Kholle B Programme 5 septembre 0 Sujet Exercice de cours : Montrer que si (u n ) et (v n ) sont deux suites réelles à termes strictement positifs, équivalentes et ayant une ite différente de, alors ln(u n ) ~ ln(v n ) lorsque Exercice On considère la suite (u n ) définie par u 0 R (u 0 ) et n N,u n+ =f (u n ) où f est la fonction définie sur R \ {} par : f(x) = x + x ) a) Etudier les représentations de f et représenter sur le même graphique son graphe et la droite d'équation y=x. b) Justifier que la suite (u n ) est définie et étudier graphiquement son comportement. c) Dans le cas où ( u n ) converge, préciser sa ite. ) a) Etudier la convergence de (u n ) lorsque u 0 > b) Etudier la convergence de ( u n ) lorsque u 0 <. On pourra dans ce cas distinguer le cas où il existe p N tel que u p et le cas contraire. Sujet Exercice de cours : Montrer qu'une suite d'entiers convergente est stationnaire Exercice Pour tout n N, on considère la fonction f n définie sur ]0 ;+ [ par : f n ( x)=x n +ln x. Montrer que l'équation f n (x)=0 admet une solution unique, notée u n. Etudier la convergence de la suite (u n ) Exercice Montrer que : x>0, arctan x+arctan x = π Sujet 3 Exercice de cours : Soit f une fonction continue sur [0;]. Montrer que Exercice :. Pour tout entier n > 0, on pose u n = k et v n= ) Montrer que (u n ) est monotone. Est-elle convergente? (arctan k ) 0 t n f (t )dt=0 ) a) Comparer u n et v n. Montrer qu'il existe une constante C telle que u n v n C n. b) La suite (v n ) converge-t-elle? Si oui, quelle est sa ite?
Sujet 4 Exercice de cours : Si f est une fonction de classe C sur [a;b] avec a < b alors Exercice : α + b f (t)sin(α t)dt=0 a x lnx Soit f une fonction définie sur [;+ [ par f(x) = x+ ) Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, l'équation f(x) = n admet une solution unique notée α n ) a) Montrer que α n e n b) Montrer que α n est équivalent à e n en + 3) On pose α n =e n (+ϵ(n)) Montrer que ϵ(n) est équivalent à n e n en + Démontrer qu'il existe une fonction ϵ telle que : α n =e n +n+n ϵ (n) avec ϵ (n)=0
Corrigé Sujet Exercice de cours : Montrer que si ( u n ) et (v n ) sont deux suites réelles à termes strictement positifs, équivalentes et ayant une ite différente de, alors ln(u n ) ~ ln(v n ) lorsque Exercice On considère la suite ( u n ) définie par u 0 R (u 0 ) et n N,u n+ =f (u n ) où f est la fonction définie sur R \ {} par : f(x) = x + x ) a) Etudier les représentations de f et représenter sur le même graphique son graphe et la droite d'équation y=x. b) Justifier que la suite (u n ) est définie et étudier graphiquement son comportement. Il faut montrer par récurrence que u n existe et u n (on peut vérifier que l'équation f(x) = n'a pas de solution) c) Dans le cas où ( u n ) converge, préciser sa ite. Si (u n ) converge vers une ite L, alors nécessairement : L = ) a) Etudier la convergence de ( u n ) lorsque u 0 > Si u 0 >, on montre par récurrence que u n > u n+ u n = u n+ u n u n= u n+ u n =+ u n L + L soit L = -. Cette relation permet de montrer par récurrence que u n > et u n+ >u n La suite ( u n ) est donc croissante. Si elle était majorée, elle serait convergente, ce qui est impossible puisque la seule ite possible est -. Elle n'est donc pas majorée, et croissante. Donc, par définition, u n =+ b) Etudier la convergence de ( u n ) lorsque u 0 <. On pourra dans ce cas distinguer le cas où il existe p N tel que u p et le cas contraire. Si il existe p N tel que u p, alors u p+ u p 0 et u p+ += u p+ u p += u p(u p +) u p 0 Soit u p+ On montre alors par récurrence que ( u n ) est, à partir du rang p, croissante et majorée par -, donc convergente et forcément vers -. Si u n > pour tout n, alors (u n ) est décroissante minorée par - (récurrence), donc convergente vers -. Sujet
