Équations Différentielles

Équations Différentielles Pré-requis : Savoir calculer une primitive dans les cas décrits au chapitre précédent. Objectifs : Savoir résoudre une équation différentielle linéaire d ordre 1 homogène. Savoir déterminer une solution particulière d une équations différentielle linéaire d ordre 1. Savoir résoudre une équation différentielle linéaire d ordre 2 homogène à coefficients constants. Savoir déterminer une solution particulière d une équations différentielle linéaire d ordre 2 dans les cas les plus simples (hors variation de la constante) Savoir résoudre une équation différentielle dans le cas général en suivant les indications proposées. En électricité, en mécanique, en biologie, en économie... de nombreux phénomènes continus satisfaisant à une loi d évolution et à une condition initiale sont décrits par une fonction dérivable (éventuellement plusieurs fois dérivable). Ces fonctions sont définies comme solution d une équation où interviennent une ou plusieurs de ses dérivées. De telles équations sont appelées équations différentielles. Exemple 1 Système masse-ressort : x (t) + ω 2 x(t) = 0 où x représente l élongation du ressort. Chute d un parachutiste : v (t) = g av(t) où v représente la vitesse du parachutiste et a un coefficient de frottement dans l air. Circuit RLC : Lq (t) + Rq (t) + q(t) = 0 où q est la charge du condensateur. C Equations de Lotka-Volterra pour un modèle proie-chasseur... Ainsi dans ce chapitre, nous nous intéressons à quelques équations différentielles. Le but est de trouver une fonction x y(x) qui vérifie certaines relations entre la variable x, y, y, y etc. par exemple, trouver une fonction y(x) telle que y (x) = x 2 y(x) + x, équation que nous écrirons y = x 2 y + x. Comme pour le chapitre sur les primitives, nous n abordons pas la théorie (existence, unicité, intervalles de définition) pour de telles équations, qui ne seront abordées qu avec des outils de l analyse développés en seconde année. Pas plus que pour le calcul de primitives, il n existe par ailleurs pas de techniques générales permettant de trouver explicitement les solutions de telles équations. Nous nous contenterons donc de décrire quelques familles d équations différentielles que l on sait résoudre, et nous donnerons les techniques de résolutions associées. 1. Une équation différentielle déjà connue Il a été vu précédemment à l exercice qu il existait une unique fonction f dérivable sur R telle que f = f et f (0) = 1. Cette fonction est la fonction exponentielle. Dans le contexte des équations différentielles, cette propriété s énoncerait alors ainsi : 1

2 L équation différentielle y y = 0 admet une unique solution y définie sur R telle que y(0) = 1. Nous allons à présent présenter d autres équations différentielles que nous savons résoudre. 2. Equation Différentielle Linéaire du Premier Ordre Dans tout ce qui suit, I désigne un intervalle de R. Définition 1 On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre toute équation de la forme a(t)x (t) + b(t)x(t) = c(t) où a, b et c sont des fonctions données, continues sur I, avec a(t) 0 pour tout t I. Cas particulier : Résolution de l équation x (t) + bx(t) = 0 Exemple 2 Résolvons l équation (E) : x (t) + bx(t) = 0 On a (E) x (t) = bx(t) x (t) = b si x(t) 0 Ainsi en intégrant cette égalité il vient : x(t) ln( x(t) ) = bt + c x(t) = exp( bt + c) = Ce bt avec C > 0 On vient donc de démontrer que toute solution x de (E) ne s annulant jamais vérifie x(t) = Ce bt avec C > 0. Réciproquement, on vérifie que toute fonction x ayant pour expression x(t) = Ce bt avec C R est une solution de (E). Ceci nous conduit vers la proposition suivante : Proposition 1. Admise L ensemble des solutions de l équation différentielle x + bx = 0, où b R, est l ensemble des fonctions définies sur R par t Ce bt où C est une constante réelle quelconque. Remarque 1 L équation x (t) + bx(t) = 0 admet donc une infinité de solutions. Exercice 1 1) Résolvez l équation 5x (t) + 3x(t) = 0 2) Trouvez la fonction f telle que 6f (t) + 5f (t) = 0 et telle que f (0) = 9. Cas général sans second membre : Résolution de a(t)x (t) + b(t)x(t) = 0 À présent des coefficients non constants sont affectés à x (t) et à x(t). En réitérant le raisonnement précédent on obtient : a(t)x (t) + b(t)x(t) = 0 a(t)x (t) = b(t)x(t) x (t) x(t) = b(t) si x(t) 0 et si a(t) 0 a(t)

