1 Analyse et comparaison des programmes de Première S (BO n 9 du 30 septembre 2011) (090211) Préambule : L introduction est en continuité avec celle du programme de 2 nde. Le préambule est moins détaillé. L objectif général conjugue l apport de nouvelles connaissances avec le développement de quatre compétences (autonomie dans la recherche, raisonnement, attitude critique, communication écrite et orale). L enseignement est centré sur la résolution de problèmes et met l accent sur la diversité de l activité de l élève, incluant des éléments d épistémologie et d histoire de mathématique. L utilisation d outils logiciels est incontournable, selon trois modalités. L évaluation doit prendre des formes variées, en phase avec les objectifs poursuivis. L horaire est modifié. Dans l écriture du programme : Les objectifs à atteindre sont fixés en termes de capacités, les contenus sont moins détaillés. Des démonstrations attendues sont signalées, de même que des activités algorithmiques plus ou moins incontournables. Comme en seconde, le programme est organisé en trois domaines (analyse ; géométrie ; statistiques et probabilités), auxquels s ajoutent deux domaines transversaux, dont on a défini les objectifs pour les trois années de lycée, et qui s exercent dans les divers champs du programme : - Algorithmique ; - Notations et raisonnement mathématiques (logique). Remarques : Les éléments de logique et de vocabulaire ne sont pas donnés à priori : ils s insèrent naturellement en fonction des besoins, puis ils font l objet de moments de synthèse. L utilisation de l outil informatique se généralise à tous les champs du programme et inclut l usage de logiciels de calcul formel. Rappels : Notations connues depuis le collège : =,,, <,, >,, %,,,, [AB], [AB), (AB), AB, et aussi : cos, sin, tan, (fonctions). Notations introduites en seconde : inclusion, intersection, ensembles de nombres et intervalles ; A. On a introduit implication et équivalence logique. I-Analyse : Le programme s inscrit comme en 2 nde dans le cadre de la résolution de problèmes (modélisation de phénomènes continus ou discrets). Ce qui disparaît Trois objectifs principaux Remarques «manipuler» des fonctions «l étude de certaines propriétés» «limite d une fonction en un point». Consolider l ensemble des fonctions mobilisables et l enrichir (racine carrée, valeur absolue). Exploiter l outil dérivation. Découvrir la notion de suite Possibilité d utilisation de logiciels de calcul formel pour les calculs complexes. Activités algorithmiques. Des démonstrations modélisantes exigibles.
2 Second degré Déterminer et utiliser la Equation, discriminant forme la plus adéquate Signe du trinôme Fonctions circulaires Eléments de trigonométrie : cercle trigonométrique, radian, mesure d un angle orienté, mesure principale Fonctions de référence : cos, sin Etude de fonctions Fonction de référence : valeur absolue et racine carrée. La composée u v et son sens de variation, u et v étant 2 fonctions monotones u+v, uv, u / v. Utiliser le cercle trigonométrique. Connaître la représentation graphique de ces fonctions. Connaître certaines propriétés (parité, périodicité) Variations et positions relatives des courbes (x, x², x ) Activités algorithmiques Eléments de trigonométrie de seconde à consolider et à compléter La valeur absolue n est pas vue en 2 nde. La fonction est nouvelle en 1 ère (variation, représentation graphique) On fait le lien avec les représentations graphiques étudiées en seconde. La mise sous forme canonique n était pas un attendu en 2nde. Les acquis de seconde sont très modestes. La lecture graphique est privilégiée Aucune technicité attendue Les opérations sur les fonctions ( f+g, fg) ne sont pas définies dans le cas général. Composée hors-programme La fonction cube n est pas mentionnée. Sens de variation de u+k, ku, u et 1/u où u fn, k cste Les familles de courbes avec grapheur : u+v, u, u(kx) et u(x+k) Obtenir le sens de variation de ces fonctions à partir de celle de u et exploiter ces propriétés. u et 1/u La fonction racine carrée n est pas exigible en STI. Le programme de STI privilégie les représentations graphiques.les types de fonctions à étudier sont différents. Dérivation Nombre dérivé Tangente Fonction dérivée Dérivée des fonctions usuelles : x x x 1/x, x x n (n ), Somme, produit, quotient ; La référence à l approche cinématique L approximation affine La courbe d Euler Les dérivées des fonctions sinus et cosinus La dérivée de f(ax+b) Tracer une tangente connaissant le nombre dérivé Calculer la dérivée de fonctions Le nombre dérivé est défini comme la limite du taux d accroissement quand h tend vers 0 f ( a h) f( a) h Pas de définition formelle de la limite en 0 : approche intuitive, plus rapide. Utilisation d outils logiciels Pas d excès de technicité (si nécessaire, dans le cadre de résolution de problèmes, utiliser un logiciel de calcul formel) En STI : Dérivées de : x cosx ; x sinx, mais pas celle de x,
