Anneaux et corps Bachelor Semestre 4 Prof. E. Bayer Fluckger 16 mars 2016 Quz 3 Queston 1. Est-ce que les anneaux Z et Q sont somorphes? Non. Par exemple, on a montré Sére 2, Ex.3.1. qu l exste un seul homomorphsme de Z dans Q, c est-à-dre φ : n n. On a clarement que φ n est pas surjectf. Queston 2. Sot K un corps. Quelles sont les untés de l anneau K[X]? Les untés de K[X] sont les polynômes constants dfférents de zéro. En effet, s P K[X] nversble, alors l exste Q K[X] tel que P Q = 1. On a donc que deg P Q = deg P + deg Q = 0, car K est un corps. Ans deg P = 0. Clarement un polynôme constant est nversble s et seulement s l est dfférent de zéro.
Anneaux et corps Bachelor Semestre 4 Prof. E. Bayer Fluckger 16 mars 2016 Sére 3 Exercce 1. Montrer qu un anneau commutatf A est un corps s et seulement s les seuls déaux de A sont {0} et A. Soent A un corps et I un déal de A. S I {0}, sot a I, a 0. On a 1 = a 1.a I et donc b = b.1 I pour tout b A. Donc I = A. Vce versa, sot a A {0} et sot I := a = {b.a b A} l déal engendré par a. On a a I, de manère que I {0}. Alors I = A et donc 1 I. Ans, l exste b A tel que b.a = 1. Par conséquent, tout élément de A {0} est nversble et A est donc un corps. Exercce 2. les résultats de cet exercce sont à retenr. Soent K un corps et A, B K[X] deux polynômes à coeffcents dans K. On suppose B 0. Montrer l exstence et l uncté d un couple Q, R K[X] K[X] tel que A = QB + R et tel que l on at sot degr < degb sot R = 0. Les polynômes Q et R sont appelés respectvement le quotent et le reste de la dvson eucldenne de A par B. On procède comme pour la preuve de la dvson eucldenne dans Z vor l exercce 4. de la Sére 1 Théore de groupes, en remplaçant la valeur absolue par le degré. Nous cherchons à approxmer au plus près A par un multple de B. Consdérons l ensemble S := {A QB : Q K[X]}. Comme le degré est un enter postf ou nul, l exste un élément R de S de degré mnmal. Par défnton, l exste Q K[X] tel que R = A QB. Montrons que Q, R est le couple cherché. En effet, supposons que R 0 et degr degb. Ecrvons B = b n X n + b n 1 X n 1 + + b 0 b K, b n 0, R = a n+k X n+k + a n+k 1 X n+k 1 + + a 0 a K, a n+k 0 pour des enters n, k 0. En posant R = R a n+k b n X k B et Q = Q + a n+k b n X k, on trouve que degr < degr R = A Q B S,
ce qu contredt la mnmalté de R. Ans, degr < degb s R 0. Montrons mantenant qu un tel couple est unque. S Q, R K[X] K[X] vérfe les mêmes condtons, alors on a S Q Q 0, on en dédut que BQ Q = R R. degb + degq Q = degr R < degb, car degr, degr < degb, ce qu est une contradcton. On a donc Q = Q, d où R = R. Exercce 3. Soent K un corps, et P K[X] un polynôme. 1 Montrer que s P est de degré n, alors P a au plus n racnes dans K. 2 On suppose P de degré 2 ou 3. Montrer que P est rréductble sur K s et seulement s l n a pas de racne dans K. 3 1 S P est de degré 0 alors l n a pas de racnes. Sot n 1. On suppose que tous les polynômes de degré n 1 ont au plus n 1 racnes dans K. Sot P de degré n. On suppose que P a des racnes dans K. Sot α K une des racnes de P. D après l exercce 2., on a P = Q X α + R avec R K. Mas 0 = P α = Qα α α + R = 0 + R et on a donc P = Q X α. De plus, comme K est un corps, le degré de Q est n 1. Par hypothèse d nducton, Q a au plus n 1 racnes. On conclut en observant que, s β α est un racne de P, alors 0 = P β = Qβ β α et donc Qβ = 0 car K n a pas de dvseurs de zero. Ans, toutes les racnes de P dfferentes de α sont racnes de Q. En applquant l hypothèse de récurrence à Q, on en dédut que P a au plus n 1 + 1 = n racnes. 2 D après 1, on a que s P a une racne, alors l est réductble sur K. Sot P réductble sur K. Alors P = Q R, avec Q et R polynômes de degré au mons 1. S le degré de P est 2 ou 3, forcément au mons un des deux polynômes Q ou R est de degré 1. On peut supposer sans perte de généralté que Q est de degré exactement 1. Alors P = αx + β R pour certan α, β K et donc β/α est une racne de P.