3 Remarque 2 On observe que a(t) 0 x(t) 0. Ainsi en intégrant cette égalité il vient : b(t) ln( x(t) ) = ( x(t) = exp a(t) dt ) b(t) a(t) dt Réciproquement, on vérifie que toute fonction x d expression x(t) = Ce F(t) avec F une primitive de b et C R est a solution de a(t)x (t) + b(t)x(t) = 0. Ceci démontre le théorème suivant : Théorème 1 Soit I un intervalle, et a, b deux fonctions continues sur I avec a ne s annulant pas sur I. L ensemble des solutions de l équation différentielle a(t)x (t) + b(t)x(t) = 0 sur I est l ensemble des fonctions définies par t Ce F(t) où C est une constante réelle quelconque et où F désigne une primitive de b(t) a(t). Exercice 2 1) Résolvez l équation (t + 1)x (t) + x(t) = 0 sur ] 1;+ [. 2) Trouvez la fonction x définie sur R telle que x (t) + t 2 x(t) = 0 et telle que x(1) = 2. 3) Résolvez l équation (t + 1)x (t) + (t 1)x(t) = 0 sur ] 1;+ [. Cas général avec second membre : Résolution de a(t)x (t) + b(t)x(t) = c(t) Soit x 1 et x 2 deux solutions sur un intervalle I de l équation (E) : a(t)x (t) + b(t)x(t) = c(t). On a donc : a(t)x 1 (t) + b(t)x 1(t) = c(t) a(t)x 2 (t) + b(t)x 2(t) = c(t) ainsi en soustrayant membre en membre il vient : a(t)(x 1 (t) x 2 (t)) + b(t)(x 1(t) x 2 (t)) = 0 ainsi, si x 1 est une solution de (E) chaque solution de (E) diffère de x 1 d une fonction x solution de (Ẽ) : a(t)x (t) + b(t)x(t) = 0. Définition 2 On considère l équation (E) : a(t)x (t) + b(t)x(t) = c(t). On note (Ẽ) l équation homogène a(t)x (t) + b(t)x(t) = 0 associée à (E). On appelle solution particulière toute solution x de (E). Les remarques précédentes nous permettent d établir la méthode de résolution suivante : Proposition 2 Les solutions de l équation différentielle (E) : a(t)x (t)+b(t)x(t) = c(t) sont obtenues en ajoutant une solution particulière de (E) à la solution générale de l équation (Ẽ).