Exercice de cours : Montrer qu'une suite d'entiers convergente est stationnaire Exercice Pour tout n N, on considère la fonction f n définie sur ]0 ;+ [ par : f n ( x)=x n +ln x. Montrer que l'équation f n (x)=0 admet une solution unique, notée u n f n est définie et dérivable sur ]0 ;+ [ et x ]0 ;+ [,f n '(x)=n x n + x Donc x ]0 ;+ [, f n '(x)>0. De plus f ( x)= et f (x)=+ x x + f n est donc strictement croissante et continue, donc réalise une bijection de ]0 ;+ [ sur R Donc! u n ] 0;+ [;f n (u n )=0. Etudier la convergence de la suite (u n ) On constate que f n ()=. Comme f n est strictement croissante, il vient u n < Donc f n (u n+ )= ln u n+ n f n (u n+ )=u n+ +ln u n+ mais u n+ n+ +ln u n+ =0 u n+ +ln u n+ =(ln u n+ )( u n+ u n+ ) On en déduit que f n (u n+ )>0 Comme f n est strictement croissante, il vient u n <u n+ Donc (u n ) est croissante et majorée par donc convergente. Soit L sa ite. On sait que u n < donc L Supposons L <. Alors par passage à la ite de u n n +ln (u n )=0, on obtient 0 + ln (L) = 0 soit L =. C'est impossible. Donc (u n ) converge vers. Exercice Montrer que : x>0, arctan x+arctan x = π Soit la fonction f définie sur ]0 ;+ [ par f(x) = arctan x+arctan x Alors f ' (x) = +x x ( + )=0 x Donc f est constante et vaut, par exemple f(), soit Sujet 3 π 4 + π 4 = π Exercice de cours : Soit f une fonction continue sur [0;]. Montrer que Exercice :. Pour tout entier n > 0, on pose u n = k et v n= (arctan k ) ) Montrer que (u n ) est monotone. Est-elle convergente? (u n ) est minorée par 0. De plus u n+ u n = + k + k = + + = n (+)+n(+) (+)(+) n (+)(+) + n 3n = n (+)(+) <0 t n f (t )dt=0 0
Donc (u n ) et décroissante et minorée, donc convergente. ) a) Comparer u n et v n. Montrer qu'il existe une constante C telle que u n v n C n. u n v n = ( k +arctan k )( k arctan k ) Mais x>0, arctan x x (considérer par exemple la fonction auxiliaire f(x) = x arctan(x)) Donc u n v n 0 D'après l'égalité des accroissements finis : arctan( )=arctan (0)+ k k arctan '(0)+ k Soit arctan ( k )= k + ( c) k +c D'où k arctan( k )= k Donc 0 k arctan( k ) k k avec c ]0 ; k [ (c) avecc ] 0; +c k [ Comme par ailleurs 0 k +arctan( k ) k On obtient Il est clair que u n v n ( k ) ( k k )= arctan ''(c) avecc ] 0; k [ k (n+) ( n+)= n n (n+) =+ n n 4 (n ) Donc u n v n 4 n b) La suite (v n ) converge-t-elle? Si oui, quelle est sa ite? 0 u n v n 4 n Donc d'après le théorème des gendarmes, (v n) converge vers la même ite que (u n ) Sujet 4 Exercice de cours : Si f est une fonction de classe C sur [a;b] avec a < b alors Exercice : α + b f (t)sin(α t)dt=0 a x lnx Soit f une fonction définie sur [;+ [ par f(x) = x+ ) Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, l'équation f(x) = n admet une solution unique notée α n ) a) Montrer que α n e n b) Montrer que α n est équivalent à e n en + 3) On pose α n =e n (+ϵ(n)) Montrer que ϵ(n) est équivalent à n e n en + Démontrer qu'il existe une fonction ϵ telle que : α n =e n +n+n ϵ (n) avec ϵ (n)=0