GENERALITES SUR LES FONCTIONS ) QUELQUES RAPPELS ESSENTIELS SUR LA NOTION DE FONCTION A ) DEFINITION Pour schématiser, une onction est un procédé qui associe à chaque réel d un intervalle donné un unique réel. athématiquement parlant, on caractérise une onction de la açon suivante : : I IR ( ) Cette écriture signiie que la onction, déinie sur l intervalle I, associe à tout réel de l intervalle I, le ( il est unique ) réel noté (), appelé image de par. ne représente pas un réel donné, mais n importe lequel des éléments de l intervalle I. On dit que est une variable.( On peut aussi utiliser les lettres u, t, etc ) On a appelé la onction, mais rien ne nous oblige à l appeler ainsi. ( On utilise souvent les lettres g, h, etc ou, 2... ) Rem: Dans la pratique, les onctions sont souvent données sans que soit précisé l ensemble de déinition. Dans ce cas n oubliez pas de chercher D, en vous rappelant qu il s agit de tous les réels tels que ( ) soit calculable. Les onctions peuvent aussi être déinies sur des réunions d intervalles. Par eemple la onction inverse : est déinie sur IR*. B ) REPRESENTATION GRAPHIQUE Le plan est muni d un repère orthogonal (O; i, j ). Si possible, on prend le repère orthonormal Soit une onction déinie sur une partie I de IR ( I est un intervalle ou une réunion d intervalles ). L ensemble des points de coordonnées (, ( ) ) où décrit I est la courbe représentative ( ou représentation graphique ) de la onction dans le plan. y C : y = ( ) b (a) j O i 2 a 3 On note, le plus souvent, C la courbe représentative de. On dit que la courbe C a pour équation cartésienne y = ( ) relativement au repère (O; i, j ). Rem : On a déjà insisté sur le ait que pour tout réel de I, ( ) est unique. On en déduit une interprétation géométrique : toute droite parallèle à l ae des ordonnées coupe la courbe représentative d une onction en au plus un point. Ceci est un moyen simple pour savoir si une courbe représente ou non une onction... ( a ) est l unique image de a., 2 et 3 sont les antécédents de b. ( Un réel peut admettre aucun antécédent, ou un, ou plusieurs antécédents. ) 2 ) PARITE Soit une onction déinie sur un ensemble I centré en zéro. On dit que est paire si, pour tout réel de I, ( - ) = ( ). On dit que est impaire si, pour tout réel de I, ( - ) = - ( ). ne pas oublier de le vériier I centré en zéro signiie que pour tout élément de I, est aussi dans I. Rem : IR et IR * sont bien sûr centrés sur. Si une onction est déinie sur IR ou IR *, il suit seulement de montrer une des deu relations.
E : Les onctions, cos et ², déinies sur IR, sont des onctions paires. Les onctions, sin et 3,déinies sur IR, et la onction, déinie sur IR*, sont des onctions impaires. Interprétation graphique : 2 Le plan est muni d un repère orthogonal (O; i, j ). La courbe représentative d une onction paire admet l ae des ordonnées pour ae de symétrie. E : : ² La courbe représentative d une onction impaire admet le point O pour centre de symétrie. E : : 3 3 Rem : Si une onction est paire ou impaire, il suit de l étudier sur D IR+. 3) VARIATIONS A ) FONCTION CROISSANTE Soit une onction déinie sur un intervalle I. On dit que : est croissante ( resp. strictement croissante ) sur I, lorsque pour tous réels et de I, tels que <, on a ( ) ( ) (resp. ( ) < ( ) ). est décroissante ( resp. strictement décroissante ) sur I, lorsque pour tous réels et de I, tels que <, on a ( ) ( ) ( resp. ( ) > ( ) ). est monotone ( resp. strictement monotone ) sur I, lorsque est soit croissante ( resp. strictement ) sur I, soit décroissante ( resp. strictement ) sur I. Etudier les variations d une onction, c est préciser les intervalles sur lesquels la onction est monotone. On résume ces résultats dans un tableau appelé ( comme vous le savez ) tableau de variations. B ) EXTREU Soit une onction déinie sur un intervalle I, m et deu réels de I. On dit que : admet un minimum sur I en m, si pour tout réel de I, ( m ) ( ). admet un maimum sur I en, si pour tout réel de I, ( ) ( ). E : Pour tout réel, ² +. De plus ² + = Ainsi, la onction ² + admet comme minimum en On ne parle de croissance ou de décroissance que sur un intervalle Soit une onction déinie sur un intervalle I. On dit que : est majorée sur I, s il eiste un réel tel que pour tout de I, ( ). On dit que est un majorant de. est minorée sur I, s il eiste un réel m tel que pour tout de I, ( ) m. On dit que m est un minorant de. est bornée sur I, si elle est minorée et majorée sur I. Tout réel supérieur à est aussi un majorant de. Tout réel m inérieur à m est aussi un minorant de. Une onction est majorée par son maimum et est minorée par son minimum. Attention : Une onction peut admettre un majorant ( ou un minorant ) sur un intervalle sans admettre orcément de maimum( ou de minimum ). E : La onction inverse est minorée par sur l intervalle ] ; + [, mais n est pas un minimum Interprétation graphique : m Dire que, sur un intervalle I, est minorée par m et est majorée par ( c'est à dire est bornée ) revient à dire graphiquement que la courbe représentative de restreinte à I est située entre les deu droites parallèles d équation y = m et y = Remarque importante : La notion de dérivée que nous verrons plus tard est un outil très perormant pour l étude des variations ; nous ne nous attarderons donc pas sur les méthodes que vous avez vues en classe de seconde.
