Spécle PSI - Cours "Optque ondultore" 1 Drcton à l nn Chptre VII : Les réseux de drcton Objectfs : Présentton des réseux de drcton Utlston pour l mesure d une longueur d onde 1. Générltés sur les réseux 1.1. Poston du problème 1.1.1. Rppel sur les performnces d un prsme Explotnt l dsperson chromtque lors de l réfrcton sur un doptre r verre, un prsme en verre d ndce n() recevnt une onde plne ncdente formée d un ensemble de rdtons de longueur d ondes sous l ncdence fournt (sous réserve de condtons d émergence que nous ne rppellerons ps c) une onde plne émergente telle que, u mnmum de dévton ( = m ), l drecton de propgton est dévée (pr rpport à l drecton de propgton de l onde ncdente) vers s bse d un ngle D, tel que : dd d = tn m n dn d Ans l dsperson d un spectroscope à prsme, qu condtonne son pttude à séprer des longueurs d onde très vosnes, est physquement lmtée pr le pouvor dspersf du verre dns lequel est tllé le prsme utlsé. En prtque l dsperson ttente est de l ordre de l mnute d rc pr nnomètre, ce qu permet d(clement de résoudre (même vec un spectroscope ben réglé) le doublet june du sodum ( =0, 6nm). 1.1.. Interférences à N ondes Les trcés de l pge suvnte ( 1.1.4.) correspondent à l réprtton d ntensté obtenue pr nterférences à l n-n de N ondes dentques (successvement N =1,, 3, 10), cohérentes, présentnt deux à deux l même dérence de mrche donc déphsées deux à deux d un ngle tel que : = 0 L réprtton d ntensté est trcée en foncton de ce déphsge. On constte que : L poston des mxm est ndépendnte de N, ls correspondent à = p vec p enter. Les mxm sont d utnt plus -ns que N est grnd, Entre deux mxm prncpux d ntensté lumneuse, l exste des mxm secondres ms dont l mportnce devent néglgeble qund N devent grnd. 1.1.3. Concluson S l on prvent à fre nterférer dns les condtons précédentes un très grnd nombre de sources secondres, mges d une source prmre polychromtque, une dsperson séprer les mxm correspondnts ux dérentes longueurs d onde pusque est une foncton de. S d utre prt N est grnd, l -nesse de ces mxm permettr de séprer des longueurs d onde très vosnes et on peut penser qu l est ns possble d mélorer les performnces d un prsme.
Optque ondultore. Chptre VII : Les réseux de drcton 1.1.4. Trcé de l ntensté pour dérentes vleurs de N 1.. de drcton 1..1. théorque Un réseu rélse les nterférences à l n-n des ondes drctées pr un grnd nombre de sources secondres cohérentes mges d une source unque. L réprtton sptle de l ntensté lumneuse résultnt de ces nterférences permet, comme vec un prsme, l nlyse spectrle de l lumère ncdente. L modélston l plus smple est l suvnte :
Optque ondultore. Chptre VII : Les réseux de drcton 3 N fentes très -nes, prllèles, équdstntes, ppelées trts du réseu, dont l lrgeur est de l ordre de grndeur de l longueur d onde, provoquent une drcton prtquement sotrope. L dstnce entre deux fentes successves est le ps du réseu. L nverse du ps, 1/, représente le nombre de trts pr unté de longueur. Les vleurs typques sont : 1 =500mm1, grvure sur une longueur L =5cm, N = L 0000. L 1... Rélston prtque Les premers réseux de qulté furent construts pr Rowlnd en 188, en trçnt des trts équdstnts sur une lme de verre, à l de d une ponte en dmnt. Chque trt duse l lumère en dehors de l drecton ncdente et se comporte ns comme une bnde opque. En revnche, les prtes stuées entre les trts, qu lssent psser l lumère, jouent le rôle des fentes du modèle précédent. L qulté des réseux est drectement lée à l précson du trcé des trts : ls dovent être rgoureusement dentques et le ps rgoureusement constnt. Les défuts de pérodcté dégrdent l qulté des mges. Les réseux que l on peut fclement se procurer sont des réplques obtenues en déposnt sur une mtrce, consttuée pr un réseu orgnl grvé, une pellcule de résne polymère que l on détche et que l on -xe sur une lme de verre. Ces copes sont générlement de bonne qulté et ben melleur mrché (quelques centnes de frncs) qu un réseu orgnl dont l grvure, à rson d un trt pr seconde, demnde une journée. On peut églement obtenr de bons réseux à prtr d nterférence d ondes plnes : ce sont les réseux hologrphques. Dns le cs de deux ondes, ces réseux donnent une vrton de trnsprence snusoïdle vec une pérode égle à l nterfrnge : on peut obtenr ns plus de 1000 trts pr mllmètre. L pluprt des réseux utlsés en spectrométre trvllent non pr trnsmsson ms pr ré<exon, ce qu permet d évter les défuts qu occsonne l trversée du support (défuts d homogénété, de plnété, etc.). On dépose sur les bndes d un réseu hologrphque orgnl une couche d lumnum qu ré<écht l lumère ncdente ; les zones en dehors de ces bndes ne ré<échssent ps l lumère et se comportent donc comme des prtes opques. 1.3. Spectroscope à réseu Un spectroscope à réseu est nlogue dns son prncpe à un spectroscope à prsme. Le réseu est éclré en lumère prllèle pr un collmteur dont l fente d entrée est prllèle ux trts. L lumère drctée est reçue pr une lunette (objectf + oculre) réglée pour une mse u pont à l n-n.