4 Remarque 3 Pour résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre il nous reste donc à savoir en trouver une solution particulière. Recherche d une solution particulière de (E) Dans un premier temps, pour trouver une solution particulière de (E) on peut utiliser notre intuition. Par exemple, dans le cas où a(t), b(t) et c(t) sont des polynômes on peut commencer à chercher x(t) sous la forme d un polynôme... Exercice 3 Soit (E 1 ) l équation différentielle : 2x (t) + 3x(t) = 6t 2 7t 7. 1) Résolvez l équation différentielle homogène asociée à (E 1 ). 2) Déterminez trois constantes a, b et c telle que la fonction g définie sur R par g(t) = at 2 +bt+ c soit solution de (E 1 ) 3) Déduisez des questions précédentes l ensemble des solutions de (E 1 ) 4) Déterminez la solution f de (E 1 ) qui vérifie la condition initiale f (0) = 0. Exercice 4 Résolvons l équation (E 2 ) : y (t) 2y(t) = 2t 2 2t a) Résolvez l équation homogène (Ẽ 2 ) associée à (E 2 ). b) Trouvez une solution particulière à (E 2 ). c) Quel est l ensemble des solutions de (E 2 )? d) Déterminez la solution particulière u de (E 2 ) vérifiant la condition initiale u(0) = 0. Il arrive bien entendu que notre intuition ne soit pas suffisante pour trouver une solution particulière. Dans ce cas on utilise la méthode de la variation de la constante que l on va découvrir à travers quelques exemples. Méthode de la variation de la constante Soit l équation différentielle (E) : tx (t) + x(t) = e t Résolvons dans un premier temps l équation différentielle homogène associée à (E) : L équation (Ẽ) est x (t) + 1 x(t) = 0 d où t soit x(t) = K t. x(t) = K e 1 x dx Cherchons à présent une solution particulière de (E). L idée de la méthode de la variation de la constante est de chercher x(t) sous la forme x(t) = K(t). K désigne à présent non pas une constante mais une fonction de t. t Injectons x(t) dans (E) et observons ce qui se passe... t tk (t) K(t) t 2 + K(t) = e t t K (t) K(t) + K(t) t t K (t) = e t = K (t) Donc si K(t) = e t alors K(t) est une solution particulière de (E). Ainsi l ensemble des solutions de (E) est t l ensemble des fonctions définies sur ]0; + [ par x(t) = et t + K e t

5 où K est une constante réelle quelconque. Résolvons l équation (E 1 ) : 2y (t) + y(t) = ( 9t + 9)e 2t a) Résolvez l équation homogène (Ẽ 1 ) associée à (E 1 ). b) En suivant la méthode de la variation de la constante, trouvez une solution particulière à (E 1 ) de la forme y(t) = K(t)e 2t. c) Quel est l ensemble des solutions de (E 1 )? d) Déterminez la solution particulière g de (E 1 ) vérifiant la condition initiale g(0) = 0. Résolvons l équation (E 2 ) : 4x (t) + x(t) = 3e x 2 1 a) Résolvez l équation homogène (Ẽ 2 ) associée à (E 2 ). b) En suivant la méthode de la variation de la constante, trouvez une solution particulière à (E 2 ) de la forme u(t) = Ae t 2 + B où A et B sont deux constantes. c) Quel est l ensemble des solutions de (E 2 )? d) Déterminez la solution particulière g de (E 2 ) vérifiant la condition initiale g(0) = 0. 3. Équations Différentielles Linéaires d Ordre 2 à Coefficients Constants Définition 3 On appelle équation différentielle du premier ordre toute équation de la forme ax (t) + bx (t) + cx(t) = d(t) où a, b, c R et d est une fonction continue sur I. On s intéresse dans ce paragraphe à la résolution de l équation différentielle (E) : ax (t) + bx (t) + cx(t) = d(t) (E) Comme pour les équations différentielles du premier ordre : Proposition 3 La solution générale de (E) s obtient en ajoutant une solution particulière de (E) à la solution générale de l équation homogène (Ẽ) associée à (E). Nous allons donc voir comment résoudre l équation homogène (Ẽ) puis dans un second temps, nous verrons comment trouver une solution particulière de (E). Résolution de l équation homogène On s intéresse dans ce paragraphe à la résolution de l équation différentielle homogène (Ẽ) : ax (t) + bx (t) + cx(t) = 0 (Ẽ) Définition 4 L équation ar 2 + br + c = 0 est appelée équation caractéristique de l équation différentielle (Ẽ) : ax (t) + bx (t) + cx(t) = 0. Exercice 5 Donnez les équations caractéristiques des équations différentielles suivantes : x 4x + 3x = 0

