Lycée de la Plaine de l Ain Bac. blanc Mathématiques Terminale S Mars 2005 1
Exercice 1 (4 points). A ne traiter que par les élèves ne suivant pas l enseignement de spécialité. 1. Résoudre dans C l équation z 2 2 2z + 4 = 0. (a) Donner la forme algébrique des solutions. (b) Donner la forme exponentielle des solutions. 2. Dans le plan muni d un repère orthonormal (O; u, v ), on considère les points A, B et C d affixes respectives a = 1 2, b = 2 (1 + i) et c = 2 (1 i). (a) Déterminer l affixe d du point D image de C par l homothétie de centre A et de rapport 3. (b) Déterminer l affixe f du point F image de C par la rotation de centre O et d angle π 2. (c) Déterminer la forme exponentielle de Z = d b. Interpréter le résultat à f b l aide d une transformation. (d) Soit I le milieu de [DF ] et G le symétrique de B par rapport à I. Donner la nature du quadrilatère BDGF. Exercice 1 (4 points). A ne traiter que par les élèves suivant l enseignement de spécialité. Pour tout entier naturel n 5, on considère les nombres a = n 3 n 2 12n et b = 2n 2 7n 4. 1. Montrer que a et b sont des entiers divisibles par n 4. 2. On pose α = 2n + 1 et β = n + 3. On note d = P GCD(α, β). (a) A l aide d une combinaison linéaire à coefficients entiers de α et β indépendante de n, démontrer que d divise 5. (b) Démontrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes : i. α et β sont multiples de 5 ii. n 2 mod 5 3. Démontrer que 2n + 1 et n sont premiers entre eux. 4. Déterminer, suivant les valeurs de n et en fonction de n, le PGCD de a et b. mars 2005 page 2/14
Exercice 2 (4 points). Soit n un entier naturel non nul et f n la fonction définie sur [0, + [ par { f n (x) = x n ln(x) si x ]0, + [ f n (0) = 0 On note C n la courbe représentative de f n dans un repère orthonormé 1. (a) La fonction f n est-elle continue sur ]0, + [? (b) La fonction f n est-elle continue en 0? ( O; i, ) j. 2. Soit n 2. Démontrer que la fonction f n est dérivable en 0 et déterminer f n(0). 3. La fonction f 1 est-elle dérivable en 0? 4. (a) Déterminer f n sur ]0, + [. (b) Dresser le tableau de variations de f n. 5. (a) Démontrer qu il existe deux points du plan (et deux seulement) appartenant à toutes les courbes C n. (b) On note A l un de ces deux points (A O). Démontrez que toutes les courbes C n admettent une même tangente en A. Exercice 3 (3 points). 1. Résoudre l équation différentielle E : y 2y = 0 (où la fonction inconnue y est fonction de la variable x). 2. Déterminer un polynôme du second degré P solution de l équation différentielle F : y 2y = Q où Q est le polynôme défini par Q(x) = 8x 2 8x (et où la fonction inconnue y est fonction de la variable x). 3. Soit f une solution quelconque de l équation différentielle F. (a) Etablir que f P est une solution de E. (b) En déduire que f est nécessairement de la forme 4. En déduire l ensemble des solutions de F. x k exp(2x) 4x 2 mars 2005 page 3/14
Exercice 4 (5 points). Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x exp(x) exp(x) + 1 On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( O, i, ) j. 1. Déterminer la ite de f en et interpréter graphiquement le résultat. 2. (a) (question de cours) Etablir que pour tout réel x, on a exp(x) exp( x) = 1 en supposant ne connaître de l exponentielle que la seule propriété suivante { : y = y sur R exp est l unique fonction y dérivable sur R telle que y(0) = 1 (b) Déterminer la ite de f en +. 3. (a) Démontrer que la droite d équation y = x est asymptote à C. (b) Etudier les positions relatives de C et. 4. Montrer que f (x) = exp(x)g(x) (exp(x) + 1) 2 où g est la fonction définie sur R par g(x) = exp(x) + x + 1. 5. Déterminer une équation de la tangente T à C au point d abscisse 0 et étudier la position de C par rapport à T. 6. (a) Etudier les variations de g sur R, ainsi que ses ites en + et. (b) Démontrer que l équation g(x) = 0 admet une unique solution dans R, que l on notera α. 7. Dresser le tableau de variations de f. 8. Montrer que f(α) = α + 1. mars 2005 page 4/14
