EXERCICE N 1 : EXERCICE N 2 : Exécuter, sérieusement et de façon soignée, un dessin à main levée puis un tracé exact au compas Mettre en oeuvre le théorème de Pythagore Utiliser les théorèmes ou définitions relatifs à la médiatrice d un segment Utiliser les formules trigonométriques dans le triangle rectangle On désigne par ( C ) le cercle de centre de O et de rayon 4,5 cm et par S est un point du plan situé à 7,5 cm du point O. Tracer les tangentes au cercle ( C ) issues de S. On appellera A et B les points de contact entre le cercle et les tangentes. ❶ Calculer la mesure en cm de SA. ❷ Démontrer que ( OS ) est médiatrice de [ AB ] et en déduire que (OS) est un axe de symétrie Exéuter, sérieusement et de façon soignée, un tracé exact au compas Mettre en oeuvre le théorème de la droite du milieu Utiliser la définition vectorielle du parallélogramme puis les autres théorèmes le concernant Etre attentif au choix d un théorème en faisant la distinction entre le théorème et sa réciproque ABCD est un parallélogramme On appelle I le milieu de [ BC ] J le milieu de [ DA ] Les droites ( AI ) et ( CJ ) coupent la droite ( BD ) respectivement en K et L. ❶ Réaliser le dessin Quelle est la nature du quadrilatère AICJ, le démontrer? ❷ Que représente la droite ( KI ) pour le triangle LCB en déduire que BK = KL ❸ Démontrer que BK = KL = LD.. A B D C Page 1
EXERCICE N 3 : EXERCICE N 4 : Exécuter, sérieusement et de façon soignée, un tracé exact au compas Mettre en oeuvre le théorème de Pythagore et sa réciproque en utilisant une valeur réelle, AB = 5, puis de refaire la démonstration dans le cas général ou AB est une lettre : une inconnue Mettre en oeuvre le théorème de Thalès ou plus simplement celui de la droite des milieux Lorsque la longueur d un segment est donnée sous la forme d une racine ne pas donner le résultats sous la forme d une valeur approchée Utiliser les théorèmes relatifs aux droites parallèles et orthogonales A B C D est un carré de côté l, On note I le milieu de [ A B ], J celui de [ B C ], K celui de [ J B ] ❶ Démontrer que le triangle D I K est rectangle en I calculer dans un premier temps avec AB = 5 ( cm ) puis ensuite avec AB = l ❷ Démontrer que les droites ( D I ) et ( A J ) sont perpendiculaires. Exécuter, sérieusement et de façon soignée, un dessin à main levée puis un tracé exact au compas Mettre en oeuvre le théorème de Pythagore et sa réciproque Il s agit de construire des triangles dont les trois côtés ont pour longueur des nombres entiers consécutifs. En utilisant une inconnue x, les longueurs des côtés d un triangle sont représentées par les nombres x -1, x, x +1 : ❶ Tracer un triangle ABC tel que les longueurs des côtés AB, BC,CA, soient respectivement 8, 9, 10 ❷ Parmi les trois nombres x, x-1, x+1, quel est le plus grand? ❸ Peut on choisir x pour que les nombres x -1, x, x +1, soient les longueurs des côtés d un triangle rectangle? Page 2
EXERCICE N 5 : LE BUT DE CET EXERCICE EST D UTILISER LES NOTIONS SUIVANTES : Exécuter, sérieusement et de façon soignée, un dessin à main levé puis un tracé au compas exact construire un élément supplémentaire Mettre en oeuvre le théorème de Pythagore Utiliser les théorèmes ou définitions relatifs à la médiatrice d un segment ABCD est un rectangle tel que si l on pose AD = a, alors AB = a 2. On note I le milieu [ AB ], J le milieu [ DC ] et O le point commun à ( AC ) et ( BJ ). ❶ Construire en utilisant une règle et un compas, un tel rectangle dans le cas où a = 5 ( cm ) ❷ Démontrer que les droites ( AC ) et ( BJ ) sont perpendiculaires ❸ Démontrer que ( ID ) est la médiatrice de [ OA ] ❹ Démontrer que le triangle IOD est rectangle en O. EXERCICE N 6: ABC est un triangle équilatéral de côté a. On note A le milieu [ BC ] et E le point de [ A A ] tel que AA tel que A E = a/2 : 1 ) Quelle est la nature du triangle BEC? 2 ) Calculer, en fonction de a, l aire du triangle AEC. En déduire la distance du point E à la droite ( AC ) 3 ) En exploitant les questions précédentes, démontrer que : Indication : On trouvera que la distance de E à ( AC ) est A B D C Page 3