4 Exercce 4. Sot A un anneau commutatf. Un élément x de A est dt nlpotent s l exste un enter k 1 tel que x k = 0. 1 Montrer que l ensemble des éléments nlpotents de A est un déal de A. 2 Sot P = a 0 + a 1 X +... + a n X n A[X]. Montrer que P est nlpotent s et seulement s a 0, a 1,..., a n sont nlpotents. 1 Sot I l ensemble des éléments nlpotents de A. Cet ensemble I est non vde pusque 0 I. De plus, I est stable par passage à l opposé en effet, s x k = 0, alors x k = 1 k x k = 0 ; stable par l addton : s x, y I, alors l exste k, l tels que x k = 0 et y l = 0, et on a donc k+l x + y k+l = x y k+l = = k =0 =0 x y k y l + k+l =k+1 x k x k y k+l = 0; stable par multplcaton par un élément de A : s x A et a A, alors l exste k 1 tel que x k = 0 et on a donc ax k = xa k = x k a k = 0. 2 Sot I l déal des éléments nlpotents de A[X]. S a 0, a 1,..., a n I, alors clarement P I. Vce versa, s P est nlpotent, sot k l enter postf tel que P k = 0. Clarement a k 0 = P 0 k = 0, c est-à-dre a 0 est nlpotent. Supposons que a sot nlpotent pour tout < m, pour un certan m. On consdère le coeffcent b mk de X mk dans P k. Clarement on a b mk = a k m + Q, avec tout term de Q qu content un certan a avec < m. Ans, Q est nlpotent, par hypothèse. Mas b mk = 0, parce que P k = 0. Donc a k m = Q est nlpotent et fnalement a m est nlpotent. Par récurrence, tout a est nlpotent. Exercce 5. Sot A un anneau commutatf et M := M 2 A l anneau de matrces 2 2 à coeffcents dans A. 1 Montrer que { a b R := a, b A} 2b a est un sous-anneau de M. Est-ce que R est commutatf?
5 2 Montrer que s A = Q, alors R est un corps. 3 Montrer que s A = Z/3Z, alors R est un corps de cardnal 9. 1 On a 0 0 1 0 R et R, 0 0 0 1 a b c d a c b d = R 2b a 2d c 2b d a c a b c d ac + 2bd ad + bc = R 2b a 2d c 2ad + bc ac + 2bd de manère que R, + est un sous-groupe de M, +, R est stable pour la multplcaton et l élément neutre multplcatf de M appartent à R. Donc R est un sous-anneau de M. En plus c d a b ac + 2bd ad + bc a b c d = =. 2d c 2b a 2ad + bc ac + 2bd 2b a 2d c Donc R est commutatf. a b 2 On a det = a 2b a 2 2b 2 et, s b 0, on a a 2 2b 2 = 0 s et seulement s x Q tel que x 2 = 2, ce qu n est pas possble, parce que ± 2 Q. S b = 0, alors a 2 2b 2 = 0 s et seulement s a = 0. Donc tout élément a b 0 0 est nversble avec nverse 2b a 0 0 1 a b, a 2 2b 2 2b a ce qu mplque que R est un corps par 1 on a déjà que R est un anneau commutatf. 3 On a a 2 2b 2 [0] 3 pour tout a, b Z/3Z 2 {[0] 3, [0] 3 }, donc, comme dans 2, on a que R est un corps, parce que Z/3Z = Z/3Z {[0] 3 }. En plus, R a cardnal 9 = #Z/3Z 2.