Chapitre 3 Equations Paraboliques Nous allons nous intéresser dans ce chapitre à des équations dont le modèle est l équation de la chaleur : 3.1 t 1 u x = 0 associée à la donnée initiale : dans 0,T 3. ux, 0 = u 0 x dans, où u 0 est une fonction donnée. 3.1 Approche Théorique Notre premier résultat montre que l on a une solution explicite définie sur un certain intervalle de temps 0,T si u 0 vérifie la condition à l infini suivante : 3.3 lim x + u 0xε A x =0 pour une certaine constante A>0. Proposition 3.1. On suppose que u 0 est une fonction continue qui satisfait la propriété 3.3 ; alors la fonction u définie par : 3.4 ux, t = 1 πt exp est une solution de 3.1-3. avec T =1/A. y x u 0 y dy t emarque : si t ]0,T[ avec T =1/A, l intégrale écrite dans la proposition a bien un sens, d où le choix de T qui est optimal. 99
100 CHAPITE 3. EQUATIONS PAABOLIQUES Preuve : On va calculer la solution fondamentale de l équation 3.1 i.e. la solution de 3.1 associée à la donnée initiale suivante : 3.5 ux, 0 = δ 0 x dans, où δ 0 est la masse de Dirac centrée en x = 0. On notera ρx, t cette solution. La solution u est alors donnée à partir de ρ via la formule : ux, t = ρ,t u 0 x où la convolution agit dans la variable d espace seulement. En effet, d après les propriétés de la convolution, si ρ est une fonction régulière, t 1 u ρ x = t 1 ρ x u 0 =0 et : ρ,t u 0 x u 0 x quand t 0 ces propriétés deviendront plus claires après le calcul explicite de ρ. Maintenant, pour calculer ρ, on raisonne formellement en introduisant la transformée de Fourier en x : ˆρξ, t = ρx, tε iξx dx et on applique cette transformée de Fourier à l équation. Il est bien connu que : d où : avec : ρ ˆρ ξ, t = ξ, t t t ρ x ξ, t = ξ ˆρξ, t ˆρ t + ξ ˆρ ξ, t = 0 ˆρξ, 0 = 1 dans. dans 0,T Il en résulte de l intégration de cette équation différentielle en t que : ˆρξ, t = exp tξ Or la transformée de Fourier de exp aξ est : que l on obtient une formule explicite pour ρ : dans 0,T. ρx, t = 1 exp x, πt t π a exp x, de sorte 4a
3.1. APPOCHE THÉOIQUE 101 puisqu en effet la transformée de Fourier inverse est : ρx, t = 1 ˆρξ, tε iξx dξ. π On peut aussi vérifier directement et de manière élémentaire que la fonction u donnée dans l énoncé de la proposition est bien solution de l équation. Pour simplifier l exposé, on ne va considérer désormais que le cas où u 0 est bornée ; les cas avec des conditions de croissance plus générales peuvent être traités de manière analogue mais plus technique. Donnons maintenant quelques propriétés de la fonction u. Proposition 3.. La fonction u donnée par 3.4 vérifie : i u C b [0, [ C ]0, [ et on a : k+l u t k x l x, t Ck, l u 0. t k+l ii u est l unique solution de 3.1-3. dans C b [0, [ C ]0, [. iii Si v C b [0, [ C ]0, [ est associée à la donnée initiale v 0 alors : u 0 v 0 = u v dans [0, [, u v L 0, u 0 v 0 L. Preuve : La preuve de i repose sur des arguments de convolution classique : u est de classe C car ρ l est. De plus, pour l estimation des dérivées on utilise les propriétés suivantes : ρ t x, t = t,t u 0 x, ρ x x, t = x,t u 0 x. Montrons alors que les estimations sont vraies pour les dérivées premières, le résultat complet s obtenant par récurrence. t x, t = 1 y x t 3/ exp u 0 y dy π t 1 y x y x + exp πt t t u 0 y dy. On fait le changement de variable z =y x/ t, ce qui donne : 1 x, t = t t exp z u 0 x + z tdz π 1 + t z exp z u 0 x + z tdz. π