EXERCICE N X : LE BUT DE CET EXERCICE EST D UTILISER LES NOTIONS SUIVANTES : Exécuter, sérieusement et de façon soignée, un dessin à main levé puis un tracé au compas exact Mettre en oeuvre le théorème de Pythagore Utiliser les théorèmes ou définitions relatifs à la médiatrice d un segment Utiliser les formules trigonométriques dans le triangle rectangle ( C ) est un cercle de centre O [A B] l un de ses diamètres M est un point de ( C ) distinct de A et B. On désigne par ( T 1 ) la tangente en A à ( C ), par ( T 2 ) la tangente en B à ( C ). La tangente en M à ( C ) coupe ( T 1 ) en U et ( T 2 ) en V. 1 ) Démontrer que les droites ( O U ) et ( A M ) sont perpendiculaires. 2 ) Démontrer que le triangle OUV est rectangle en O. Page 4
EXERCICE N 8 : Soit un triangle ABC quelconque. On note I lemilieu du segment [AB]. La parallèle à la droite (BC) passant par I coupe la bissectrice de l angle ABC en D. La droite (AD) coupe (BC) en E. ❶ Démontrer que le triangle BID est isocèle en I. ❷ Démontrer que le triangle ABD est rectangle en D. EXERCICE N 9 : Nicomède proposa une solution approchée de la trisection de l angle par la construction d une trisectrice d un angle xoa est l angle que nous voudrions trisecter Soit K le projeté orthogonal de A sur [Ox) et [Az) la parallèle à [Ox) menée par A. Supposons placé sur [AK] le point B, tel que [OB) coupe [Az) en un point M pour lequel BM = 2OA. ❶ Réaliser un dessin à main levée, puis essayer de faire un tracè approché. ❷ Démontrer que l angle KOA est le triple de l angle KOB. Page 5
selon Nicomède Nicomède proposa une solution approchée de la trisection de l angle par la construction d une trisectrice : ^xoa est l angle que nous voudrions trisecter. Soit K le projeté orthogonal de A sur [Ox) et [Az) la parallèle à [Ox) menée par A. Supposons placé sur [AK] le point B, tel que [OB) coupe [Az) en un point M pour lequel BM = 2OA. En traçant la médiane issue de A dans le triangle BAM, on voit que ^AOB est le double de l angle ^BOK. Ainsi l angle ^xom est le tiers de l angle donné ^xoa : en effet, vu que BAM est rectangle en A, on a JA = JM = OA. Or ^BOK = ^JMA (alternes-internes). D où, en notant t la mesure de ^BOK : ^AOB = ^OJA = 2t, c est dire que ^xoa = 3t. C est une conchoïde (prononcer conkoïde ) de la droite (AK). Trisection de l angle selon Thomas Ceva Considérons un cercle (c) de centre O, de rayon r. Traçons un diamètre (xy). Soit M un point de (c).le cercle de centre M de rayon r coupe (xy) en O et P. Le cercle de centre P, de rayon r, coupe (OM) en T (T comme trisectrice, bien sûr). Posons ^MOP = â. * Sachant que la somme des angles d un triangle égale 180, il est bien clair que ^TPy = 3â. Le problème est donc de déterminer M. Plaçons nous dans un repère orthonormé. Posons a = OA. * A tout point P situé sur [AK], on associe le point P de [OP), tel que OP = OP + 2a (donc PP = 2a). * Tracez le plus grand nombre possible de demi-droites [OP) en reportant PP = 2a. * Vous voyez se construire point par point la branche (G) de la trisectrice. Cette construction étant achevée, la parallèle à (Ox) passant par A coupe (G) en le point M réalisant la trisection de l angle ^xoa. En notation moderne, l équation polaire de la trisectrice ainsi obtenue est r = OP + PP = OK/cos t + 2a avec 0 t p/2. Page 6