Chapitre 2 Dérivées et primitives I. RAPPELS SUR LES DROITES ET LES FONCTIONS AFFINES Une fonction affine est une fonction définie sur R par : f (x)=ax+b, avec a et b réels. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite d'équation y=ax+b où : a est le coefficient directeur b est l'ordonnée à l'origine Remarque Lorsque b=0, la fonction affine devient linéaire : f (x)=ax. La droite passe alors par l'origine du repère. Remarque : soient A(x A ;y A ) et B(x B ; y B ) deux points de la droite, on a : a= y B y A x B x A. Exemples : voir activité 1 II. NOMBRE DERIVE ET TANGENTE Soit f une fonction définie sur un intervalle I, C sa courbe représentative. Soit A(a ;f (a)) un point de la courbe. Soit M(a+h ;f (a+h)) un autre point de la courbe. 1) Taux d'accroissement de f entre a et a+h Le coefficient directeur de la droite (AM) est : f (a+h) f (a) r(h)= h Ce nombre r(h) est appelé taux d'accroissement de f entre a et a+h. Chapitre 2 : Dérivées et primitives 1
Exercice 1 Soit f la fonction définie sur R pour f (x)=x 2. Soit a=3. Soit h>0. Quel est le taux d'accroissement de f entre a et a+h? 2) Nombre dérivé de f en a Remarque : r (0) n'existe pas mais on s'intéresse à ce que devient r (h) quand h s'approche de 0. Si r(h) tend vers un nombre réel quand h tend vers 0 alors on dit que f est dérivable en a. Ce nombre réel est appelé nombre dérivé de f en a, et il est noté f'(a). On écrit alors : f'(a)=lim h 0 ( f'(a)=lim h 0 f (a+h) f (a) h r(h) ) Exercice 2 1) Reprenons l'exemple précédent. Montrer que f est dérivable en 3 et calculer son nombre dérivé en 3. 2) Soit f la fonction définie sur R par f (x)=x 2 +x. Montrer que f est dérivable en 1 et calculer f'(1). 3) Interprétation graphique Graphiquement, lorsque h tend vers 0, le point M se rapproche de A. Ainsi, lorsque h tend vers 0, le coefficient directeur de la droite (AM) tend vers f'(a) (si r(h) tend vers f'(a)). Si f est dérivable en a, on appelle tangente à la courbe C au point A, la droite qui passe par A et qui a pour coefficient directeur le nombre dérivé f'(a). Chapitre 2 : Dérivées et primitives 2
Remarque Une équation de la tangente peut s'écrire y=f '(a)x+b où b est un réel que l'on déterminera en écrivant que les coordonnées du point A vérifient cette équation (puisque ce point appartient à la droite.) Exercice 3 Reprenons la fonction f définie sur R par f (x)=x 2 +x. Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1? Remarque On peut aussi retenir que l'équation de la tangente à la courbe C au point par : y=f'(a)(x a)+f (a). A(a ;f (a)) est donnée Exercice 4 Retrouver l'équation de la tangente demandée dans l'exercice précédent en utilisant cette méthode. III. FONCTION DERIVEE 1) Si f est dérivable en tout point a d'un intervalle I, on dit que f est dérivable sur I. Remarque Dire que f est dérivable en a signifie que le nombre dérivé f'(a) existe, donc que la tangente à la courbe C f au point A(a ; f (a)) existe. Ainsi, si f est dérivable sur I, alors en chaque point la courbe a une tangente. Soit f une fonction dérivable sur I. La fonction qui à chaque réel x de I associe le nombre dérivé f'(x) de f en x est appelée fonction dérivée de f et se note f' : f': x f'(x) Chapitre 2 : Dérivées et primitives 3
2) Dérivées de fonctions usuelles Propriétés Fonction Fonction affine : f (x)=ax+b Fonction linéaire : f (x)=ax Fonction constante : f (x)= b Fonction puissance : f (x)=x n Fonction carré : f (x)=x 2 Fonction dérivée f '(x)=a f '(x)=a f '(x)=0 f '(x)=n x n 1 f '(x)=2x Fonction inverse : f (x)= 1 x Fonction racine : f (x)= x f '(x)= 1 x 2 f '(x)= 1 2 x Exercice 5 1) Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes : a) f (x)=2x+7 b) g(x)=x 7 2) Calculer le nombre dérivé des fonctions suivantes en x= 2, puis en x= 1 2. a) f (x)=x 2 b) g(x)=x 3 c) h (x)= 1 x d) p( x)= 3x 5 3) Calculer le nombre dérivé de la fonction k, telle que k (x)= x, en 4 puis en 5. Exercice 6 Soit f la fonction définie sur R par f (x)=x 3 et C sa courbe représentative. 1) A est le point d'abscisse 1 de la courbe C. Déterminer une équation de la tangente T à C en A. 2) Tracer la tangente T sur le dessin ci-contre. Chapitre 2 : Dérivées et primitives 4