4 ) PANORAA DES FONCTIONS DE REFERENCE Fonctions Ensemble de déinition, variations Représentations graphiques 3 : a + b Si a > est strictement croissante sur IR Si a < est strictement décroissante sur IR y = 3 + 2 y = - + : 2 : 3 est paire est strictement décroissante sur ] - ; ] et strictement croissante sur [ ; + [ La courbe représentative de est une parabole de sommet O. est impaire est strictement croissante sur IR y = 2 y = 3 y = 3 : * est impaire est strictement décroissante sur ] - ; [ et strictement décroissante sur ] ; + [ La courbe représentative de est une hyperbole de centre O. y = y = : D = [ ; + [ est strictement croissante sur [ ; + [ : : cos : sin est paire est strictement décroissante sur ] - ; ] et strictement croissante sur [ ; + [ est paire est périodique de période 2 π cos ( + 2 π ) = cos La courbe représentative de est une sinusoïde est impaire est périodique de période 2 π sin ( + 2 π ) = sin La courbe représentative de est une sinusoïde y = y = cos y = sin
5 ) FONCTIONS ASSOCIEES Soit et g deu onctions déinies sur D et Dg. On note et leurs courbes représentatives dans le plan muni d un repère orthogonal (O; i, j ). Si pour tout réel de Dg, on a : 4 g ( ) = ( a ) + b ( où a IR et b IR ), alors : v g ( ) = ( ), alors : la courbe est l image la courbe est l image de la courbe par la translation de vecteur v = a i + b j de la courbe par la réleion d ae ( O ) g ( ) = ( ), alors : la courbe est l image de la courbe par la réleion d ae ( Oy ) g ( ) = ( ), alors : la courbe est l image de la courbe par la symétrie de centre O. d où l utilité de connaître les courbes représentatives de quelques onctions de réérences. En eercice, on étudiera également les onctions ( ), ( ) et a ( ) 6 ) COPARAISON DE DEUX FONCTIONS A ) EGALITE Soit et g deu onctions. On dit que les onctions et g sont égales, ce que l on note = g, si : D = Dg pour tout D, ( ) = g ( ) E : Les onctions : ² et g : sont égales. En eet D = Dg = IR et pour tout réel, ( ) = g ( ) B) LA NOTATION g Soit et g deu onctions et I un intervalle inclus dans D et dans Dg. On dit que est inérieure à g sur I, ce que l on note g, si : pour tout I, ( ) g ( ) On déinit de la même manière g, > g et < g. Rem : Soit un intervalle I inclus dans D : Interprétation graphique : La courbe représentative de restreinte à I est au-dessous de la courbe représentative de g restreinte à I. ( mais pas sur IR... ) I Si la onction admet comme majorant sur I, cela signiie que g, avec g :, et par abus de langage, on note sur I. Si sur I ( on dit que est négative sur I ), alors la courbe représentative de restreinte à I est située sous l ae ( O ). De même si 7) OPERATIONS SUR LES FONCTIONS A ) OPERATIONS ALGEBRIQUES Soit et g deu onctions déinies respectivement sur D et Dg, et k un réel non nul. opération notation déinition Deinie pour : onction somme de la onction et du réel k + k ( + k ) ( ) = ( ) + k D onction produit de la onction par le réel k k ( k ) ( ) = k ( ) D onction somme des onctions et g + g ( + g ) ( ) = ( ) + g ( ) D Dg onction produit des onctions et g g ( g ) ( ) = ( ) g ( ) D Dg onction diérence de la onction et de la onction g g ( g ) ( ) = ( ) g ( ) D Dg onction inverse de la onction ( ) ( ) = ( ) D et ( ) onction quotient de la onction par la onction g g ( g ) ( ) = ( ) g ( ) D Dg et g ( )