10 CHAPITE 3. EQUATIONS PAABOLIQUES On obtient la maoration de en maorant u0 x + t par u 0 dans t ces intégrales. De même, 1 y x y x x, t = exp u 0 y dy x πt t t = 1 1 t π z exp z u 0 x + z tdz, et on conclut comme dans le premier cas. emarque : bien entendu, ces estimations ne sont pas optimales. Si u 0 est plus régulier et si on a un contrôle suffisant sur la taille de ces dérivées, on écrit : ux, t = 1 π exp z u 0 x + z tdz, et on fait porter les dérivées sur u 0. Par exemple, si u 0 est de classe C 1 avec une dérivée bornée, il est clair que x x, t 0, x t x, t C t 0. x Pour démontrer ii, on considère une autre solution v. On va seulement prouver que u v, l autre inégalité s obtenant de manière analogue. Pour cela on se fixe T>0quelconque et on considère : max [0,T ] ux, t vx, t αt + x, où α> 0 est assez petit. Comme u et v sont bornées, on a : ux, t vx, t αt + x quand x, donc on a bien affaire à un maximum qui est atteint en un point x 0,t 0. Par les propriétés habituelles en un point de maximum, si t 0 > 0 on a : ux, t vx, t αt + x x 0,t 0 0 et = 0 si t 0 <T t x ux, t vx, t αt + x x 0,t 0 0 Ces deux propriétés combinées impliquent : t x 0,t 0 v t x 0,t 0 α 1 u t x 0,t 0 v t x 0,t 0 α 0 mais, en utilisant l équation, il vient : α 0,
3.. APPOCHE NUMÉIQUE 103 ce qui est une contradiction. On a donc nécessairement t 0 = 0 et : ux 0,t 0 vx 0,t 0 αt 0 + x 0 u 0 x 0 u 0 x 0 = 0. Donc le maximum est négatif pour tout α> 0, i.e. ux, t vx, t αt + x dans [0,T] pour tout α> 0 et T > 0. On conclut en faisant tendre α vers 0 ce qui donne u v dans [0, [ puisque T>0est arbitraire. Enfin, la preuve de iii est aisée, il suffit de maorer les intégrales de convolutions ou d utiliser l argument ci-dessus pour la preuve de ii. emarque : On n a pas ici de propriété de vitesse finie de propagation : au contraire, au point x, t, t>0, u dépend vraiment des valeurs de u 0 sur tout entier. C est une différence fondamentale entre équations paraboliques et équations hyperboliques. 3. Approche Numérique Avant de considérer de vrais schémas numériques, intéressons-nous à une semi-discrétisation en temps seulement. On note u n x une approximation de ux, n où >0. En discrétisant en t l équation et en adoptant un schéma implicite, on obtient : u n 1 x = 0 dans. D où est solution de l équation : x + = u n dans, qui est une équation elliptique que nous avons déà étudiée, à part qu ici elle est posée dans tout entier. Ce lien entre équations elliptiques et paraboliques est très important, tant du point de vue théorique que numérique : il permet d obtenir des résultats généraux d existence,... 3..1 Mise en place des principaux schémas Il y a trois schémas numériques classiques pour calculer la solution de 3.1-3. qui sont les suivants : le schéma explicite standard SES, le schéma implicite standard SIS et les θ-schémas de Crank-Nickolson ; nous n étudierons ici en détail que les deux premiers.
104 CHAPITE 3. EQUATIONS PAABOLIQUES Schéma Explicite Standard : SES u n 1 u n +1 + un 1 un x =0,n N, Z. Comme dans le cas des équations hyperboliques, on étudie la stabilité par une analyse de Fourier ; si u n = γ expik x, alors : Le calcul de g donne : = gλ, k xu n, avec λ = x. gλ, k x = 1 + λ cosk x 1 = 1 4λ sin k x Tout d abord, comme λ 0, on a bien gλ, k x 1. Pour avoir maintenant gλ, k x 1, il est nécessaire d avoir λ 1/, i.e. x 1, c est la condition de CFL. Il est à noter que cette condition est équivalente à la monotonie du schéma ; en effet, on peut le réécrire sous la forme suivante :. = λu n +1 + λu n 1 + 1 λu n de telle sorte que, si λ 1/, on a la propriété de monotonie : ou encore : u n 0 pour tout Z = 0 pour tout Z, u n v n pour tout Z = v n+1 pour tout Z. On retrouve ainsi une version discrète de la propriété de principe de maximum et de comparaison satisfaite par l équation. Le schéma SES est consistant, un calcul simple montre qu il est d ordre en x et d ordre 1 en t. emarque : La condition de CFL est désagréable car elle implique que l on doit prendre de l ordre de x, c est-à-dire extrèmement petit. On avance ainsi très peu vite en temps et pour calculer ux, t il faut beaucoup d itérations. En revanche, à chaque pas d itération, le schéma calcule vite la solution puisqu il est explicite 1. 1 ceci est à comparer avec le schéma implicite standard pour lequel on est pas obligé de prendre petit, mais en revanche il faut résoudre un système linéaire à chaque itération - le choix d un bon schéma n est donc pas évident a priori.