NOM, Prénom et classe : Exercice 5 (4 points). Pour chacune des affirmations proposées, indiquer V (pour vrai) ou F (pour faux) dans la case correspondante. On ne demande pas de justification. N oubliez pas d indiquer votre nom sur cette feuille. Une réponse juste sera notée par +0, 25, une réponse fausse par 0, 25, et l absence de réponse par 0. Propositions Pour tout x R, ln(x 2 ) s écrit aussi 2 ln(x) Si x = 1 alors ln(x 2 ) = 0 Pour tout x R, si ln(x 2 ) = 0 alors x = 1 Pour tout x R, ln(x 2 ) 0 «Pour tout x ]0; + [, ln(x 2 1 ) = ln x = 1 x Propositions Pour tous a ]0; + [ et b ]0; + [, ln(a) = ln(a) ln(b) ln(b) Pour tout a ]0; + [, (ln(a)) 2 = 2 ln(a) Il existe un réel a tel que (ln(a)) 2 = ln(a 2 ) Il n existe pas de couple (a, b) de réels tels que ln(a + b) = ln(a) + ln(b) Pour tous a ]0; + [ et b ]0; + [, ln(ab) = ln(a) + ln(b) Propositions La fonction x 1 est dérivable sur ]0; + [ et a pour dérivée la fonction x ln(x) x la fonction x ln (ln(x)) est dérivable sur ]1; + [ et a pour dérivée la fonction x 1 ln(x) Pour x ]1; + [, ln (ln(x)) = 0 x = e La fonction x e est dérivable sur R et a pour dérivée la fonction x e La fonction x ln `ln(x 3 ) est dérivable sur ]1; + [ et a pour dérivée la fonction x 1 x ln(x) Proposition Si une suite u converge vers une ite l et est telle que, pour tout entier n, u n+1 = f (u n) où f est la fonction définie à l exercice 4 alors l = 0 mars 2005 page 5/14
Exercice 1. Corrigé 1. Le discriminant est ( = 2 2 2) 4 4 = 8 Les solutions de l équation sont : et c = b i 2a (a) Forme algébrique des solutions : = 2 i 2 b = c = 2 + i 2 b = 2 + i 2 (b) Forme exponentielle des solutions. c = 2 i 2 b = 2 + 2 = 2 et D où et Et donc cos (arg (b)) = Re(b) b sin (arg (b)) = Im(b) b arg (b) = π 4 b = 2 e i π 4 c = b c = 2 e i π 4 = = 2 2 2 2 2. (a) d est défini par la relation d a = 3 (c a) d où et d = 3c + 4a d = 2 + 3i 2 mars 2005 page 6/14
(b) f est défini par la relation d où et f = e i π 2 c f = ic f = 2 i 2 (c) Après calcul (effectués à l aide des formes algébriques), on obtient Z = i, soit Z = e i π 2 L égalité d b = e i π 2 (f b) s interprète ainsi : le point D est image du point F par la rotation de centre B et d angle π 2. (d) Les diagonales [BG] et [F D] se coupent en leur milieu I : BDGF est donc un parallélogramme. D après la question précédente, l angle en B est droit : il s agit donc d un rectangle. Le milieu I de [F D] a pour affixe : z I = 1 2 (f + d) = 2 + i 2 F et D ont même abscisse (puisque Re(z F ) = Re(z D )), donc (F D) est parallèle à l axe des ordonnées. B, I et D ont même ordonnée (puisque Im(z B ) = Im(z I ) ), donc (BD) est parallèle à l axe des abscisses. Les diagonales [BG] et [F D] sont donc perpendiculaires : le quadrilatère est donc un carré. Exercice 1 (4 points). enseignement de spécialité. 1. et a = n (n 4) (n + 3) b = (n 4) (2n + 1) Comme n (n + 3) est un entier, on en déduit que a est divisible par n 4. Analogue pour b. 2. (a) d divise β et α, donc d divise 2β α = 5. (b) ( ) Si α et β sont multiples de 5, on a particulier β 0 mod 5 soit n + 3 0 mod 5, d où n 3 mod 5 ou encore n 2 mod 5. ( ) Si n 2 mod 5, alors n + 3 2 + 3 mod 5 et 2n + 1 2 2 + 1 mod 5, c est à dire β 0 mod 5 et α 0 mod 5 ou encore : β et α sont multiples de 5. mars 2005 page 7/14