6 x + 4x = 4x x = 2x 5x Cas où > 0 Exercice 6 Si > 0 alors l équation caractéristique associée à (E) a deux solutions réelles distinctes r 1 et r 2. Vérifiez alors que les fonctions t e r 1t et t e r 2t sont deux solutions de l équation différentielles (Ẽ). Remarque 4 On constate que ces solutions sont "vraiment différentes" dans le sens où aucune d elles n est produit de l autre par une constante. On dit que l on a obtenu deux solutions linéairement indépendantes. Cas où = 0 Exercice 7 Si = 0 alors l équation caractéristique associée à (Ẽ) a une solution réelle double r. Vérifiez alors que les fonctions t e rt et t te rt sont deux solutions de l équation différentielles (Ẽ). Remarque 5 Encore, une fois, on constate que ces deux solutions sont linéairement indépendantes. Cas où < 0 Si > 0 alors l équation caractéristique associée à (Ẽ) a deux solutions complexes conjuguées r 1 = α + iβ et r 2 = α iβ. Vérifiez alors que les fonctions t e αt cos(βt) et t e αt sin(βt) sont deux solutions de l équation différentielles (Ẽ). Remarque 6 Encore, une fois, on constate que ces deux solutions sont linéairement indépendantes. Théorème 2. Admis a, b, c étant des constantes réelles données avec a 0, l ensemble des solutions de l équation différentielle (Ẽ) : ax + bx + cx = 0 est l ensemble des fonctions définies sur I par : f (t) = C 1 x 1 (t) + C 2 x 2 (t) où C 1 et C 2 sont des constantes réelles quelconques. Les fonctions x 1 et x 2 sont définies à partir des solutions réelles ou complexes de l équation caractéristique ar 2 + br + c = 0 : a - Si > 0, x 1 (t) = e r1t et x 2 (t) = e r2t où r 1 et r 2 sont les solutions réelles de l équation caractéristique. b - Si = 0, x 1 (t) = e rt et x 2 (t) = te rt où r = b est l unique solution réelles de l équation caractéristique. 2a c - Si < 0, x 1 (t) = e αt cos(βt) et x 2 (t) = e αt sin(βt) où α + iβ est une solution complexe de l équation caractéristique.

7 Exercice 8 Résolvez les équations différentielles suivantes : x 4x + 3x = 0 x 4x + 4x = 0 x 2x + 5x = 0 Exemples de recherche d une solution particulière. Pour résoudre l équation ax (t)+ bx (t)+ cx(t) = d(t), il reste seulement à trouver une solution particulière. Voyons comment ceci fonctionne... Exercice 9 Le but de l exercice est de résoudre l équation différentielle (E 1 ) 2x 5x + 3x = 3t 2 + 2t sur R. a) Résolvez l équation homogène associée à (E 1 ). b) Cherchez une solution particulière de (E 1 ) sous la forme g(t) = at 2 + bt + c c) Donnez la solution générale de (E 1 ). Exercice 10 Le but de l exercice est de résoudre l équation différentielle (E 2 ) 9x + 6x + x = 3te t sur R. a) Résolvez l équation homogène associée à (E 2 ). b) Cherchez une solution particulière de (E 2 ) sous la forme h(t) = (at + b)e t c) Donnez la solution générale de (E 2 ). Exercice 11 Le but de l exercice est de résoudre l équation différentielle (E 3 ) x + 7x + 4x = 5cos(t) sur R. a) Résolvez l équation homogène associée à (E 3 ). b) Cherchez une solution particulière de (E 3 ) sous la forme k(t) = Acos(t) + Bsin(t) c) Donnez la solution générale de (E 3 ). Remarque 7 Il existe une méthode plus générale pour trouver une solution particulière à une équation différentielle d ordre 2. C est la méthode de variations des constantes. Nous ne la détaillerons pas dans ce cours... 4. D autres types d équations différentielles. Nous présentons dans cette section quelques astuces qui permettent parfois de ramener des équations différentielles compliquées à des équations différentielles plus simples. Équations à variables séparables Nous avons déjà vu que la fonction y = arctan(x) satisfait l équation y = 1+ y 2, que la fonction y = arcsin(x) satisfait l équation y = 1 y 2. Ce type d équation se résout en séparant les variables.