3.. APPOCHE NUMÉIQUE 105 Schéma Implicite Standard : SIS u n 1 +1 + un+1 1 un+1 x =0,n N, Z. Pour étudier la stabilité de ce schéma, on peut adopter deux stratégies : une par Fourier, l autre par principe de maximum. Par Fourier, on a : [ gλ, k x = 1 λ cosk x 1 ] 1 1, car cosk x 1 0, donc le schéma implicite est inconditionnellement stable. Cette propriété peut être obtenue par un argument heuristique de type principe de maximum. Supposons u n Z borné et montrons que : max Z un+1 On ne va démontrer que l inégalité : max Z un. max Z un+1 max Z un, celle avec les valeurs absolues s obtenant ou bien en raisonnant de la même façon avec le min, ou bien en changeant les,u n en un+1, u n et en utilisant le résultat pour le max pour les, u n. Supposons donc que le premier maximum est atteint en 0. Cela entraine, en utilisant le schéma : 0 1 u n+1 x 0 +1 + un+1 0 1 un+1 Mais 0 +1 un+1 0 et 0 1 un+1 0, donc : 0 +1 + un+1 0 1 un+1 0 0, 0 = u n 0. ce qui n est rien d autre qu une version discrète du fait que la dérivée seconde est négative au sens large en un point de maximum! et ainsi : max Z un+1 = 0 u n 0 max Z un. Il est à noter que cette propriété signifie que le schéma est inconditionnellement monotone, i.e. u n 0 pour tout Z = 0 pour tout Z. Comme le schéma SES, le schéma SIS est consistant et d ordre 1 en temps, en espace.
106 CHAPITE 3. EQUATIONS PAABOLIQUES 3.. Convergence des schémas On a le résultat suivant : Théorème 3.1. On suppose que u 0 est bornée, uniformément continue sur. Alors la solution u n n, des schémas SES quand la condition de CFL est satisfaite et SIS inconditionnellement converge uniformément vers u sur [0,T] pour tout T>0, i.e. max u n Z u x, n 0 quand x + 0. n N Preuve : Elle se calque sur la preuve de convergence des schémas donnée dans le premier chapitre : Etape 1 : on traite le cas où u 0 est de classe C 4 avec u k 0 bornées pour 0 k 4. On inecte les valeurs de u x, n dans le schéma et on utilise la monotonie pour montrer que : u n u x, n Cn [ x + ], où C[ x +] est le terme d erreur que l on commet à chaque étape en remplaçant u n par u x, n, et : Cn [ x + ] et une sur-solution qui permet de prendre en compte cette erreur. Etape : on approche u 0 qui est bornée et uniformément continue par des fonctions u ε 0 ε qui sont de classe C 4 avec les quatre permières dérivées bornées. Cette approximation uniforme obtenue par convolution est rendue possible par l uniforme continuité de u 0. On raisonne ensuite comme dans le Chapitre 1, en utilisant le formule explicite qui donne u, u ε,... etc. emarque : Dans le cas où u 0 est C 4, avec u k 0 borné pour 0 k 4, on a bien une convergence en 1 + x comme le prévoit l ordre du schéma. 3..3 Aproximation par domaine de calcul borné A cause de la vitesse infinie de propagation des informations, ce problème apparait comme non trivial. Pourtant, si l on considère par exemple le problème suivant : 3.1 t 1 avec la condition initiale suivante : u = 0 dans ], [ 0, x 3. u x, 0 = u 0 x dans ], [
3.3. EXECICES 107 et la condition de bord : 3.3 u ±, t =u 0 ± pour t>0, on peut montrer que u u localement uniformément quand. La semi-discrétisation en temps que nous avons évoqué montre que ce problème se ramène à ce que nous avons vu au Chapitre 1. N.B. : la condition aux limites artificielle 3.3 peut en fait, doit! être remplacée la plupart du temps par une condition plus adaptée et plus astucieuse!!! Exercice 13. Pour l équation de la chaleur : t u =0 dans 0,T, x on considère le schéma d approximation numérique : = u n +θ x un +1+u n 1 u n +1 θ x un+1 +1 +un+1 1 un+1, où θ. 1. Déterminer la condition de stabilité.. À quelle condition, ce schéma est-il monotone? Vérifier alors que, si on suppose la donnée initiale u 0 bornée, u n est aussi borné pour tout n et on a max u n max u 0 et min u n min u 0. 3.3 Exercices