Propriétés sur le cosinus et le sinus Fonction Fonction dérivée f (x)=cos(x) f '(x)= sin( x) f (x)=sin (x) f '(x)=cos(x) f (t)=cos(ω t+φ) f '(t)= ω sin(ω t+φ) f (t)=sin(ω t+φ) ( ω et φ étant des réels) f '(t)=ωcos(ωt+φ) 3) Dérivées et opérations s Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. La somme u+v est dérivable sur I et (u+v)' =u'+v'. Le produit uv est dérivable sur I et (uv)'=u' v+u v'. Le produit ku où k est une constante réelle, est dérivable sur I et (ku)'=k u'. Le carré u 2 de la fonction u est dérivable sur I et (u 2 )'=2u u'. L'inverse 1 v Le quotient u v de v, avec v( x) 0 avec v( x) 0 sur I, est dérivable sur I et ( 1 v ) ' = v' v. 2 sur I, est dérivable sur I et ( u v ) ' u' v u v' =. v 2 Exercice 7 Déterminer les fonctions dérivées de chacune des fonctions suivantes : 1) f (x)=x 3 +5x 2) g(x)=x 2 cos(x) 3) h (x)= 1 x 2 +1 4) i(x)= 2x 3 3x+1 5) j(x)=6( x2 + 1 x ) 6) k (x)= x2 +5 3 7) l(x)=(x 3 +1) 2 Exercice 8 Déterminer une équation de la tangente en x=2 à la courbe d'équation y=5x 3 2x 2 +1. Chapitre 2 : Dérivées et primitives 5
Nouveau théorème Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et n un entier naturel non nul. La fonction f définie sur I par : f (x)=(u(x)) n est dérivable sur I, et pour tout x de I, on a : f '(x)=n. u ' (x).(u(x)) n 1. On retient que : (u n )'=n.u '. u n 1. Soit u une fonction dérivable et non nulle sur un intervalle I et n un entier naturel. La fonction f définie sur I par : f (x)= 1 est dérivable sur I, et pour tout x de I, on (u(x)) n n.u ' ( x) a : f '(x)= (u(x)). n+1 On retient que : ( 1 u n ) ' = n.u ' u n+1. Exercice 9 Déterminer les fonctions dérivées de chacune des fonctions suivantes : 1) f (x)=(2x+3) 2 2) g(x)=cos x sin 3 x 7 3) h (x)= (3x 2 +1) 4 4) i(x)= (5x 1)2 x+1 Chapitre 2 : Dérivées et primitives 6
4) Signe de la dérivée et sens de variations de la fonction a) Sens de variation : Du sens de variation au signe de la dérivée Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Si la fonction f est croissante sur I, alors pour tout x I, f '(x) 0. Si la fonction f est décroissante sur I, alors pour tout x I, f '(x) 0. Si la fonction f est constante sur I, alors pour tout x I, f '(x)=0. : Du signe de la dérivée au sens de variation Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Si pour tout x I, f '(x) 0, alors la fonction f est croissante sur I. Si pour tout x I, f '(x) 0, alors la fonction f est décroissante sur I. Si pour tout x I, f '(x)=0, alors la fonction f est constante sur I. Exercice 10 Soit f la fonction définie sur [ 1; 3] par f (x)= x 2 +4x+1. 1) Calculer la dérivée de f et déterminer le signe de cette dérivée. 2) a) Étudier le sens de variation de f sur [ 1; 3] et construire son tableau de variations. b) Vérifier la cohérence des résultats précédents avec le graphique affiché par la calculatrice. b) Extremum Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle I. Si la fonction dérivée f ' s'annule en x 0 en changeant de signe alors la fonction f admet un extremum (maximum ou minimum) local en x 0. Exercice 11 Soit f la fonction définie sur [ 1 ; 2] par : f ( x)=2 x 3 3 x 2 +3. Déterminer les extrema locaux de la fonction f sur l'intervalle [ 1; 2]. Chapitre 2 : Dérivées et primitives 7
c) Résolution d'une équation de type f ( x)=k. des valeurs intermédiaires Si la fonction f est dérivable et strictement monotone sur l'intervalle [a ; b] alors tout nombre réel fixé k compris entre f (a) et f (b) admet un unique antécédent x 0 compris entre a et b. Autrement dit, pour tout nombre réel fixé k compris entre f (a) et f (b) l'équation f ( x)=k (d'inconnue x) admet une unique solution x 0 entre a et b. Si f est strictement croissante : x a x 0 b f (x) f (a) k f (b) Si f est strictement décroissante : x a x 0 b f (x) f (a) k f (b) Exercice 12 Soit f la fonction définie sur [ 2; 0] par : f ( x)=x 3 +x. 1) Donner le nombre de solutions de l'équation f ( x)= 1. 2) En utilisant la calculatrice, donner une valeur approchée à 10 3 de cette(s) solution(s). Chapitre 2 : Dérivées et primitives 8