3. Soit δ = pgcd (2n + 1; n). δ divise 2n+1 et n, donc δ divise (2n + 1) 2 (n) = 1. Donc δ = 1, c est à dire : 2n + 1 et n sont premiers entre eux. 4. d où De plus pgcd (a; b) = pgcd (n (n 4) β; (n 4) α) pgcd (a; b) = (n 4) pgcd (nβ; α) pgcd (nβ; α) = pgcd (β; α) En effet, soit Φ = pgcd (nβ; α) et σ = pgcd (β; α). σ divise β et α donc divise nβ et α et divise donc leur pgcd : σ divise Φ. Φ divise α. α est premier avec n (d après la question 3), donc Φ, diviseur de α, est également premier avec n. Par ailleurs Φ divise nβ, donc (étant premier avec n) divise β. Ainsi Φ divise α et β, donc divise leur pgcd : Φ divise σ. Des deux points précédents, on déduit : Φ = σ. On a donc : pgcd (a; b) = (n 4) pgcd (β; α) = (n 4) d Par ailleurs, on sait d après la question 2a, que d vaut 1 ou 5. Et, avec la question 2b, on peut préciser : { 5 si n 2 mod 5 d = 1 sinon On a donc : Exercice 2 (4 points). pgcd (a; b) = { 5 (n 4) si n 2 mod 5 (n 4) sinon 1. (a) La fonction f n est continue sur ]0, + [ comme produit de telles fonctions. (b) D après le théorème des croissances comparées : x 0 xn ln(x) = 0 2. f n(x) = 0 = f n (0) x 0,x>0 La fonction f n est donc continue en 0. f n (x) f n (0) x 0 = x n 1 ln(x) Comme n 2, on a n 1 1 et avec le théorème des croissances comparées : x 0 xn 1 ln(x) = 0 La fonction f n est donc dérivable en 0 et f n(0) = 0 mars 2005 page 8/14
3. d où donc f 1 n est pas dérivable en 0. f 1 (x) f 1 (0) x 0 = ln(x) f 1 (x) f 1 (0) = x 0 x 0 4. (a) Sur ]0, + [, f n est un produit uv de fonctions u : x x n v : x ln(x) dérivables sur ]0, + [, donc f n est dérivable sur ]0, + [ avec soit f n = u v + uv ou f n(x) = nx n 1 ln(x) + x n 1 x f n(x) = x n 1 (n ln(x) + 1) pour x ]0; + [ (b) Comme x n 1 > 0 pour x ]0, + [, f n a le signe de n ln(x) + 1 pour x ]0, + [. n ln(x) + 1 > 0 ln(x) > 1 ( ) 1 x > exp n n (on a utilisé la stricte croissance sur R de la fonction exp) De même : n ln(x) + 1 < 0 ln(x) < 1 n x 0 exp ( ) 1 n Signe de f (x) 0 + Variations de f 0 1 ne 0 < x < exp + ( ) 1 n 5. (a) donc f 1 (x) = f 2 (x) x = 0 ou x ln(x) = x 2 ln(x) x ln(x) = x 2 ln(x) ( x 2 x ) ln(x) = 0 x ln(x) = x 2 ln(x) x (x 1) ln(x) = 0 f 1 (x) = f 2 (x) x = 0 ou x = 1 mars 2005 page 9/14
Les courbes C 1 et C 2 ont donc deux points communs : le point O origine du repère et le point A (1; 0). On vérifie facilement que ces deux points appartiennent à toutes les courbes C n, CQFD. (b) La tangente en A à C n a pour équation réduite : y = f n(1)(x 1) + f n (1) soit CQFD y = x 1 Exercice 3 (3 points). 1. Les solutions de l équation différentielle sont les fonctions de la forme (α R) E : y 2y = 0 x α exp (2x) 2. Un polynôme du second degré P est de la forme x ax 2 + bx + c où a R, b R, c R. On a avec un tel polynôme, pour tout réel x : P (x) 2P (x) = (2ax + b) 2 ( ax 2 + bx + c ) soit P (x) 2P (x) = 2ax 2 + ( 2b + 2a) x + ( 2c + b) En identifiant les coefficients de ce polynôme à ceux du polynôme Q, on constate que le polynôme P : x 4x 2 est une solution de l équation différentielle F. 3. (a) (f P ) 2 (f P ) = (f 2f) (P 2P ) = Q Q = 0 donc f P est une solution de E. (b) f P, solution de E, est de la forme ce qui signifie que f est de la forme x k exp (2x), k R x k exp(2x) + P (x) c est à dire : x k exp(2x) 4x 2 mars 2005 page 10/14
4. D après ce qui précède toute solution de F est de la forme x k exp(2x) 4x 2 Réciproquement, on vérifie aisément que toute fonction de cette forme est solution de F. L ensemble des solutions de F est donc exactement l ensemble des fonctions de la forme : Exercice 4. x k exp(2x) 4x 2, k R 1. D après le théorème des croissances comparées : x exp(x) = 0 x Comme on a : et finalement : exp(x) = 0 x exp(x) + 1 = 1 x f = 0 Interprétation graphique : la droite d équation y = 0 est une asymptote à la courbe représentative de f en. 2. (a) Soit Φ la fonction définie sur R par On a Φ(x) = exp(x) exp( x) Φ = exp exp u où u est la fonction définie sur R par u(x) = x. exp u est dérivable sur R comme composée de telles fonctions, et Φ est dérivable sur R comme produit de telles fonctions avec : soit ou encore (puisque u = 1). On a donc Φ = exp exp u + exp (exp u) Φ = exp exp u + exp u exp u Φ = exp exp u exp exp u Φ = 0 Φ est donc une fonction constante. Comme Φ(0) = exp(0) exp(0) = 1, on a finalement pour tout réel x : Φ(x) = 1. Soit : x R exp(x) exp( x) = 1 mars 2005 page 11/14
