BREVET BLANC EPREUVE DE MATHÉMATIQUES. Durée : 2h le 17 mai 2017 L épreuve est notée sur 50 points dont 5 points sur l orthographe, la présentation et la rédaction. INSTRUCTION : L usage de la calculatrice est autorisé. Exercice 1 5 points Voici les valeurs (en m) des lancers de poids réalisés par les 11 finalistes qualifiés aux JO de 2008 : 20,06 ; 20,5 ; 21,09 ; 19,67 ; 20,98 ; 20,42 ; 21,51 ; 21,04 ; 20,41 ; 20,6 ; 21,05 1) Les médailles d or, d argent et de bronze ont été obtenues respectivement par la Pologne, les Etats-Unis et la Biélorussie. Donner les longueurs de lancer de leurs athlètes. Le premier remporte la médaille d or, le second la médaille d argent et le troisième, celle de bronze. La Pologne, première, a donc un athlète qui a un lancer de 21,51 m ; Les USA, seconde, a un athlète qui a un lancer de 21,09 m ; La Biélorussie, troisième, a un athlète qui a un lancer de 21,05 m. 2) Calculer la longueur de lancer moyenne de cette finale. moyenne de lancer = 20,06+20,5+ +21,05 20.67 m. 11 ) L Ukrainien Yurly Bilonoh a réussi le lancer médian de cette finale. Quelle a été la longueur de son lancer? Pour trouver le lancer médian, on commence par trier les longueurs dans l ordre croissant : - 19,67-20,06-20,41-20,42-20,5-20,6-20,98-21,04-21,05-21,09-21,51-11 est un nombre impair, donc on prend la valeur du n 6. (5 nombres-1 nombre-5nombres) Le 6 ème lancer est de 20,6 m donc la médiane des lancers est de 20,6 m. 4) Calculer le pourcentage des lanceurs qui ont franchi les 21 mètres. 4 athlètes sur 11 ont franchi les 21 m ce qui nous fait un pourcentage de : 4 x 100 6. 6% des lanceurs ont franchi les 21 m. 11 Exercice 2,5 points Voici un programme : 1) Quel est le résultat si on donne le nombre 6? 6 > -5 donc on fait 6 x 5 = 1. La réponse est 1. 2) Quel est le résultat si on donne le nombre -10? 1
-10 < -5 donc on fait -10 x 2 + 4 = -16. La réponse est -16. ) Quel est le résultat si on donne le nombre -2? On fait -2 x 5 = - 11. La réponse est -11. Exercice 4,5 points On considère les deux programmes de calcul ci-dessous. 1) Vérifier qu en choisissant 2 au départ avec le programme A, on obtient 9. Avec le programme A, on fait 2 x (-2) + 1 = -4 + 1 = 9. 2) Quel nombre faut-il choisir au départ avec le programme B pour obtenir 9? On veut trouver un nombre x tel que (x 7) x = 9. Il faut résoudre cette équation. (x 7) = 9 x 21 = 9 x = 9 + 21 x = 0 x = 0 x = 10. Il faut prendre le nombre 10. ) Peut-on trouver un nombre pour lequel les deux programmes de calcul donnent le même résultat? On veut trouver un nombre y tel que y x (-2) + 1 = (y 7) x. On résout l équation. -2y + 1 = (y -7) -2y + 1 = y 21-2y -y = -21-1 -5y = -4 y = 4 5 = 6,8. Les 2 programmes donnent le même résultat quand le nombre de départ est 6,8. Exercice 4 4,5 points Pour chacune de ces affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse. Toutes les réponses doivent être justifiées. Affirmation 1 : Le produit 5 10 5 20 est égal à 5 200. FAUX. 5 10 5 20 = 5 0. Affirmation 2 : Les nombres 12 et 18 ont exactement 4 diviseurs communs. VRAI. Diviseurs de 12 : 1-2--4-6-12 Diviseurs de 18 : 1-2--6-9-18 2
1,2, et 6 sont les diviseurs communs. Affirmation : Les nombres 59,42 10 5 et 5942 10 ont la même écriture scientifique. FAUX. 59,42 10-5 = 5,942 10-4 mais 5942 10 - = 5,942 ( 10 0 ) Exercice 5 points On considère la figure suivante où les points E, C et D sont alignés. La figure n est pas à l échelle. 1) Calculer l angle ADC au degré près. On a : ADC est un triangle rectangle en C. Propriété : Trigonométrie. Donc : Sin D = AC AD sin D = 2,5 D = arcsin( 2,5 ) D 56. 2) Calculer la longueur CE au millimètre près. On a : ACE est un triangle rectangle en C. Propriété : Trigonométrie. Donc : tan A = CE CA tan 49 = CE 2,5 CE = 2,5 tan49 CE 2,9 cm. Exercice 6 6 points Antoine crée des objets de décoration avec des vases, des billes et de l eau colorée. Pour sa création, il utilise le vase et les billes ayant les caractéristiques suivantes :
Il met 150 billes dans le vase. Peut-il ajouter un litre d eau colorée sans risquer le débordement? Il faut que le volume des billes ajouté au litre d eau colorée soit inférieur au volume du vase. Volume des 150 billes : 150 x ( 4 π x 0,9 ) 458 cm. En ajoutant le litre d eau (1000 cm ) on arrive à un total de 1 458 cm. Volume intérieur du vase = L x l x h = (9 0,2 x 2) x (9 0,2 x 2) x (21,7 1,7) = 8,6 x 8,6 x 20 = 1479,2 cm. Le volume du vase est supérieur à 1458 cm donc cela ne débordera pas. On rappelle que le volume de la boule est donné par la formule : V = 4 π R où R est le rayon de la boule. Exercice 7 7,5 points Lors d une promenade, Joachim et son chien Homer doivent traverser une rivière. Arrivés au point A, ils choisissent des chemins différents : 4