Optque ondultore. Chptre VII : Les réseux de drcton 4 L 1 Fente d entrée L F 1 F Oc Collmteur F Objectf Oculre. Mxm prncpux.1. pr trnsmsson Supposons le réseu éclré en lumère monochromtque sous l ncdence. Envsgeons l lumère drctée dns l drecton. Les ngles et sont lgébrques, orentés de l normle u réseu vers le ryon lumneux. Trts du réseu perpendculres u pln de l feulle j+1 j H j+1 A j+1 H j A j Clculons l dérence de mrche entre deux ryons drctés dns une même drecton pr deux trts successfs du réseu : D où l dérence de phse : = j j+1 =(A j H j ) (H j+1 A j+1 ) = n [A j H j H j+1 A j+1 ] = n (sn sn ) = n (sn sn ) = j j+1 = 0 = n (sn sn ) 0 = (sn sn )
Optque ondultore. Chptre VII : Les réseux de drcton 5 Ce déphsge pouvt être clculé drectement pr : = k k d. A j+1 A j = sn sn = (sn sn ) L ntensté lumneuse ser mxmle dns les drectons p pour lesquelles toutes les vbrtons sont en phse = p (p enter reltf), sot : sn p sn = p p est ppelé l ordre du mxmum prncpl dns l drecton p. Excepté dns l ordre p =0, les drectons p dépendent de l longueur d onde. Le réseu est ben dspersf, suf pour l lumère drectement trnsmse pusque p =0correspond à l églté des ngles et. Entre deux mxm prncpux d ntensté lumneuse, l exste des mxm secondres (vor les grphes du 1.1.4. ) beucoup mons ntenses (nvsbles sur les smultons vec dens t ypl ot ) qu n ont ps d ntérêt c... pr ré.exon Pour les réseux trvllnt en ré<exon, pr exemple ceux consttués pr grvure sur une surfce métllque pole, l formule précédente devent : sn p +sn = p.3. Constructon géométrque des drectons des mxm prncpux Consdérons un réseu pr trnsmsson. Les drectons des mxm prncpux sont donnés pr les ngles p tels que sn p =sn + p vec p enter. Il su(t pr conséquent de prendre les ntersectons du cercle de ryon unté centré sur un pont d ncdence vec les drotes perpendculres u pln du réseu et déclées de /. Le nombre d ordre est lmté pr l condton sn + p < 1. p= / p=1 p=0 p=-1 p=- p=-3 p=-4 Pln du réseu.4. Exemple Clculer, sous ncdence normle, les drectons des mxm prncpux d ordres p>0 pour 1 =400nmet =750nmet 1 =500mm1. sn p =sn + p = 1 =400nm =750nm ordre p p 1 3 4 5
Optque ondultore. Chptre VII : Les réseux de drcton 6 Contrrement à un prsme : ce sont les plus grndes longueurs d onde qu sont les plus dévées, l exste pluseurs spectres qu se recouvrent prtellement..5. Dsperson S l lumère ncdente content deux longueurs d onde 1 et on remrque que les mxm prncpux dns un même ordre sont déclés ngulrement et que cet écrt ugmente vec l ordre p. On dé-nt l dsperson d un réseu dns l ordre p, utour de l longueur d onde, pr le déplcement ngulre du mxmum prncpl qund l longueur d onde vre de : sn p sn = p cos p p = p D où l dsperson : p = p cos p Une fble vleur du ps permet ns d obtenr sément une dsperson supéreure à celle d un prsme. Avec 1 =500mm1, p =1; cos p 1 p =5.104 rd. nm 1 mnute. nm 1..6. Recouvrement d ordres A prtr de l ordre deux on constte sur l exemple précédent que les spectres se recouvrent prtellement ce qu rend d(cle l détermnton de l ordre dns lequel on chost d observer ns que le ponté des res. On se lmte donc en générl, pour les mesures, u spectre d ordre un ou deux dns lesquels les mges sont en outre de melleure qulté. 