Université Paris-Diderot Année 016-017 MM1 - Algèbre et analyse élémentaires I 51AE01MT Filière Chimie - Step Feuille de TD - Les nombres complexes Exercice 1. Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants : (a) (d) 1 i, (b) 1 1 i + 1 1 + i, (c) + i 3 i, ( ) 1 + i, (e) + 5i i 1 i + 5i ( ) 1 + i 1 + i, (f) + 3 + 6i i 3 4i. Exercice. Écrire sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants. (a) 3, (d) 3 + 3i, (b) 4 3i, (e) 3 i, (c) πi, (f) + 6i, 1 i (g), 3 + i (h) (1 i) 9, (i) ( 5 i)( 5 + i), (j) e 3+4i, (k) e i π 3 + e i π 3, (l) 3i + e iπ. Exercice 3. Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants : (a) e eiθ, (b) e iθ + e iθ, (c) e iθ e iθ, (d) eiθ + e iθ e iθ e iθ (ce nombre est-il toujours bien défini?). Exercice 4. Soit z = r(cos θ + i sin θ) un nombre complexe non nul écrit sous forme trigonométrique. Écrire z, z, 1 z sous forme trigonométrique. Exercice 5. Soit α un réel non congru à π (a) Quelle est la forme exponentielle de z = 1 + it 1 it? modulo π et t = tan α. (b) Mettre z sous forme algébrique et en déduire que cos(α) = 1 t 1 + t et sin(α) = t 1 + t. 1
Exercice 6. Soient A, B et C trois points du plan complexe d affixes z A = e i π 4, zb = 4 + i, z C = 5 i. Calculer les affixes des vecteurs AB, AC et montrer que A, B et C sont alignés. Exercice 7. Soient E, F et G trois points du plan complexe d affixes z E = i, z F = 3 + i, z G = 3 + i. Donner la forme algébrique de z F z E et la forme trigonométrique. En donner z G z E une interprétation géométrique. Exercice 8. Soit z = x + iy un nombre complexe différent de et Z = z + 3i z +. a) Exprimer Z sous forme algébrique. b) Déterminer l ensemble des points M du plan complexe d affixe z vérifiant Z est imaginaire pur. Exercice 9. Trouver les racines carrées complexes des nombres suivants : (a) 16, (b) 4i, (c) 3 + 4i, (d) 1 + i 3, (e) 1 + i, (f) 6 8i, (g) i, (h) e iπ/5, (i) 5 1i, (j) 1 + i 1 i. Exercice 10. Soit θ R un nombre réel. Résoudre dans C les équations suivantes : (a) z cos(θ)z + 1 = 0, (b) z 4 cos(θ)z + 1 = 0. Exercice 11. (a) Calculer les racines carrées de 1 + i (b) En déduire les valeurs de cos(π/8) et sin(π/8). sous forme algébrique et exponentielle. (c) En utilisant la même méthode, calculer les valeurs de cos(π/1) et sin(π/1). Exercice 1. Exprimer comme produit de facteurs linéaires les polynômes suivants : (a) iz 1, (b) z 3z +, (c) z 4 + 1, (d) z 4 3iz 3 (1 + 3i)z, (e) z 3 + z + z + 1, (f) z + iz 3, (g) z z + 4i, (h) iz 3 + (1 i)z + (i 1)z +.
Exercice 13. Résoudre dans C les équations suivantes : (a) z + z + 1 = 0, (b) z iz + = 0, (c) (3 i)z + (4i )z 8i + 4 = 0, (d) z(z i) = iz +, ( ) 3 ( ) 3 z + 1 z 1 (e) + = 0. (f) z 4 + z 3 + 4z = 0, z 1 z + 1 (g) z 4 + z + 4 = 0, (h) z = z, (i) z n = z, (j) z + z 1 R, (k) z + z ir (ir = ensemble des nombres imaginaires purs), (l) arg(z + z) = π 3 mod π Exercice 14. (a) Déterminer les formes trigonométriques et exponentielles des racines 5-èmes de l unité. (b) Dessiner de façon approximative les racines 5-èmes de l unité dans le plan cartésien. (c) Soit z = x + iy une racine 5-ème de l unité. Trouver les valeurs possibles pour y/x. (d) En déduire les valeurs de tan( π 5 ) et tan( π 10 ). (e) En utilisant le fait que x + y = 1, déterminer les formes cartésiennes des racines 5-èmes de l unité. (f) En déduire les valeurs de cos( π 5 ), sin( π 5 ), cos( π 10 ) et sin( π 10 ). Exercice 15. (a) Déterminer les formes algébriques et exponentielles des racines 8-ièmes de l unité, puis décrire la figure obtenue dans le plan complexe en joignant ces racines avec arguments consécutifs. (b) Déterminer les formes algébriques et exponentielles des racines cinquièmes de i, puis décrire la figure obtenue dans le plan complexe en joignant ces racines avec arguments consécutifs. (c) Sachant que ( + 4i) 6 = 7488 + 816i donner les racines sixièmes de 7488 + 816i. Exercice 16. Dans cet exercice, on admettra que e iπ/5 = ( 5 1+i 10 + 5)/4 et on notera µ ce nombre complexe. (a) Écrire sous forme algébrique z = e iπ/3. (b) Écrire µ/z sous forme trigonométrique et algébrique. (c) En déduire les valeurs de cos π 15 et sin π 15. Exercice 17. (a) Calculer les racines n-ième de i et de 1 + i. (b) Résoudre dans C l équation z z + 1 i = 0. (c) En déduire les solutions dans C de l équation z n z n + 1 = 0. Exercice 18. Pour tout n N, calculer : (a) (1 + i) n + (1 i) n, (b) (1 + i) n (1 i) n, ( ) n ( (c) + 1+ 3i 1 3i ) n. 3