8 Proposition 4 Supposons que l équation différentielle se ramène à une équation de la forme f (y)y = g(x), avec y(x 0 ) = y 0, où f et g sont continues. Soit F une primitive de f qui s annule en y 0, et G une primitive de g qui s annule en x 0. Supposons de plus que f ne s annule pas sur [y 1, y 2 ], intervalle contenant y 0. Alors, F admet dans cet intervalle une fonction réciproque F 1, et y = F 1 (G(x)) est une solution (en fait la seule) définie dans un intervalle [x 1, x 2 ] qui contient x 0. Démonstration Nous ne donnons qu une indication : si y(x) est une solution de l équation différentielle, et si l on considère la fonction y 1 (x) = F(y(x))), alors elle satisfait y 1 = f (x), avec y 1(x 0 ) = 0. On a donc y 1 (x) = G(x), et il ne reste plus qu à inverser. Exemple 3 Reprenons l équation y = 1 + y 2, avec y(0) = y 0. Alors, nous pouvons l écrire y 1 = arctan(y(x)) y 1 = 1. y = 1, d où encore, avec 1 + y2 Nous savons que y 1 (0) = arctan(y 0 ). On en déduit arctan(y) = x + arctan(y 0 ), d où y = tan(x + arctan(y 0 )). Remarquons alors que y n est définie que pour x ]arctan(y 0 ) π/2,arctan(y 0 ) + π/2[. Lorsque x se rapproche de ces deux bornes, la fonction y(x) solution converge vers l infini (on dit que la solution "explose" en ces valeurs). Changements de variables Il est souvent commode dans une équation différentielle de changer x en h(t) ou bien y en f (y 1 ), ou bien les deux. Ainsi, l équation différentielle x 2 y + xy = f (x) se ramène à une équation linéaire à coefficients constants. Dans cette équation, nous posons x = e t, et au lieu de la fonction y(x), nous cherchons une équation différentielle portant sur la nouvelle fonction y 1 (t) = y(x(t)). On a, en utilisant les notations différentielles d dt (y 1) = dx d y dt dx = xy, et de même ( ) d 2 (y 1 ) = x 2 y" + xy, de sorte que l équation se ramène à dt y 1 = f (et )). Il n y a pas de règle générale permettant de trouver un changement de variables qui simplifie l équation. Cependant, dans les équations linéaires du second ordre a(x)y + b(x)y + c(x)y = f (x), lorsque a(x) > 0, on peut toujours chercher une primitive de F(x) de 1/ a(x), et poser t = F(x), puis inverser. Dans la nouvelle variable t, l équation s écrit y 1 + b 1(t)y + c 1 (t)y = f 1 (t), qui peut être plus facile à résoudre que la précédente. Pour les changements de variables en y, il n y a pas non plus de règles générales. Mais regardons par exemple à nouveau l équation différentielle linéaire homogène. y + a(x)y + b(x)y = 0. Nous pouvons chercher les solutions positives et poser y = e y 1. Dans ce cas, y = y 1 y et y = (y 1 + y 1 2 )y, et l équation, après simplification par y, devient y 1 + y 1 2 + a(x)y 1 + b(x) = 0, c est à dire une équation différentielle du premier ordre (mais non linéaire) en y 1.

