ère STI Ch : Fonctions circulaires /7 FONCTIONS CIRCULAIRES Table des matières I Le radian II Cercle trigonométrique III Angles orientés III. Mesure d un arc ou d angle orienté de vecteurs........................ III. Mesure principale......................................... IV Fonctions sinus et cosinus IV. Défintions............................................. IV. Valeurs remarquables....................................... IV. Période et parité......................................... 5 IV. Variations et courbe représentative............................... 5 IV.. Fonction sinus...................................... IV.. Fonction cosinus..................................... V Equations trigonométriques 7 I Le radian Définition Le radian est, comme le degré ou le grade, une unité de mesure d angles définie de la façon suivante : Si A et M sont deux points d un cercle de centre O de rayon r, l désigne la longueur de l arc ĀM La mesure en radians de l angle AOM est le réel α = l r M l = r α α r A Remarque Le cas particulier r = est intéressant car alors l = α. Dans ce cas, la mesure en radians de l angle AOM est égale à la longueur de l arc géométrique AM Il y a proportionnalité entre la mesure en degrés et la mesure en radians : degrés = radians ou encore 8 degrés = radians --
ère STI Ch : Fonctions circulaires /7 Exemple On obtient le tableau de conversions suivant : Angle plein plat droit fig.b fig.a fig.b Mesure en degrés 8 9 5 Mesure en redians Figure a : Figure b : triangle rectangle isocèle triangle équilatéral II Cercle trigonométrique Définition Un cercle orienté est un cercle sur lequel on distingue les deux sens de parcours : le sens direct ou indirect Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon orienté de telle sorte que le direct est celui du sens inverse des aiguilles d une montre Remarque On peut donner aux sens plusieurs dénominations : Sens direct : sens positif, sens trigonométrique, sens inverse des aiguilles d une montre. Sens indirect : sens négatif, sens horaire. Exemple Placer les principales mesures en radian sur le cercle trigonométrique en prenant cm pour une unité 5 + 7 5 5 7 --
ère STI Ch : Fonctions circulaires /7 III Angles orientés III. Mesure d un arc ou d angle orienté de vecteurs (C) est le cercle trigonométrique de centre O, A et M sont deux points de (C) Définition Une mesure, en radians, de l arc orienté AM ou de l angle orienté ( OA, Ÿ OM) est la longueur de chemin parcouru pour aller de A à M dans le sens direct Propriété Si α est une mesure en radians de l arc orienté AM ou de l angle orienté ( OA, Ÿ OM), alors toutes les mesures en radians de cet arc sont de la forme α + k où k est un nombre entier relatif Remarque Le "k" détermine en fait un nombre de tours que l on affectue sans le sens direct si k est positif, et dans le sens indirect si k est négatif Exemple Placez sur le cercle trigonométrique les quatre points K, L, M, N tels que : est une mesure de (ÿ OK, OL) 5 7 est une mesure de (Ÿ OK, OM) N M K 7 + est une mesure de (ÿ OK, ON) L III. Mesure principale Définition On appelle mesure principale, en radians, son unique mesure appartenant à l intervalle [ ; ] Exemple Donner les mesures principales des angles suivants en les plaçant sur le cercle trigonométrique : α = α = α = α = α = α = --
ère STI Ch : Fonctions circulaires /7 IV Fonctions sinus et cosinus IV. Défintions Définition 5 Soit x un réel quelconque Il lui correspond un unique point M de (C) tel que x soit une mesure en radians de ( Ÿ OA, OM) Le cosinus de x, noté, est l abscisse de M dans le repère (O; i ; j ) Le sinus de x, noté, est l ordonnée de M dans le repère (O; i ; j ) cosx et sinx sont donc respectivement l abscisse et l ordonnée du point M dans le repère (O; i ; j ) á ë On note : M j M x i Propriété cos x + sin x = et IV. Valeurs remarquables 5 7 5 5 7 --
ère STI Ch : Fonctions circulaires /7 D après ce cercle trigonométrique, on peut déterminer quelques valeurs utiles : x IV. Période et parité D après la construction du cosinus et du sinus sur le cercle trigonométrique, on en déduit que : cos(x + ) = cosx sin(x + ) = sinx Ce qui signifie que les fonctions sinus et cosinus sont -périodiques, c est à dire qu elle se répetent de manière identique tous les cos( x) = cosx sin( x) = sinx Ce qui signifie que la fonction cosinus est paire (elle admet une symétrie d axe l axe des ordonnées), et que la fonction sinus est impaire (elle admet comme centre se symétrie). x x x x IV. Variations et courbe représentative Les fonctions sinus et cosinus étant -périodiques, on les étudie sur un intervalle de période Ces fonctions étant aussi paire ou impaire, on peut encore restreindre l intervalle à [ ; ] On obntient les tableaux de variations par lecture du cercle trigonométrique : -5-
ère STI Ch : Fonctions circulaires /7 IV.. Fonction sinus Le tableau de variations sur l intervalle [ ; ] de la fonction sinus est : x sin(x) ր ց On en déduit sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormal (O; i ; j ) sur l intervalle [ ; ], puis par symétrie centrale, sur [ ; ] puis par translation, on obtient la courbe représentative de la fonction sinus qui s appelle une sinusoïde IV.. Fonction cosinus Le tableau de variations sur l intervalle [ ; ] de la fonction cosinus est : x On en déduit sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormal (O; i ; j ) sur l intervalle [ ; ], puis par reflexion par rapport à l axe des ordonnées, sur [ ; ] --
ère STI Ch : Fonctions circulaires /7 par translation, on obtient la courbe représentative de la fonction cosinus qui s appelle une sinusoïde : V Equations trigonométriques Propriété Soit α une réel fixé, alors l équation : = sin α a pour solutions x = α + k et x = α + k, k Z = cos α a pour solutions x = α + k et x = α + k, k Z α + k α + k α + k α α Exemple 5 Résoudre les équations suivantes : ( cos(x) = cos ( ) cos(x) = cos ) cos(x) = Å ã sin(x) = sin Å sin(x) = sin 5 ã sin(x) = { + k, } + k { + k, } + k { + k, } ß + k + k, + k ß 5 + k, + k ß + k, 5 + k α + k -7-