Programme détaillé du LM100 version 0.1 (24 novembre 2011) Les notions assorties d une ne sont traités que de façon qualitative, ou s il s agit de théorèmes, de façon heuristique et sans démonstration. L étude de plusieurs exemples bien choisis va de soit et n est donc pas rappelée systématiquement. 1 Fonctions de la variable réelle 1.1 Définitions Fonction/application Ensemble de définition ; notion de prolongement Pôles, et zéros Graphe Périodicité, parité et symétries 1.2 Régularité des fonctions 1.2.1 Limites Limite finie en un point Limite à droite et à gauche Limite infinie et/ou à l infini Asymptotes et branches paraboliques Théorème des gendarmes 1.2.2 Continuité I Analyse Définition Exemples fondamentaux de fonctions continues ou discontinues Théorème des valeurs intermédiaires Méthode de la dichotomie Théorème de la bijection et fonction réciproque 1.2.3 Dérivation Définition ; dérivées à droite et à gauche Exemples fondamentaux de fonctions dérivables ou non dérivables Différentielle Dérivée des fonctions composées f g Dérivée seconde : concavité, inflexion Dérivées successives ; Notions de fonction C n Notion d extrémum et Théorème de Rolle Théorème des accroissements finis Dérivée de la fonction réciproque Méthode de Newton 1.3 Étude de fonction 1. Ensemble de définition 2. Périodicité, parité et symétries 3. Limites au bornes, asymptotes 4. Zéros de la fonction 5. Calcul de la dérivée ; valeurs particulières 6. Extrema (détermination ou encadrement des zéros de la dérivée) 7. Signe de la dérivée et sens de variation 8. Dérivée seconde : concavité et points d inflexion 9. Tableau de variation 10. Tracé du graphe 1
2 Développements limités 2.1 Inroduction : approximation par un polynôme Tangente et différentielle Développement de Taylor d un polynôme de degré deux et trois Théorème d approximation de Bernstein Notion de o et O : quantités négligeables Notion d équivalence 2.2 Formule de Taylor Idée de la formule Taylor Taylor-Lagrange : R n (x) = f (n+1) (ξ) x a n+1 /(n + 1)! Taylor-Young : R n (x) = o (x a)n x a Exemples, Formule de Mac Laurin 2.3 Manipulation des DL Addition et multiplication Composition et Fonction réciproque Primitivation et dérivation Application au calcul des limites et asymptotes 2.4 Exemples fondamentaux Fonctions polynômes Fonctions exponentielle et trigonométriques Fonctions puissance et logarithme Notion de fonction entière (analytique) 3 Intégration 3.1 Inroduction Notion de primitives Aire sous la courbe : cas de la droite et du cercle Approximation par une fonction en escalier et sommes de Riemann Intégrale de Riemann Lien avec les primitives 3.2 Propriétés de l intégrale Intégrabilité des fonctions continues (ou par morceaux si bornées) Intégrale définie et indéfinie Propriétés (linéarité, positivité, relation de Chasles, parité) Passage à la limite Relation avec la primitive : calcul direct Moyenne (dont théorème de la moyenne) 3.3 Méthodes de calculs et applications Intégration par partie (simple et généralisée) Intégration par changement de variable (bijectif et dérivable) Aire entre deux droites Volumes simples (prismes et volumes décrits par une aire A(z)) 3.4 Intégrales impropres Notion et exemples 2
4 Fonctions de plusieurs variables 4.1 Généralités Exemples à 2 et 3 dimensions Ensemble de définition Continuité continuité par rapport à chacune des variables Graphe = surface de R n+1 Courbes de niveau 4.2 Différentiation Dérivées partielles Différentiabilité Gradient Calcul de différentielles 4.3 Différentiation (II) Fonctions composées Dérivées directionnelles Extrema Dérivées partielles d ordre 2 4.4 Théorème de Schwarz Notion de forme différentielle (degré un) Énoncé du théorème de Schwarz Contre-exemple Intégration d une forme différentielle sur un arc paramétré Justification heuristique du théorème de Schwarz 4.5 Intégration d une forme différentielle totale Exemples à 2 variables et à 3 variables 5 Équations différentielles Il a été décidé de supprimer les EDO du 2 nd ordre, et de traiter à la place des EDO à variables séparables 5.1 Généralités Motivations Ordre d une EDO EDO implicites et explicites Exemple fondamental : exponentielle (réelle et complexe) 5.2 Équations différentielles linéaires du 1 er ordre Intérêt général des EDO linéaires : principe de superposition EDO linéaire à coeff. constant sans second membre EDO linéaire à coeff. constant avec second membre constant Second membre variable : méthode de variation de la constante 5.3 Équations différentielles à variables séparables Équation linéaire homogène à coefficients dépendants de t Cas général de l EDO du 1 er ordre à variables séparables Exemples 3
1 Notions fondamentales 1.1 Généralités Notion d espace vectoriel (sur R) et de sev Exemples R n, P n [X] Famille libre, Famille génératrice, bases Produit scalaire Vecteurs ligne, Vecteurs colonne 1.2 Applications linéaires Définition d une A.L de dans ; exemples Cas particulier des automorphismes Exemples : projections, isométries 2 Matrices 2.1 Notion de matrice II Algèbre linéaire Matrice n m d une application linéaire Matrices carrées à 2 et trois dimensions Calcul matriciel : addition et multiplication par un scalaire Matrice de changement de base 2.2 Produits de matrices Composition des AL dans R 2 Généralisation : produit lignes par colonnes Action d une matrice sur un vecteur ligne ou colonne Produits successifs Inverse d une matrice Méthodes d inversion 3 Résolution des systèmes linéaires Exemple à deux dimension, notion de déterminant Déterminants Calcul de déterminant à 3 dimensions et au delà Régularité d un système Discussion des différents cas à 2 et à 3 dimensions Méthode de Cramer Méthode du pivot de Gauss 1 Probabilités discrètes III Probabilités 1.1 Rappels de combinatoire et dénombrements Permutations, arrangements, combinaisons Dénombrements (avec et sans répétions) Triangle de Pascal et formule du binôme 1.2 Probabilité discrètes Notion d épreuve et d événement 4
Probabilités et fréquences Loi de Bernoulli, Loi de Pascal Loi binomiale Limite gaussienne et poissonnienne de la loi binomiale Loi des grands nombres 2 Probabilités générales 2.1 Définitions Univers, événements élémentaires, épreuves Probabilité comme «mesure» d un événement Notion de variable aléatoire et d espérance mathématique 2.2 Algèbre de Boole des événements Négation et événements complémentaires Union, intersection, différence symétrique Événements (in)compatibles / (in)dépendants Notion de partition 2.3 Probabilités conditionnelles Notion de probabilité conditionnelle Théorème de Bayes Applications élémentaires Probabilités a posteriori et inférence bayésienne 3 Variables aléatoires continues 3.1 Lois de probabilité Exemple de la distribution uniforme sur un intervalle Densité de probabilité Fonction de répartition Histogrammes Espérance mathématique, moments Changements de variable, lois réduite et centrées 3.2 Loi normale Définitions Moments Stabilité par rapport à la somme, la moyenne Théorème de la limite centrale Intervalles de confiance Utilisation de la table 3.3 Autres lois Loi de Poisson et loi exponentielle Loi de Cauchy (ie lorentzienne) et contre exemple à la loi des grands bombres et au théorème de la limite centrale) Loi du χ 2 Loi de Student 5