Dérition A Un problème istoriqe L notion de fonction dériée ne s est ps constrite en n jor Un petit problème istoriqe nos permettre de comprendre les difficltés q ont rencontrées les mtémticiens por définir l fonction dériée Tot commence ec Newton 643-77 ec l détermintion de l itesse instntné por n objet en cte libre On lâce ne pierre à l instnt t 0 s Qelle est s itesse instntnée bot d ne seconde? Newton sit depis Glilée qe si l on néglige l force de frottement de l ir sr ne pierre mtière compcte, s itesse ne dépend ps de s msse Glilée p déterminer l éqtion orire position de l objet en fonction d temps d n objet en cte libre Cette éqtion est de l forme, en prennt g 0 m s comme ccélértion de l pesnter : zt gt 0 t 5t Por clcler l itesse instntnée en t, on mesre l distnce entre les instnts t et t dt où l interlle de temps dt est le pls petit possible qntité infinitésimle On : dt z 5 dt z 5 dt dt 5 0dt 5dt 5 0 5 dt D où : dt Por Newton l itesse en t s est de 0 m s Mis l itesse est-elle ectement égle à 0 m s o d eniron 0 m s? Si l itesse est ectement de 0 m s lors dt 0 mis si dt 0, l notion de itesse instntnée n cn sens : le dénominter est nl Si l itesse instntnée est d eniron 0 m s comment clcler l itesse ecte? Ce problème opposé les mtémticiens Les ns donnient rison à Newton, les tres critiqient s métode pe rigorese Ce blocge ne ft résol q XIXe siècle ec l notion de limite Si cette notion de limite est cette fois rigorese, elle mleresement compleifiée le problème de déprt Aec ce noe concept dz de limite, l itesse instntnée en t t : t lim dt0 dt L itesse en est l limite qnd dt tend ers 0 de l rition d ltitde, temps dt dz t, sr l rition de Remrqe : L notion rigorese de limite n étnt ps progrmme, nos nos contenterons por ce cpitre d tiliser l métode intitie de Newton Lycée Frnçis de DOHA Année 07 08 M Enno
B Nombre dérié et tngente T d ccroissement de f entre et b Définition : f est ne fonction définie sr n interlle contennt les réel et b f b f Le t d ccroissement de le fonction f entre et b est le qotient : b Remrqe : Le t d ccroissement de f entre et b est le coefficient directer de l sécnte AB Eemple : Soit f l fonction définie pr : f 3 f f 0 3 Le t dccroissement de f entre 0 et est : 0 Nombre dérié de f en On considère ne fonction f dont l corbe représenttie est donnée ci-contre : Le coefficient directer m de l droite AB est : f f f f m Si le point B se rpproce d point A tend ers 0, l droite AB se rpproce de l tngente T en Le coefficient directer de cette tngente T est ppelé nombre dérié Ce nombre dérié est noté f On lors : f f f lim 0 Définition : Soit f ne fonction, définie sr n interlle contennt les réels et L fonction f dmet n nombre dérié en, noté f, si et selement si le t d ccroissement de l fonction f en dmet ne limite, cest-à-dire : f f f lim 0 L nottion f se lit «f prime de» Eemple : Soit f l fonction définie sr R pr : f et 3 f 3 f 3 3 3 9 6 9 6 lim lim lim lim lim 6 6 0 0 0 0 0 Lorsqe tend ers zéro, lors 6 tend ers le nombre 6 qi est n nombre donc f est dérible en 3 et le nombre dérié de f en 3 est 6 On obtient donc f 3 6 Lycée Frnçis de DOHA Année 07 08 M Enno
