Chapitre 4 : Calcul intégrale Intégrale et aire Exercice 4.. Par un calcul d aire, donner la valeur des intégrales suivantes : 4 x ; 3 x. Tableau de primitives Exercice 4.. En précisant sur quels intervalles elles sont définies, calculer les primitives suivantes. 3x (3x + 4x ) 3 x e x+3 x + 3 x Linéarisation Exercice 4.3. En précisant sur quels intervalles elles sont définies, calculer les primitives suivantes : (x 3 ) ( ; x + 4 ) x 3 ; cos (x) ; sin(x) sin(5x). Intégrales impropres Exercice 4.4. Déterminer si les intégrales impropres suivantes convergent : + 3 ; (x + ) 3 x ; + x. (3x + ) 3 ; 9
Intégration par parties Exercice 4.5. Déterminer les primitives et intégrales suivantes : x sinh(x) x e x x cosh(3x) 4 (g) x ln( x) e x sin(x) e x (ln(x)) arctan(x) Changement de variables Exercice 4.6. Déterminer les primitives et intégrales suivantes : (g) (i) 3x (x 3 + 4) x x 3 + 5 x cos(x 3 ) cos(ln(x)) π 4 x sin( x) x π (h) 3 4 3 x(x 6) 4 3 cos(x) sin 7 (x) x exp(x ) e x e x + 3 (il s agit d une intégrale impropre). Exercice 4.7. A l aide d un changement de variable approprié, calculer les intégrales suivantes π x exp(x 3 ) cos(x) sin(x) π/ sin 3 (x) cos (x) Intégration des fractions rationnelles Exercice 4.8. Calculer les primitives et intégrales des fractions rationnelles suivantes (pour la décomposition en éléments simples des fractions rationnelles voir la feuille de TD no.) : 7 x 5x 6 4 x x + 6x + 9 3 5x + 4 x 3 3x + 3x
Exercice 4.9. Calculer les primitives et intégrales des fractions rationnelles suivantes : x + 3 x + 4x + 3 x + 3 x + 6x + Primitives se ramenant à des primitives de fractions rationnelles Exercice 4.. Calculer les primitives en précisant sur quels domaines elles sont calculées. cosh x. (Indication : u = ex.) tan(x)(sin(x) + ). (Indication : u = sin(x).) e x e x + e x. (Indication : u = ex.) Resumé des techniques d intégration Exercice 4.. Calculer les primitives et intégrales suivantes : (g) x arctan(x) arccos(x) x 3 + x + x x 3 + x x. cosh(x) cosh(3x). (Indication : intégration par parties.) (Indication : intégration par parties.) ln(x ). (Indication : v =.) π 4 sin 3 x cos 3 x. ln 3 x x. x + ln x (h). x (j) x + x 3. (i) (k) x +. e x sinh(x).
COMPLÉMENTS Intégrale et aire Exercice 4.. Par un calcul d aire, donner la valeur des intégrales suivantes : 3 (3x ) ; 3 4 ( x x + ). Exercice 4.3. Calculer les intégrales ci-dessous, et en déduire la valeur de certaines aires. sinh(x) π sin(x) Linéarisation Exercice 4.4. En précisant sur quels intervalles elles sont définies, calculer les primitives suivantes. ( x + x ) 3 ; sin(x) cos(x) ( x + x ). sinh (x) Intégrales impropres Exercice 4.5. Déterminer les valeurs du réel α pour lesquelles l intégrale impropre + x α est convergente. Exercice 4.6. Déterminer si les intégrales impropres suivantes convergent : + x + e 3x 3 x + Intégration par parties Exercice 4.7. En précisant sur quels intervalles elles sont définies, calculer les primitives suivantes : x cos(x) x cos (x) (x + ) e x ln(x) ln(x)
Exercice 4.8. Soit (a,b) R. En précisant sur quels intervalles elles sont définies, déterminer les primitives e ax cos(bx) Exercice 4.9. Soit I n := e x (ln(x)) n. Etablir une relation de récurrence entre I n+ et I n. Puis calculer e x (ln(x))4. Exercice 4.. Soit I n := π cos n (x). En écrivant cos n (x) = cos(x) cos n (x), démontrer que Calculer alors π cos8 (x). I n = n n I n. Exercice 4.. Calculer l intégrale dans le cas où n = 3. I n = x n e x. Exercice 4.. Pour x >, on pose On admet que l intégrale converge. Γ(x) = + t x e t dt Etablir que Γ(x + ) = xγ(x). Calculer Γ(4). Calculer Γ(n + ) pour un entier naturel n. Sachant que Γ( ) = π, déterminer les valeurs de Γ( 3 ) et de Γ( 7 ). 3
Changement de variables Exercice 4.3. En précisant sur quels intervalles elles sont définies, calculer les primitives suivantes (x + ) 3 x 3 + 3x sin(x) cos(x)e cos(x) x 4 + x 6 Exercice 4.4. En précisant sur quels intervalles elles sont définies, calculer les primitives suivantes x + x x x 4 x + 4x 5 x + 3 x 4x + 4 Exercice 4.5. Calculer ln(6) ln(7) e x 3 + e x Exercice 4.6. En précisant sur quels intervalles elles sont définies, calculer les primitives suivantes x 4x (3 x ) 3 x x x 9x x 4 + x x x (g) x (a x ) 3 (h) 4x 8x + 4 Exercice 4.7. En précisant sur quels intervalles elles sont définies, calculer les primitives suivantes : cos(x) + sin(x) + sin (x) e x e x 4
Intégration des fractions rationnelles Exercice 4.8. En précisant sur quels intervalles elles sont définies, calculer les primitives des fractions rationnelles suivantes 3x x 5x + 6 3x x + 4x + 4 Exercice 4.9. En précisant sur quels intervalles elles sont définies, calculer les primitives des fractions rationnelles suivantes x3 + x x x + 6x + 3 x 3 x + 4 x 3 + x + 3x 5 x 3x + 4 x 4 x + (g) x + x 3 x 4x + 5 x + x 3 + x + 3x 5 5x x 4 x x + x + 3x (x 4x + 5) Primitives se ramenant à des primitives de fractions rationnelles En précisant sur quels intervalles elles sont définies, calculer les primitives des fractions rationnelles suivantes (h) e x + e x (Indication : u = e x.) (i) + x. (Indication : u = + x.) sin x cos x (j). (Indication : u = + sin x.) ( + sin x) (k) e x e x. Exercice 4.3. En précisant sur quels intervalles elles sont définies, calculer les primitives suivantes (on pourra utiliser le changement de variable t = tan x ). 5 + 3 cos(x) cos(x) + sin(x) + Exercice 4.3. Calculer les intégrales suivantes (on pourra utiliser le changement de variable t = tan x ). π + cos(x) π 3 + 3 cos(x) sin(x) 5
Fonction définie par une intégrale Exercice 4.3.. Soit f une fonction continue sur un intervale I, a(t) et b(t) des fonctions dérivables et F une primitive de f. Montrer que la dérivée par rapport à t de la fonction définie par G(t) = b(t) a(t) f(x) est f(b(t))b (t) f(a(t))a (t). Indication : Utiliser G(t) = F (b(t)) F (a(t)).. Déterminer de deux façons la dérivée par rapport à t de la fonction définie par G(t) = t 3 Intégrer d abord, puis dériver. Utiliser la formule pour la dérivée vue en cours. t e x. 6