3. Mesure d une longueur d onde Pluseurs méthodes sont possbles. Nous nous lmterons à l utlston du réseu u mnmum de dévton. Le protocole est lors semblble à celu utlsé vec un spectroscope à prsme. 3.1. Exstence d un mnmum de dévton p D Montrons que l dévton D, qu est donc pour une longueur d onde donnée et dns un ordre donné une foncton de l ngle d ncdence, psse pr un mnmum pour =.Prdé-nton : D = p dd d = d p d 1 Clculons d p d en dérentnt à p et constnts l formule des réseux : sn p sn = p cos p d p cos d= d p =0 dd d = cos cos 1 p On en dédut que l dévton D, regrdée comme une foncton de, psse pr un extremum qund : dd d cos = =0 cos =1cos =cos p p p = p
Optque ondultore. Chptre VII : Les réseux de drcton 7 L soluton = p correspond à l ordre p =0pour lequel toute l lumère est trnsmse drectement sns drcton n dsperson et ne convent donc ps. L dévton psse donc pr un extremum pour : D( = p)=d m 3.. Applcton à l mesure d une longueur d onde 3..1. Formule d un réseu u mnmum de dévton L formule des réseux pouvnt s écrre : sn p sn = p sn p cos Sot encore : D p + sn cos = p Au mnmum de dévton = p et cette relton devent : 3... Mesure d une longueur d onde sn Dm = p = sn( D m ) p p + = p On utlse un gonomètre prélblement réglé, le réseu est plcé, trts vertcux, sur une plte forme horzontle. Il est éclré en lumère prllèle pr un collmteur. Le ps du réseu est connu, l est générlement donné pr le fbrqunt et ndqué sur l monture du réseu. L ordre p dns lequel on chost de trvller (en prtque le premer ou le second ordre pour un réseu d envron 500 trts pr mllmètre) est repéré à prtr de l ordre zéro, c est à dre de l lumère drectement trnsmse sns décomposton de l lumère ncdente : l su(t de compter le nombre d pprton de l re à mesurer. L dévton mnmle se détermne, comme pour un prsme, pr ponté ngulre vec une lunette réglée à l n-n : on eectue deux mesures dns le même ordre pour des dévtons mnmles opposées. L dérence des pontés donne D m. p D m D m D m p Exercce 1 : Spectroscope à réseu pln prft pr trnsmsson u mnmum de dévton Un réseu pln, utlsé pr trnsmsson, est formé de trts -ns prllèles équdstnts de, grvés sur un support en verre. Le pnceu ncdent une drecton -xe et ft l ngle vrble 0 vec l normle u réseu qu peut tourner utour d un xe prllèle ux trts. 1) Le réseu est éclré en lumère monochromtque de longueur d onde. On observe les mxms de lumère drctée d ordre K dns l drecton qu ft l ngle vec l normle u réseu. Exprmer sn en foncton de 0, K, et. ) On mesure vec ce réseu l dévton mnmle D m0 =31 4 delrevertedumercure( 0 =546, 1nm) pour le spectre d ordre, pus l dévton mnmle D m1 =18 3 pour l re rouge du cdmum u premer ordre. Clculer ) ) l ngle d ncdence 0 correspondnt à l dévton mnmle de l re verte ; ) b) l longueur d onde de l re rouge du cdmum ; ) c) le nombre n de trts pr mllmètre et le ps du réseu utlsé. 3) Le réseu est éclré pr l lmpe à vpeur de mercure dns les condtons du mnmum de dévton de l re verte ( 0 ). L lunette d observton vse dns l drecton K des mxms de chcune des res de longueur d onde du spectre d ordre K. 3) ) Exprmer K en foncton de K, 0 et n. 3) b) Clculer pour les spectres d ordre et 3, les drectons desmxmsdesprncplesresdellmpeàmercure: volette (4078 Å) ;ndgo(4358 Å) ; bleue (4916 Å) ; verte (5461 Å) ; june 1 (5770 Å) ; june (5791 Å) ; rouge (634 Å).