Eemple : En ccn des points indiqés, l corbe représenttie de f donnée ci-dessos, dmet ne tngente qi est trcée L fonction dmet donc des nombres dériés en ces points On lit les imges et les nombres dériés sints : f 4 3 f 4 f f 4 0,5 f f 6 6 0 3 Tngente en n point A Soit l corbe C f représenttie d ne fonction f et T s tngente en Le coefficient directer de l tngente est égl nombre dérié en Si on considère n point M y D où : y f f Donc : y f f Téorème : Soit f ne fonction dérible en et Lycée Frnçis de DOHA Année 07 08 L éqtion rédite de l tngente T à ; qelconqe de cette tngente, on obtient lors : f C f s corbe représenttie f y f C point d bscisse est : y f f M Enno
Eercice n : Soit f l fonction définie sr R pr : f Clcler le nombre dérié de f en b Déterminer l éqtion rédite de l tngente à l corbe On donne ci-dessos l corbe représenttie, C g, d ne fonction g Déterminer l éqtion rédite des tngentes points d bscisses ; 0 et l C Fonction dériée et sens de rition Fonction dériée Définition : Soit f ne fonction définie sr n interlle I et telle qe, en tote ler dériée f eiste L fonction f, qi à tot réel linterlle I I, le nombre I, ssocie le nombre dérié, est l fonction dériée de f sr Sens de rition et dériée Téorème : Soit f ne fonction dérible sr n interlle I Si l dériée est positie sr I, lors l fonction est croissnte sr I Si l dériée est négtie sr I, lors l fonction est décroissnte sr I Si l dériée est nlle en tote ler de I, lors l fonction est constnte sr I Lycée Frnçis de DOHA Année 07 08 M Enno
Remrqe : De l étde d signe de l dériée, on dédit le sens de rition dne fonction grâce à ce téorème Mis ssi, réciproqement, le sens de rition dne fonction dérible indiqe le signe de s fonction dériée Eemple : On considère ne fonction f dont on connît le signe de l dériée et qelqes lers On pet lors dresser le tble de ritions de cette fonction Sr ; c l dériée est positie, donc l fonction est croissnte c ; b l dériée est négtie, donc l fonction est décroissnte Sr Propriété : Soit f ne fonction dérible sr n interlle ; bet c n réel tel qe : c ; b Si l dériée snnle en cngent de signe en c lors l fonction f dmet, en c, n etremm sr linterlle ; b Eercice n : On considère ne fonction f dont on donne l représenttion grpiqe ci-dessos : Prmi les corbes ci-dessos, lqelle est ssceptible de représenter f? Lycée Frnçis de DOHA Année 07 08 M Enno
Eercice n 3 : L corbe ci-dessos est l représenttion grpiqe d ne fonction f qi n dmet cn tre cngement de rition qe ce isibles sr le grpiqe ci-dessos est l tngente en A 3 ; à cette corbe Déterminer f 3 et f 0 pr lectre grpiqe Déterminer l éqtion de 3 Résodre grpiqement l inéqtion : f 0 Eercice n 4 : Une fonction f définie sr 0 ; est représentée pr l corbe représenttie C f cidessos L droite D est l droite OA Lycée Frnçis de DOHA Année 07 08 Lectres grpiqes Lire sr ce grpiqe f 6 et f 6 b En dédire l éqtion de l tngente en A à l corbe C f c Lire f 4 Interpréter grpiqement ce résltt d Déterminer léqtion de l droite D e Dresser le tble de ritions de f sr 0 ; en précisnt le signe de f Vérifiction à l ide de clcls On dmet qe l fonction f est donnée pr : f 0,5 Clcler f 6 b Clcler le nombre dérié de f en 6 c Jstifier qe l tngente à l corbe C f point dbscisse 4 est orizontle M Enno
Eercice n 5 : L corbe C f est l représenttion de l dériée f de l fonction f dérible sr R En dédire les ritions de l fonction f Donner les ritions de l fonction f dont l dériée, f, por tble de ritions : Eercice n 6 : On note C f l représenttion grpiqe d ne fonction f définie et dérible sr R f n dmet cn tre cngement de rition qe celi isible sr le grpiqe ci-dessos : Lire f et f En dédire l éqtion de l tngente à C f point d bscisse Procéder de même por obtenir léqtion de l tngente en A ; à l corbe C f 3 Résodre l éqtion f 0 4 Qel est le signe d nombre dérié de f en 3,? 5 Déterminer le signe de f sr R Lycée Frnçis de DOHA Année 07 08 M Enno