3 Lien entre signe de la dérivée et sens de variation Extremum d une fonction Comportement asymptotique de certaines fonctions Suites Modes de génération d une suite numérique Suites arithmétiques et géométriques Sens de variation Approche de la notion de limite d une suite à partir d exemples Tout ce paragraphe disparaît La comparaison de (1+t) n et de (1+nt) Calcul de la somme des termes Les définitions formelles de la convergence, les théorèmes sur les opérations La limite d une suite géométrique ( moins détaillé) Exploiter le sens de variation pour obtenir des inégalités ; Modéliser et étudier une situation Exploiter une représentation graphique des termes d une suite. Mettre en œuvre des algorithmes permettant d obtenir une liste de termes ; de calculer un terme de rang donné. On peut utiliser un algorithme ou un tableur pour traiter des problèmes de comparaison d évolution et de seuils. Traiter quelques problèmes d optimisation Varier les approches et les outils Très large utilisation du tableur et mise en oeuvre d algorithmes (suites récurrentes et autres) Les suites arithmétiques ne sont pas vues en STI La référence aux comparaisons d évolution ne reste qu avec algorithmes ou tableur Le tableur, les logiciels de géométrie dynamique et de calcul sont des outils adaptés Pas de définition formelle d une limite. I- Géométrie : Les problèmes mettent en jeu : calculs de distances et d angles, alignement, parallélisme et orthogonalité Ce qui disparaît Deux objectifs principaux Remarques Barycentre, Repérage polaire, Transformations, Géométrie dans l espace : sections planes, repérage, et vecteurs de l espace.. Renforcer les capacités des élèves à résoudre des problèmes. Découvrir et exploiter l outil nouveau «produit scalaire» Un travail de «recollement» sur le calcul vectoriel non repéré et sur la trigonométrie s impose. La géométrie dans l espace reste source de situations pour des problèmes. Géométrie plane Barycentre Condition de colinéarité de 2 Repérage polaire vecteurs xy yx = 0 Colinéarité vue en 2 nde, mais la condition est nouvelle en 1ère xy yx = 0 n est pas dans le programme de 2nde
4 Vecteur directeur, Les méthodes permettant équation cartésienne d obtenir une équation d une droite cartésienne de droite Expression d un vecteur du plan en fonction de deux vecteurs non colinéaires Trigonométrie Cercle trigonométrique Radian Mesure d un angle orienté, mesure principale Produit scalaire dans le plan Définition et propriétés Vecteur normal à une droite Applications du produit scalaire : calculs d angles et de longueurs Formules d addition et de duplication de cosinus et sinus Calcul vectoriel dans l espace Al Khashi n est plus cité, la formule des sinus et celle de l aire non plus Tout le paragraphe a disparu. La projection orthogonale n est plus privilégiée ; Calculer le produit scalaire de 2 vecteurs par différentes méthodes : - Projection orthogonale, - Analytiquement, - A l aide des normes et d un angle. - A l aide des normes. Equation cartésienne d une droite, équation d un cercle Calcul des angles et des longueurs. Ce paragraphe (nouveau pour les élèves à l exception de l introduction) Le mot «norme» En seconde les élèves ont seulement étudié l équation réduite d une droite. Il s agit d enrichir les compétences en calcul vectoriel en géométrie non repérée (non fait en 2 nde ) sans oublier les constructions de vecteurs Approche modeste en 2 nde (enroulement et définition de sinx et cosx) Le radian n est pas exigible en 2 nde. L étude des fonctions sin et cos n est pas un attendu en 1ère Consolider des acquis de seconde, où le travail sur les vecteurs s est principalement situé en géométrie repérée. Calcul vectoriel dans un cadre non repéré. La relation de Chasles pour les angles orientés est admise. Des démonstrations sont attendues. Pas en STI : Le calcul «A l aide des normes» Equation cartésienne d une droite, équation d un cercle Formules d addition et de duplication de cosinus et sinus Transformations Lieux géométriques Tout le paragraphe a disparu. Tout le paragraphe a disparu.