Optque ondultore. Chptre VII : Les réseux de drcton 8 4) Le réseu est éclré pr une lmpe à vpeur de sodum. Clculer l dstnce X J qu sépre les deux res junes du sodum, d ordre, dns le pln focl de l lunette d observton de dstnce focle f =00mm. 5) Clculer le nombre mnml N 0 de trts de ce réseu s on désre séprer les deux res bleues de l lmpe à néon ( 1 = 471 Ået = 4715 Å) dns l ordre 1. 4. Complément : expresson de l ntensté 4.1. Rppels Dns le chptre VI 4.3.5. nous vons obtenu pour l mpltude totle drctée pr une fente s (P )=Ks t (M)exp k k d. x=+/ y=+b/ OM d s kd = Ks vec les nottons des réseux 4.. Expresson de l ntensté s ( ) = Ks x=+/ = Ks y=+b/ x=/ y=b/ y=+b/ y=b/ x=/ y=b/ exp y (sn sn ) dxdy exp y (sn sn ) dy b s (P )=Ks b snc (sn sn ) exp k k d. OM dxdy Nous vons toujours I = I 0 F dff F nterf. Pour un réseu pln tout se psse comme dns le cs précédent des fentes d Young ms vec un nombre N de fentes : F dff = sn b(sn sn ) b(sn sn ) et F nterf N = exp j k k d. OO m Nous chosssons pour O l poston de l fente 0 ; en notnt le ps du réseu, nous vons : OO m = mu vec u = F nterf = F nterf = N N exp j OO 1 vecteur untre prllèle u réseu k k d. N OO m = exp j k k m d. u exp j k k d.m u on reconnît l somme des termes d une sute géomètrque de rson : exp j k k d.u = exp j k k d. A j+1 A j =exp j (sn sn ) = exp [j ] N F nterf = exp (j ) m exp (jn ) 1 = exp (j ) exp (j ) 1 F nterf =exp(j ) exp jn exp jn exp jn exp j exp j exp j F nterf =exp j N +1 exp jn exp jn exp j exp j F nterf =exp j N +1 sn N sn
Optque ondultore. Chptre VII : Les réseux de drcton 9 D où l ntensté I que nous pouvons trcer en foncton de pour dérentes vleurs de N (cf. 1.1.4.). I = I 0 F dff F nterf = I sn(u) 0 u sn(n ) sn( ) vec = (sn sn ) et u = b(sn sn ) Exercce : réel de drcton à fentes lrges. Cs d un réseu à N =6fentes Un réseu pr trnsmsson est consttué pr N fentes prllèles, de même lrgeur, et dont l équdstnce des centres est ( > ), I percées dns un écrn opque. Ce réseu est éclré en ncdence normle pr une lumère monochromtque de longueur d onde. 1) Détermner, à une constnte multplctve près A 0, l mpltude complexe de l onde drctée pr ce réseu dns l drecton fsnt l ngle ' vec l normle u pln du réseu. ) ) En dédure l lo de réprtton de l ntensté lumneuse drctée dns l drecton ' sous l forme sn u I (u) =I 0. u sn (N(u) N sn ((u) On exprmer les prmètres u, ( et I 0 en foncton de ' et des données,,, A 0 et N. ) b) En dédure l lo I p (') de reprtton de l ntensté dns le cs du réseu prft à N fentes n-nment -nes. Trcer le grphe de l ntensté I p en foncton de sn ' dns l ntervlle / < sn ' < /. 3) On consdère le réseu réel à N =6fentes prllèles dentques dont le ps est égl u trple de leur lrgeur. 3) ) Trcer le grphe I (u) de ce réseu dns l ntervlle u [, ]. Détermner notmment les ntenstés des mxms prncpux dns cet ntervlle ; comben observe-t-on de res en prtque s seules les res d ntenstés supéreures à I 0 /10 sont vsbles? 3) b) Clculer, en mnutes et secondes d rc, l lrgeur ngulre du mxmum prncpl dns l drecton ' =0; on donne =0, 45 µm ; =50µm. 3) c) Clculer l ntensté des mxms secondres dns l régon comprse entre les mxms prncpux les plus vosns de l normle u réseu.