D Clcl de dériées Dériées des fonctions selles Téorème : Fonction f Fonction dériée f Ensemble de déribilité f k f 0 R f f R f f R 3 f f 3 R n f R si n > 0 n f n { n entier non nl R si n < 0 f f 0 ; f f R Démonstrtion : Soit f est l fonction définie sr R pr : Montrons qe le dériée 3 f f de f est l fonction définie sr R pr : f 3 3 3 3 3 Por tot réel on : f et f 3 3 Donc por tot réel on : 3 3 3 f f 3 3 3 3 lim lim lim lim 3 0 0 0 0 Lorsqe tend ers 0, 3 3 tend ers 3 Donc f est dérible en et f 3 3 Remrqe : Totes les tres formles porrient être démontrées de l sorte mis elles seront dmises fin de ggner d temps Eemple : Soit f est l fonction définie sr R pr : 5 f Alors por tot réel : 4 f 5 Dériées d ne somme et d n prodit ec n réel Propriétés : Soient et de fonctions définies et déribles sr n interlle I et k n réel Alors l fonction est dérible sr I et Alors l fonction k est dérible sr I et k k Eemple : 3 Soit f est l fonction définie sr R pr : f 6 0 f est dérible sr R en tnt qe sommes de fonctions déribles sr R R : f 3 6 0 3 Lycée Frnçis de DOHA Année 07 08 M Enno
Lycée Frnçis de DOHA Année 07 08 M Enno 3 Dériées d n prodit o d n qotient Propriétés : Soient et de fonctions définies et déribles sr n interlle I Alors l fonction est dérible sr I et Propriétés : Soient et de fonctions définies et déribles sr n interlle I On sppose de pls qe 0 sr I Alors l fonction est dérible sr I et Alors l fonction est dérible sr I et Démonstrtion : L dériée d n prodit Soient et sont de fonctions déribles sr n interlle I Soit I et n réel non nl tel qe I D près l définition d nombre dérié, on : lim 0 Or D où lim 0 Donc lim 0 Or, on sit qe : lim lim 0 0 On donc obten : Conclsion : Soient et sont de fonctions déribles sr n interlle I lors l fonction prodit est dérible sr I et por tot I, on, : 4 Tble des règles de dérition Dériée de l somme Dériée d prodit pr n réel Dériée d prodit Dériée de l inerse Dériée d qotient
Eemples : On considère les fonctions et définies sr R pr : 3 5 et Alors et sont déribles sr R en tnt qe somme de fonctions déribles et por tot réel : 3 0 3 et 0 Soit f est l fonction définie sr R pr : 3 5 f Alors f est dérible sr R en tnt qe prodit de fonctions déribles sr R et por tot réel : f 3 3 5 3 3 6 0 9 0 3 Soit f est l fonction définie sr R pr : f Alors f est dérible sr R en tnt qe qotient de fonctions déribles sr R et por tot réel : f 3 5 3 Soit f est l fonction définie sr R pr : f Alors f est dérible sr R en tnt qe qotient de fonctions déribles sr R et por tot réel : f 3 3 3 5 3 3 6 0 3 0 Eercice n 7 : 3 3 Soit f définie sr R pr : f 6 Clcler f Etdier le signe de l dériée Dresser le tble de ritions de f sr R Eercice n 8 : Dérier les fonctions sintes définies et déribles sr R : f 9 5 g 3 3 Lycée Frnçis de DOHA Année 07 08 M Enno
Eercice n 9 : Dérier les fonctions sintes définies sr g 0 ; et déribles sr ; 0 f 3 3 3 Eercice n 0 : Dérier les fonctions sintes : 4 f sr 0 ; 4 3 g sr R 3 4 3 sr R 4 i sr ; Eercice n : Dns ccn des cs sints, clcler l dériée, étdier son signe et dresser le tble de ritions de l fonction f On préciser les éentels etremms 4 4 f 3 sr ; 3 f sr R 3 f 6 7 4 sr R Eercice n : On considère l fonction f définie sr R pr : On note C f s corbe représenttie Montrer qe por tot Etdier le signe de R, on : f f f pis dresser le tble de rition de f sr R 3 Déterminer léqtion de l tngente T à C f point dbscisse Eercice n 3 : On considère l fonction f définie sr 0 ; pr : f 4 L corbe C représenttie de l fonction f est donnée ci-dessos : f 3 4 Montrer qe l dériée, f, de f est : 0 ; f En dédire les ritions de f sr 0 ; 3 Déterminer l imge et le nombre dérié de l fonction f en 4 Lycée Frnçis de DOHA Année 07 08 M Enno