9 Équations différentielles du second ordre où la variable n apparaît pas. Pour des équations différentielles du second ordre non linéaires où la variable n apparaît pas, par exemple ou bien y = y 2 + y, y = e y + y, la méthode générale consiste à poser y = H(y), si bien que y = HH (y). Nous sommes ramenés alors à une équation différentielle du premier ordre (non linéaire) sur la fonction H, où cette fois ci la variable devient y. Par exemple, pour la première (y = y 2 + y), on est ramenés à qui en posant H 2 = G devient HH = H 2 + x, G = 2G + 2x, que nous savons résoudre. Une fois trouvée la fonction H, il faut encore résoudre l équation y = H(y), qui est une équation à variables séparables. De même, l équation y = e y + y de ramène par cette technique à HH = H + e x, qui elle par contre ne se résout pas aisément. 5. Exercices Exercice 12 1. Résoudre l équation homogène y + y = 0 (H). et donner toutes les solutions à valeurs réelles de (H). 2. Trouver une solution particulière de l équation y + y = (x 2 + 1)e x (E 1 ). (a) Donner toutes les solutions à valeurs réelles de (E 1 ). (b) Déterminer la solution de (E 1 ) qui vérifie la condition initiale y(0) = 0. On considère l équation différentielle y + y = xe x (E 2 ). (a) Résoudre dans R l équation différentielle (E 2 ). (b) Déterminer la solution f de (E 2 ) qui vérifie la condition initiale f (0) = 1. (c) Quelle est la limite de f en + et en? Exercice 13 Résoudre dans R les équations différentielles : 1. 2. 3. 2y + y = 0, 2y + y = x 2 e x, 2y + y = x e x,

10 4. 2y + y = xe x cos x. Exercice 14 1. Résoudre l équation différentielle sur ]0; + [. y = y x, x > 0. 2. Résoudre sur R l équation différentielle y + (cos x)y = 2cos x. 3. Trouver la solution de l équation différentielle ( 1 x 2 )y + y = ( 1 x 2 )e x + e x, x ] 1,1[ qui vérifie la condition y(0) = 1 + π. 4. Résoudre l équation différentielle xln(x)y + y = x sur ]1;+ [. Exercice 15 1. Résoudre l équation différentielle (1 x 2 )y 2xy = x 2 sur chacun des intervalles I suivants : I = ]1;+ [, I =] 1;1[ et I =] ; 1[. 2. Est-il possible d obtenir une solution définie sur R? Exercice 16 Résoudre dans R l équation différentielle y y = cosh(x). Exercice 17 On considère la fonction définie par f (t) = sinh(t 3 ). 1. Montrer que f est deux fois dérivable sur R, et que f est solution de l équation différentielle (E) : y y + y = 3t(2 t)cosh t 3 + (9t 4 + 1)sinh t 3. 2. Résoudre l équation homogène : y y + y = 0. 3. Déduire des questions précédentes, toutes les solutions à valeurs réelles de (E). 4. Déterminer la solution vérifiant les conditions initiales y(0) = 0 et y (0) = 1. Exercice 18 On considère l équation différentielle 1. Résoudre l équation homogène y = 2x (1 + x 2 ) 2. (E) y = 0 (H) et donner toutes les solutions valeurs réelles de (H). 2. Trouver une solution particulière de l équation (E). 3. Donner toutes les solutions à valeurs réelles de l équation (E).

11 4. Déterminer la solution g de l équation différentielle (E) telle que g(0) = 0 et g (0) = 0. 5. Déterminer les limites de g en + et. 6. Montrer que g est une bijection de R sur R. Exercice 19 On cherche à résoudre sur ]0, [ l équation suivante y y x = 9x2. (E) 1. Cherchez a > 0 tel que y(x) = ax soit une solution y 0 de l équation. 2. En posant y = y 0 (x) 1 z(x), montrez que l équation se ramène à 3. Résoudre l équation (E 1 ) 4. Donner toutes les solutions de l équation (E). z + (6x + 1 x )z = 1 (E 1) Exercice 20 On cherche à résoudre l équation différentielle x 2 f + 3xf + 4f = xln x (E). 1. Chercher un changement de variables x = h(t) tel que l équation (E) se ramène à l équation différentielle linéaire à coefficients constants y"" + 2y + 4y = te t (E 1 ) 2. Résoudre (E 1 ). 3. En déduire les solutions de (E). Exercice 21 En posant t = arctan(x), résoudre l équation différentielle y + 2x y 1 + x 2 y + (1 + x 2 ) 2 = 0. Exercice 22 Trouver une solution de l équation 2y + y 2 = e y.