5 E : On considère les onctions : + déinie sur IR et g : déinie sur IR* + g est la onction déinie sur IR * par ( + g ) ( ) = - + + g est la onction déinie sur IR * par ( g ) ( ) = (- + ) = + 5 est la onction déinie sur IR par ( 5 ) ( ) = 5 ( + ) = 5 + 5 B ) VARIATIONS ( preuves en eercices ) Soit et g deu onctions monotones sur un intervalle I et k un réel non nul. Les onctions et + k ont le même sens de variation sur I. Si k >, les onctions et k ont le même sens de variation sur I. Si k <, les onctions et k ont des sens de variation contraire sur I. Si et g sont strictement croissantes sur I, alors + g est strictement croissante sur I. Si et g sont strictement décroissantes sur I, alors + g est strictement décroissante sur I g = + ( g ) Pour g, il aut ajouter des hypothèses sur les signes de et de g pour obtenir des résultats générau. Pour, nous utiliserons les compositions de onctions. g = g 8 ) COPOSITION DE FONCTIONS A) DEFINITION Soit et g deu onctions. On appelle onction composée de par g, et on si D et ( ) Dg. note g ( lire «g rond»), la onction déinie par : ( g ) ( ) = g ( ( ) ) L écriture ( g ) ( ) = g ( ( ) ) n a de sens que Ainsi dire que Dg revient à dire que D et ( ) Dg. E : On considère les onctions : déinie sur IR et g : déinie sur IR*. g est déinie si, et seulement si, D et ( ) Dg, ssi. Ainsi Dg = IR \ { } et, pour tout Dg : ( g ) ( ) = g ( ) = - g est déinie si, et seulement si, Dg et g ( ) D, ssi. Ainsi D g = IR* et, pour tout D g : ( g ) ( ) = ( ) = En général g g B ) VARIATIONS Soit et g deu onctions, telles que soit strictement monotone sur I D et g soit strictement monotone sur J Dg, avec pour tout I, ( ) J. Si et g ont même sens de variation, alors la onction composée g est strictement croissante sur I. Si l une des onctions est strictement décroissante et l autre strictement croissante, alors la onction composée g est strictement décroissante sur I. Ce théorème est surtout intéressant quand les onctions et g sont strictement monotones sur tout leur ensemble de déinition Le théorème est aussi valable si on enlève strictement Preuve partielle : Supposons que et g soient strictement croissantes respectivement sur I et sur J. Soit u et v deu réels de I, tels que u < v ; est strictement croissante sur I, donc ( u ) < ( v ). D après les hypothèses, ( u ) et ( v ) appartiennet à J. De plus g est strictement croissante sur J, donc : g ( ( u ) ) < g ( ( v ) )
Ainsi g est strictement croissante sur I. Pour les autres cas, la preuve est identique 6 E : Soit la onction h : 3 ² déinie sur IR*. «L epression 3 ² peut se schématiser 3 ² 3 ²» Soit : 3 ² et g : y y Pour tout IR *, on a : h ( ) = ( ) = g ( ( ) ) = ( g ) ( ) De plus D g = Dh Ainsi h = g La onction est strictement décroissante sur ] - ; [, et l image de cet intervalle par est ( ] - ; [ ) = ] ; + [ De plus g est strictement décroissante sur ] ; + [. On en déduit que h = g est strictement croissante sur ] - ; [. La onction est strictement croissante sur ] ; + [, et l image de cet intervalle par est ( ] ; + [ ) = ] ; + [ De plus g est strictement décroissante sur ] ; + [. On en déduit que h = g est strictement décroissante sur ] ; + [. Rem : Voilà une méthode assez simple pour déterminer rapidement les variations de la onction connaissant celles de la onction