Eercice n 4 : A Soit f ne fonction définie sr ; 5 3 dont l dériée dmet le tble de signe sint : Compléter l ligne correspondnt ritions de l fonction f sr 3 ; 5 B Le tble ci-dessos représente le tble de rition d ne fonction f définie sr R : Compléter correctement l ligne correspondnt signe de l fonction dériée f Sr lesqels des interlles ci-dessos, l fonction f est-elle soit positie, soit négtie? Préciser son signe ; b 4 ; ; C On considère l fonction f définie sr R dont le tble de rition est donné ci-dessos : c Eercice n 5 : Sr lesqels de ces interlles, l fonction f est soit positie, soit négtie Préciser lors son signe : 3 ; 5 b ; 3 ; Sr lesqels de ces interlles, l fonction f est soit positie, soit négtie Préciser lors son signe : 3 ; 5 ; 3 ; c b c On considère l fonction f définie pr : 3 3 9 Etblir l églité : f 5 f Déterminer l epression de l fonction f dériée de l fonction f 3 Déterminer le tble de signe de l fonction f 4 Déterminer le tble de signe de l fonction f 5 Dresser le tble de rition de l fonction f Lycée Frnçis de DOHA Année 07 08 M Enno
Eercice n 6 : On considère l fonction f définie pr : f Déterminer l ensemble de définition de l fonction f On note f l fonction dériée de f Etblir l églité sinte : 3 Déterminer le tble de signe de l fonction f 4 Déterminer le tble de signe de l fonction f 5 Dresser le tble de rition de l fonction f 4 8 f Eercice n 7 : Le bt de ce problème est d étdier l fonction f définie sr R pr : 3 5 f 3 On note C l représenttion grpiqe de l fonction f dns n repère ortonorml f Prtie A : Etde d ne fonction iliire On considère l fonction g définie sr R pr : 4 4 5 Clcler g et g g R, on : Montrer qe por tot g 4 7 3 Etdier les ritions de g sr R et dresser son tble de ritions 4 Dédire des qestions précédentes qe g 0 sr ; Prtie B : Etde de l fonction f g Montrer qe por tot R : f 3 Etdier les ritions de f sr R 3 Troer les coordonnées des points dintersection de l corbe C f ec le des bscisses Eercice n 8 : Prtie A : On considère l fonction f définie sr 0 ; et on note C f s corbe représenttie qi : psse pr le point A de coordonnées ; dmet l droite d déqtion y por tngente point A En tilisnt les données et en jstifint l réponse, déterminer f et b f est de l forme : f Eprimer f en fonction des coefficients et b 3 En dédire l ler des coefficients et b f Prtie B : On sppose por qe et Etdier les ritions de f pis dresser son tble de ritions Donner l ler ecte d minimm pis s ler rrondie centièmes Déterminer léqtion rédite de l tngente T à l corbe point dbscisse b et on lors f définie sr ; 0 Lycée Frnçis de DOHA Année 07 08 M Enno