5 III- Statistiques et probabilités : Contenus Quatre objectifs principaux : Remarques On poursuit et on enrichit le travail effectué en seconde. - Faire réfléchir les élèves sur des données réelles, riches et variées - Modéliser des situations aléatoires, en proposer un traitement probabiliste - Introduire la loi binomiale, - Poursuivre la formation des élèves dans le domaine de l échantillonnage Statistique L influence d une. Utiliser de façon appropriée descriptive, analyse transformation affine les deux couples usuels qui de données permettent de résumer une Caractéristiques de La démonstration attendue série : ( moyenne, écart-type) dispersion : variance, sur la moyenne qui et ( médiane, écart interqu ) écart-type minimise. Etudier une série statistique ou mener une comparaison Diagramme en boîte pertinente de deux séries à l aide d un logiciel ou d une calculatrice Probabilités Variable aléatoire discrète et loi de probabilité. Espérance. Variance et écart-type. Modèle de la répétition d expériences identiques et indépendantes à 2 ou 3 issues Epreuve de Bernoulli Loi de Bernoulli Schéma de Bernoulli, Loi binomiale Evénements, notations, premières notions de probabilités, propriétés : ont été vus en 3 e et 2 nde. Déterminer et exploiter la loi d une variable aléatoire Interpréter l espérance (Faire le lien avec moyenne et variance d une série de données) : On démontre 2 propriétés de linéarité (espérance et variance) Les contenus et objectifs de la fin du paragraphe. Représenter la répétition par un arbre pondéré. Utiliser cette représentation L utilisation possible de la loi géométrique tronquée. Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale. Calculer une probabilité dans le cadre de la loi binomiale L étude des probabilités est amorcée en 3 ème et poursuivie en seconde. L échantillonnage est étudié en 2nde On utilise la calculatrice ou un logiciel pour déterminer la variance et l écart-type, pour comparer 2 séries, pour faire observer des exemples d effets de structure Les boîtes à moustaches (diagrammes en boîtes) sont déjà présentes dans le doc ressource de 3 ème (page 11) et dans celui de 2 nde (page 11). Elle permettent de visualiser immédiatement les résultats numériques et sont un outil commode pour comparer 2 séries. On peut les obtenir avec tableur ou calculatrice mais avec des inexactitudes potentielles On utilise la calculatrice ou un logiciel pour déterminer l espérance, la variance et l écart-type Pas de probabilités conditionnalles (HP) Utilisation d arbres pondérés avec principe multiplicateur Activités algorithmiques On peut traiter quelques situations autour de la loi géométrique tronquée Introduction en 3 étapes, à partir d un arbre (n 4) pour installer une représentation mentale efficace (voir commentaires)
6 : Coefficients binomiaux, triangle de Pascal Espérance, variance et écart type de la loi binomiale. Echantillonnage Utilisation de la loi binomiale pour une prise de décision à partir d une fréquence Démontrer la propriété des coefficients. Représenter graphiquement la loi binomiale.. Utiliser l espérance d une loi binomiale dans des contextes variés. Ce paragraphe :. Exploiter l intervalle de fluctuation à un seuil donné,.pour rejeter ou non une hypothèse sur une proposition. Coefficients obtenus par calculatrice ou logiciel Simulations avec tableur ou algorithmes Conforter les résultats par des simulations. Pas de pb de dénombrements et de factorielles! Conjecturer puis admettre la formule de l espérance, admettre celle de la variance. Amener les élèves à expérimenter la notion de «différence significative» L intervalle de fluctuation peut être déterminé à l aide d un tableur ou d un algorithme. Le vocabulaire des tests est hors programme.