Joachim rejoint la rivière en ligne droite jusqu au point B puis longe celle-ci jusqu au point C et finit le trajet CD en ligne droite à la nage. Le chien Homer lui, part en ligne droite jusqu au point O puis traverse la rivière à la nage toujours en ligne droite de O à D. Les points B, O, C et A, O, D sont alignés. On a : AB = 0 m; BO = 40 m et OC = 60m. 1. Justifier en détaillant avec soin vos calculs, les valeurs du tableau ci-dessous qui donne les distances de marche et de nage de Joachim et de son chien Homer lors de cette promenade. Distance de marche Distance de nage Joachim 10 m= 0+40+60(schéma) 45 m Son chien 50 m 75 m Son chien marche d abord la distance AO. On a : AOB est un triangle rectangle en B. Propriété : Théorème de Pythagore Donc : OA² = OB² + BA² OA² = 40² + 0² OA² = 1600 + 900 OA² = 2500 OA = 2500 = 50 m. Le chien marche 50 m. Joachim nage la distance CD. On a : (CD) et (BA) sont parallèles (perpendiculaires à la même droite (CB) ) Propriété : Théorème de Thalès. Donc : OA OD = OB OC = AB DC 50 OD = 40 60 = 0 DC DC = OD = 60 x 0 40 50 60 40 = 45. Joachim nage 45 m. = 75 Son chien nage 75 m. 2. Le tableau ci- dessous donne les vitesses de marche et de nage de Joachim et de son chien, exprimées en mètres par minute (m/min). Vitesse de marche Vitesse de nage Joachim 100 m / min 50 m / min Son chien 200 m / min 40 m / min Qui arrivera le premier de l autre côté de la rivière? Le premier arrivé sera celui qui met le moins de temps à parcourir son trajet. t = d (voir la formule en fin d exercice) v tchien = 50 200 + 75 = 0,25 + 1,875 = 2,125. Le chien met 2,125 min pour son trajet. 40 5
tjoachim = 10 100 + 45 = 1, + 0,9 = 2,2. Joachim met 2,2 min pour son trajet. 50 Le chien arrivera le premier. Remarque : on rappelle la formule liant la vitesse, la distance parcourue et le temps : vitesse = distance temps Exercice 8 5 points Aux élections 2027, les des électeurs de Joinville ont voté M. Bon, pour M. Juste et le reste pour 7 8 Mme Aimé. 1) Montrer que les 2 qualifiés pour le second tour sont M. Bon et M. Juste. Mme Aimé a obtenu le reste des suffrages, soit : 1 7-8 = 56 56-24 56-21 56 = 11 56. 11 est plus petite que les 2 autres fractions donc Mme Aimé est éliminée. 56 2) Au second tour, 1/ des électeurs de Mme Aimé choisissent de voter M. Bon et les 2 autres tiers pour M. Juste. (Les autres électeurs n ont pas modifié leur vote par rapport au premier tour.) Quel candidat sera élu président? M.Bon aura au total, 7 des électeurs auquels il faut ajouter 1 11 de, ce qui nous fait : 56 7 + 1 11 56 = 72 168 + 11 168 = 8 168. C est inférieur à 1 donc M.Juste sera élu Président. 2 Pour information, M.Juste obtient : 8 + 2 11 56 = 6 168 + 22 168 = 85 168. Exercice 9 6 points La vitesse du son (en m/s) diminue en fonction de l altitude (en m). On appelle f la fonction qui donne la vitesse du son (en m/s) en fonction de l altitude (en m). Voici la représentation graphique de cette fonction. v (m/s) 6
altitude (en m) 1) Quelle est la vitesse du son à 12 500 m? La vitesse est de 290 m/s. (voir les tracés bleus sur le graphique). 2) Répondre par vrai ou faux. (aucune justification n est demandée) : a) L image par la fonction f de 0 est 2 500. Faux,( c est son antécédent) b) f(5 000) = 20 Vrai. c) Un antécédent de 10 par la fonction f est 7 500. Vrai. L expression algébrique de la fonction est : f(x) = 40 0,004x, où x est l altitude en mètres et f(x) est la vitesse du son en mètres par seconde. ) Calculer l image de 14 000 par la fonction f. On remplace x par 14 000 dans f(x). f(14 000) = 40 0,004 14 000 = 40 56 = 284. Voici un tableau réalisé avec le tableur pour calculer la vitesse du son v (en m/s) en fonction de l altitude (en m) à l aide de l expression f(x) = 40 0,004x 4) Quelle formule a été écrite dans la cellule C2 du tableur pour calculer la vitesse du son, formule que l on a étirée jusqu à la cellule F2. La formule est «= 40 0,004*C1» 5) Résoudre l équation 40 0,004x = 285 40 0,004x = 285-0,004x = 285 40-55 x = = 1 750. -0.004 6) Interpréter la solution de cette équation dans le contexte du problème précédent. La résolution de l équation nous indique que la vitesse du son à 1 750 m d altitude est de 285 m/s. 7