(b) Pour tout réel x : f(x) = x 1 + e x (on a multiplié numérateur et dénominateur par e x ). Comme x + ex = + on a : d où et x + e x = x + x + 1 + e x = 1 f = + + 1 e x = 0 3. (a) f(x) x = xex 1 + e x x = xex x(e x + 1) 1 + e x = x 1 + e x (b) e x x + x = + (d après le thm des croissances comparées) d où e x x + x + 1 x = + c est à dire d où la ite de l inverse : Ainsi CQFD e x + 1 = + x + x x + x e x + 1 = 0 f(x) x = 0 x + f(x) x = x 1 + e x Comme exp > 0 sur R, on en déduit que f(x) x est du signe de x. Ainsi la courbe C est au-dessus de pour x < 0, coupe au point origine et est en-dessous de pour x > 0. 4. f = uv où u(x) = x, v = exp, w = 1 + exp. w f = (uv) w (uv)w w 2 = (u v + uv )w uvw w 2 mars 2005 page 12/14
soit, pour tout réel x : ce qui donne : f (x) = (ex + xe x ) (1 + e x ) x (e x ) 2 (1 + e x ) 2 f (x) = exp(x)g(x) (exp(x) + 1) 2 où g est la fonction définie sur R par g(x) = exp(x) + x + 1. 5. Equation de la tangente T à C au point d abscisse 0 : y = f (0)(x 0) + f(0) soit y = 1 2 x f(x) 1 2 x = x (ex 1) 2 (1 + e x ) f(x) 1 2 x a donc le signe de ex 1 : C est donc en dessous de T pour x ] ; 0[, C coupe T au point origine du repère, C est au-dessus de T pour x ]0; + [. 6. (a) Comme la fonction exp et la fonction affine x x + 1 sont strictement croissantes sur R, g est somme de fonctions strictement croissantes sur R et est donc strictement croissante sur R. Comme Comme x + ex = + et x + x + 1 = +, on a g = + + x ex = 0 et x + 1 =, on a x g = (b) g est continue (comme somme de telles fonctions) sur R, g prend des valeurs positives et des valeurs négatives comme le montrent les résultats sur les ites de la question précédente. Donc, d après le thm des valeurs intermédiaires, g s annule au moins une fois sur R. Comme de plus g est strictement croissante sur R, g s annule au plus une fois sur R (thm d injectivité des fonctions strictement monotones). 7. D après la question 4., f a le signe de g sur R. Et le signe de g est donné par la question 6. x α + Signe de g 0 + Variations de f 0 f (α) + mars 2005 page 13/14
8. Or g(α) = 0 donc e α = α 1 d où f(α) = αeα e α + 1 soit ou encore f(α) = f(α) = α ( α 1) α 1 + 1 α (α + 1) α f(α) = α + 1 Exercice 5 (4 points). Propositions Pour tout x R, ln(x 2 ) s écrit aussi 2 ln(x) Si x = 1 alors ln(x 2 ) = 0 Pour tout x R, si ln(x 2 ) = 0 alors x = 1 Pour tout x R, ln(x 2 ) 0 «Pour tout x ]0; + [, ln(x 2 1 ) = ln x = 1 x F V F F V Propositions Pour tous a ]0; + [ et b ]0; + [, ln(a) = ln(a) ln(b) ln(b) F Pour tout a ]0; + [, (ln(a)) 2 = 2 ln(a) Il existe un réel a tel que (ln(a)) 2 = ln(a 2 ) Il n existe pas de couple (a, b) de réels tels que ln(a + b) = ln(a) + ln(b) Pour tous a ]0; + [ et b ]0; + [, ln(ab) = ln(a) + ln(b) F V F V Propositions La fonction x 1 est dérivable sur ]0; + [ et a pour dérivée la fonction x ln(x) x F la fonction x ln (ln(x)) est dérivable sur ]1; + [ et a pour dérivée la fonction x 1 ln(x) Pour x ]1; + [, ln (ln(x)) = 0 x = e La fonction x e est dérivable sur R et a pour dérivée la fonction x e La fonction x ln `ln(x 3 ) est dérivable sur ]1; + [ et a pour dérivée la fonction x 1 x ln(x) F V F V Proposition Si une suite u converge vers une ite l et est telle que, pour tout entier n, u n+1 = f (u n) où f est la fonction définie à l exercice 4 alors l = 0 V mars 2005 page 14/14