IV. PRIMITIVES 1) Ensemble des primitives Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. On appelle primitive de f sur I toute fonction F dont la dérivée est f. F f F '= f Exemple Soit f la fonction définie sur R par f ( x)=2 x. La fonction F définie sur R par F ( x)=... est une primitive de la fonction f et la fonction G définie sur R par G(x)=... en est une aussi. F et G sont deux primitives de f sur R. Exercice 13 Soit f la fonction définie sur R par f ( x)=(2 x+1)( x 2 +x+3). Vérifier que la fonction F définie sur R par F ( x)= 1 2 (x 2 +x+3) 2 est une primitive de f sur R. Si f est une fonction admettant une primitive F sur un intervalle I, alors toutes les autres primitives de f sur I sont de la forme F +c où c est une constante (c R). Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I. Parmi les primitives de f définies sur I, il en existe une et une seule vérifiant la relation F (x 0 )=y 0 où x 0 et y 0 sont des réels donnés. Exercice 14 Soit f la fonction définie sur R par f ( x)=3 x 2 3. 1) Donner les primitives de la fonction f sur R. 2) Déterminer la primitive F de la fonction f qui vérifie la relation F (2)=6. Exercice 15 Soient F et f les fonctions définies sur R respectivement par f ( x)=3 x 2 +2 x 7 et F ( x)=x 3 +x 2 7 x. 1) Vérifier que F est une primitive de f sur R. 2) Déterminer, si elle existe, la fonction G, primitive de f sur R et qui vérifie G ( 1)=8. Chapitre 2 : Dérivées et primitives 9
2) Primitives de fonctions usuelles Les primitives de fonctions usuelles sont données par le tableau suivant, dans lequel c représente une constante réelle. La fonction f définie par Admet comme primitives les fonctions définies par : Sur : f (x)=0 F (x)=c R f (x)=k F (x)=kx+c R f (x)=x n (n entier supérieur ou égal à 1) f (x)= 1 x n (n entier supérieur ou égal à 2) F (x)= xn+1 n+1 +c R 1 F (x)= (n 1) x +c ] ; 0[ ou ]0;+ [ n 1 f (x)=sin x F (x)= cos x+c R f (x)=cos x F (x)=sin x+c R Exemple Les primitives de la fonction f définie par f ( x)= 1 x 8 sont données par :... 3) Opérations sur les primitives a) Somme de deux fonctions Si F est une primitive de f sur un intervalle I et si G est une primitive de g sur I, alors F +G est une primitive de f +g sur I. Exercice 16 Déterminer les primitives de la fonction f définie sur R par : f ( x)=sin x+x. b) Produit d'une fonction par une constante Si F est une primitive de f sur un intervalle I et si k est un nombre réel, alors kf est une primitive de kf sur I. Exercice 17 Déterminer les primitives de la fonction f définie sur ]0 ;+ [ par : f ( x)= 1 2 x 3. Chapitre 2 : Dérivées et primitives 10
c) Primitives de cos(ax+b) et sin(ax+b) Soient a et b deux nombres réels. Si f est la fonction définie sur R par f ( x)=cos(ax +b) alors les primitives de la fonction f sur R sont de la forme : F (x)= 1 sin(ax+b)+c, où c est une constante a réelle. Si g est la fonction définie sur R par g ( x)= sin(ax+b) alors les primitives de la fonction g sur R sont de la forme : G( x)= 1 cos(ax+b)+c, où c est une constante a réelle. Exercice 18 a) Déterminer les primitives de la fonction f définie sur R par : f ( x)=4 cos(5 x). b) Déterminer les primitives de la fonction g définie sur R par : g (x)=5 sin(3 x+2). d) Primitives de fonctions de la forme u' u n et u' u n Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, et n un entier naturel non nul. Si f est la fonction définie sur I par : f (x)=u' (x)(u(x)) n alors les primitives de la fonction f sur I sont de la forme : F (x)= 1 n+1 (u(x))n+1 +c, où c est une constante réelle. Si g est la fonction définie sur I par : g (x)= u ' (x) alors les primitives de la fonction g (u(x)) n 1 sur I sont de la forme : G( x)= +c, où c est une constante réelle. n 1 (n 1)(u( x)) Exercice 19 a) Déterminer les primitives de la fonction f définie sur R par : f ( x)=7(3 x 2 +5)(x 3 +5 x 1) 2. b) Déterminer les primitives de la fonction g définie sur I par : g (x)= 2 x+5 ( x 2 +5 x+8). 4 Chapitre 2 : Dérivées et primitives 11