Exercice 19. Exprimer en fonction de cos α et sin α les formules trigonométriques suivantes : (a) cos(3α), (b) sin(3α), (c) cos(4α), (d) sin(5α), Exercice 0. Soit α un nombre réel. Linéariser les formules trigonométriques suivantes : (a) cos 3 α, (b) sin 3 α, (c) cos 4 α, (d) sin 4 α, (e) cos 5 α, (f) sin α cos 3 α. Exercice 1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal centré en 0 on considère les points A, B et M d affixe respective 1 + i, 1 i et e iπ/3. (a) Placer les points A, B et M dans le plan complexe. (b) Ces points sont-ils alignés? (c) Calculer le module et l argument de 1 i. (d) Ces points sont-ils sur un même cercle de centre 0? Si oui, quel est le rayon de ce cercle? Exercice. Dans le plan complexe rapporté un repère orthonormal centré en 0 on considère les points A, B, O et M d affixe respective i, i, 0 et z. (a) Supposons que z = 1. Placer les points A, B et M dans le plan complexe. Les points A, B et M sont-ils alignés? (b) Supposons que z = 1 + i. Placer les points A, B et M dans le plan complexe. Quel est le module de z? Quel est l argument de z? Le triangle est-il rectangle en M? Exercice 3. On considère les applications f, g : C C données par f(z) = z + i et g(z) = 1 i z + 3. (a) Déterminer si f définit une rotation/une homothétie, et calculer le centre et l angle/le rapport de f le cas échéant. (b) Déterminer les ensembles des points invariants des applications u = f g et v = g f. L application u est-elle une rotation/une homothétie? L application v est-elle une rotation/une homothétie? Exercice 4. Pour tout nombre complexe t, on définit la transformation f t : C C, z (t + i)z 1. (a) Déterminer pour quelles valeurs de t la transformation f t est une homothétie, respectivement une rotation, respectivement une translation. (b) Supposons t = 0, calculer le vecteur de translation, ou le centre et l angle/le rapport de f 0 suivant que f 0 est une translation, respectivement une rotation, resp. une homothétie. 4
(c) Supposons t = i, calculer le vecteur de translation, ou le centre et l angle/le rapport de f i suivant que f i est une translation, respectivement une rotation, resp. une homothétie. (d) Supposons t = 1 i, calculer le vecteur de translation, ou le centre et l angle/le rapport de f 1 i suivant que f 1 i est une translation, respectivement une rotation, resp. une homothétie. Exercice 5. En utilisant la formule du binôme de Newton, développer les expression suivantes : (a) (a + b) 6, (b) (x + iy) 4, (c) (1 + i) 5, (d) (1 i) 3, (e) (10 + 1) 4, (f) (a + b + c) 3. Annales Exercice 6 (Examen, 013). Dans cet exercice, α désigne un nombre réel tel que cos(α) 0. (a) Rappeler les définitions du module et d un argument d un nombre complexe z 0. (b) Écrire sous forme exponentielle le nombre complexe i. (c) Écrire sous forme exponentielle le nombre complexe z 0 donné par : z 0 = 1 + i tan(α) 1 i tan(α). (d) Trouver les nombres réels α vérifiant l équation : ( ) 1 + i tan(α) = i. 1 i tan(α) Exercice 7 (Partiel, 013). (a) Exprimer les racines 3-ièmes de l unité sous formes exponentielle, trigonométrique et cartésienne. (b) Exprimer les racines 3-ièmes de + i sous formes exponentielle et trigonométrique. (c) À l aide du point (a), exprimer les racines 3-ièmes de + i sous forme cartésienne. (d) En déduire les valeurs de cos ( π 1) et sin ( π 1). (e) Exprimer sin(α) en fonction de cos α et sin α. (f) Linéariser cos 3 α. (g) Vérifier les formules des points (e) et (f) pour α = π 1. Exercice 8 (Examen, 014). Les deux parties sont indépendantes. 1. Racines d un nombre complexe (a) Calculer le module et un argument du nombre complexe 16 + 16i 3. En déduire la forme exponentielle ou trigonométrique de 16 + 16i 3. (b) Déterminer (sous forme exponentielle ou trigonométrique) tous les nombres complexes z tels que z 5 = 16 + 16i 3. 5
. Équation de degré deux dans C Résoudre dans C l équation d inconnue z Exercice 9 (Partiel, 014).. Résoudre dans C l équation z 3 = i. z (3 i)z + 4 = 0. 1. Écrire le nombre complexe i sous forme exponentielle. On définit u = 3 i. 3. Exprimer u sous forme exponentielle et calculer u 3, u 5, u 11 et u 4 sous formes exponentielles, trigonométriques et cartésiennes, en faisant le moins de calculs possibles. Exercice 30 (Examen, 014). 1. Résoudre, dans C, l équation z 6 = 1.. Montrer que i est une solution de l équation z 6 = 1. En déduire l ensemble des solutions de l équation z 6 = 1 dans C en exprimant les racines de cette équation sous formes exponentielles, cartésiennes et trigonométriques, et les dessiner sur le cercle unité. 6