Eercice n 9 : Eercice de recerce On considère l fonction f définie sr R + pr : f L représenttion grpiqe, C, de f est donnée ci-dessos : f On considère n point M pprtennt à l corbe C f d bscisse et on constrit, comme l indiqe l figre ci-desss, n rectngle dont les points O et M sont des sommets On note A l ire de ce rectngle en fonction de l ler de Qelle doit être l bscisse d point M por qe l ire d rectngle soit mimle? Eercice n 0 : On considère ne fonction f définie et dérible sr l interlle 4 ; 3 et on note f l fonction dériée de f L corbe représenttie de f est l corbe donnée ci-dessos : On dmet les propriétés sintes : l corbe psse pr le point A 0 ; 5 ; l tngente en A à l corbe psse pr le point B ; 4 ; l corbe dmet ne tngente prllèle à l e des bscisses point d bscisse 0,5 ; l fonction f est strictement croissnte sr l interlle 4 ; 0,5 et strictement décroissnte sr l interlle 0,5 ; 3 Plcer les points A et B pis trcer l tngente en A à l corbe Déterminer grpiqement le nombre de soltions de l éqtion f 3 et donner por cqe soltion n encdrement pr de entiers conséctifs 3 Donner, en jstifint os réponses, f 0 et f 0 4 Donner, en jstifint otre réponse, les soltions de l inéqtion : f 0 4 ; 3 5 Donner, en jstifint otre réponse, l bscisse d mimm de f sr Lycée Frnçis de DOHA Année 07 08 M Enno
Eercice n : L entreprise CoTon prodit d tiss en coton Celi-ci est fbriqé en mètre de lrge et por ne longer eprimée en kilomètre, étnt compris entre 0 et 0 Le coût totl de prodction en eros de l entreprise CoTon est donné en fonction de l longer 3 pr l formle : C 5 0 500 750 Le grpiqe ci-dessos donne l représenttion grpiqe de l fonction C Lycée Frnçis de DOHA Année 07 08 Les de prties A et B de cet eercice sont indépendntes Prtie A : Etde d bénéfice Si le mrcé offre n pri p en eros por n kilomètre de ce tiss, lors l recette de l entreprise CoTon por l ente d ne qntité est égl à R p Trcer sr le grpiqe l droite D d éqtion : y 400 Epliqer porqoi l entreprise CoTon ne pet ps réliser n bénéfice si le pri p d mrcé est égl à 400 Dns cette qestion on sppose qe le pri d mrcé est égl à 680 eros Trcer sr le grpiqe l droite D d éqtion y 680 Déterminer grpiqement, ec l précision permise pr le grpiqe por qelles qntités prodites et endes, l entreprise CoTon rélise n bénéfice si le pri p d mrcé est de 680 eros ; 0 B 680 C b On considère l fonction B définie sr l interlle 0 pr : Démontrer qe 0 ; 0 B 45 40 80 c Etdier les ritions de l fonction B sr ; 0 0 En dédire por qelle qntité prodite et ende le bénéfice rélisé pr l entreprise CoTon est mimm et donner l ler de ce bénéfice Prtie B : Etde d coût moyen On rppelle qe le coût moyen de prodction CM mesre le coût pr nité prodite On considère C l fonction CM définie sr l interlle 0 ; 0 pr : CM 3 30 0 750 Démontrer qe por tot 0 ; 0, on : CM 3 Démontrer qe por tot 0 ; 0, on : 30 50 5 30 0 750 0 ; 0 3 En dédire les ritions de l fonction CM sr l interlle M Enno
Eercice n : On représenté ci-dessos l corbe représenttie d ne fonction f définie sr R L corbe psse pr les points A 0 ; et C ; 0 et l droite AB ec B ; 0 est l tngente en A à L tngente à en son point D d bscisse est prllèle à l e des bscisses Déterminer, à l ide des renseignements fornis pr l énoncé, les lers de f 0 et f Déterminer, à l ide des renseignements fornis pr l énoncé, les lers de f et 0 f 3 Prmi les trois représenttions grpiqes ci-dessos, déterminer l corbe ssociée à l fonction dériée f de f Vos epliqerez ec soin les risons de otre coi Eercice n 3 : L représenttion grpiqe et b sont de réels est donnée ci-dessos : C f de l fonction définie f sr R/{} pr : b f où f en fonction de et b f à l ide des informtions données sr le grpiqe 3 Dédire des qestions précédentes l ler des réels et b 4 Déterminer l bscisse de l tre point de C f où l tngente est orizontle Déterminer Déterminer f 3 et 3 Lycée Frnçis de DOHA Année 07 08 M Enno