coordonnées des vecteurs u et v sont données par u( cos b D'une part, on a : u v=cos acos b+sin asin b d'autre part, on a : u v= u v cos( u; v)=1 1 cos(a b). On en déduit cos(a b)=cosa cosb+ sin a sin b En remplaçant b par b, on obtient : cos(a+ b)=cosa cosb sin a sin b On a sin(a b)=cos ( π (a b) ) =cos ( ( π + b ) a ). sin b) et v ( cos a sin a). En appliquant la formule on a : sin(a b)=cos (( π + b ) a ) =cos ( π + b ) cos a+ sin ( π + b sin a= sin b cosa+ cos bsin a ) Donc sin(a b)=sin acosb sin bcos a. Puis en remplaçant b par b, on obtient : sin(a+ b)=sin acosb+ sin bcos a Formule de duplication : Pour tous réel a, on a : cos a=cos a sin a=cos a 1=1 sin a sin a=sin a cosa 11