1 / Foctio Epotill Trmial S Chapitr 3 Foctio Epotill. I. Défiitio d la foctio potill. 1. Equatio liat u foctio t sa dérivé. Défiitio 1 : O appll équatio différtill u équatio liat u foctio t sa (ou ss) dérivé(s). Résoudr u équatio différtill, c st détrmir touts ls foctios solutios d ctt équatio. Empl : O dit qu f, foctio dérivabl sur u itrvall I, st solutio d l équatio différtill y = k y lorsqu pour tout I, f () = k f(). Lorsqu l o chrch u solutio vérifiat la coditio y(0) = a (où a st fié), o dit qu l o résout l équatio différtill avc u «coditio iitial», ou qu l o résout u problèm d Cauchy. 2. Solutio du problèm d Cauchy : y = y t y(0) = 1. Théorèm 1 : Il ist u t u sul foctio f dérivabl sur R tll qu f = f t f(0) = 1. Ctt foctio s appll foctio potill. O ot f() = p().
2 / Foctio Epotill Trmial S L istc st admis. Uicité : Motros qu u solutio f du problèm d Cauchy s aul pas sur R, t pour cla motros qu pour tout rél : f() f(-) = 1. Soit P() = f() f(-), P st u foctio dérivabl sur R car f l st, t pour tout rél : P () = f () f(-) f() f (-) = f() f(-) f() f(-) = 0. Car f st solutio d l équatio différtill y = y P st doc u foctio costat, t pour tout rél : P() = P(0) = 1. Cqfd. S il istait u rél a tl qu f(a) = 0, o aurait f(a) f(-a) = 0 c qui st impossibl, doc f s aul pas sur R. Soit f t g ds solutios du problèm d Cauchy. f s aulat pas sur R, o pos : u = g f. u st dérivabl sur R car f t g sot dérivabls sur R, t pour tout rél : f()g'() f'()g() f()g() f()g() u'() = = = 0 ( f())2 ( f())2 Car f t g sot solutios d l équatio différtill y = y u st doc u foctio costat, t pour tout rél, u() = u(0) = 1, doc f() = g(). 3. Solutio d l équatio différtill y = ky. Théorèm 2 : Etat doé u rél k, ls solutios d l équatio différtill y = ky sot ls foctios défiis sur R par : Cp(k), où C st u rél qulcoqu. Pour tout rél k, la foctio fk défii sur R par fk() = p(k) st dérivabl sur R comm composé d foctios dérivabls t pour tout rél : fk () = k p(k) = k fk(). Ell st doc solutio d l équatio différtill. O a vu das la démostratio du théorèm 1 qu pour tout rél o a fk() 0.
3 / Foctio Epotill Trmial S g O ot g u solutio d l équatio différtill, t o pos u =. f u st dérivabl sur R comm quotit d foctios dérivabls, t pour tout rél : f ()g'() f '()g() f ()kg() kf ()g() k k k k u () = = = 0. ( f ())2 ( f ())2 k k car g t fk sot solutios d l équatio différtill y = ky u st doc u foctio costat, t pour tout rél, u() = u(0) =g(0), doc pour tout rél : k g() = g(0) fk(). Théorèm 3 : Pour tous ls réls a t k, il ist u uiqu foctio f défii t dérivabl sur R solutio du problèm d Cauchy y' = ky. C st la foctio a p(k). y(0) = a La coditio iitial fi la costat C das l théorèm précédt. 4. Solutios d l équatio différtill y = ky + b Théorèm 4 : Etat doés du réls k t b, k o ul, ls solutios d l équatio différtill y = ky + b sot ls foctios défiis sur R par : C p(k) b k, où C st u rél qulcoqu. Qul qu soit l rél C, la foctio C p(k) b st bi solutio d l équatio différtill k y = ky + b. Soit f u solutio d l équatio différtill y = ky + b t soit g défii sur R par :
4 / Foctio Epotill Trmial S g() = f() + b k. g st dérivabl sur R comm somm d foctios dérivabls, t pour tout rél : b g () = f () = kf() + b = k g() k + b = kg(). car f st solutio d l équatio différtill y = ky + b Aisi g st solutio d l équatio différtill y = ky, doc d après l théorèm 2, il ist u rél C tl qu pour tout rél : g() = C p(k). O coclut qu pour tout rél : f() = C p(k) b k. Ercics : 53, 58, 59, 63 t 64 p 114-115 / Approfod t 86, 87 t 88 corrctio d l éocé (h = -f 1 + g) p 117 Ercics (dérivatio, ss d variatio) : 14, 15 t 16 p 113. Dm : 97, 98 t 99 p 119. II. Propriétés d la foctio potill. 1. Caractérisatio foctioll. Théorèm 5 : Ls foctios f o ulls défiis t dérivabls sur R tlls qu pour tous ls réls t y : f( + y) = f() f(y) sot ls foctios p(k), où k st u rél qulcoqu. Soit k u rél, o ot fk la foctio défii sur R par fk() = p(k). Soit a R. O défiit la foctio ψa sur R par : ψa() = fk( + a) fk(-). ψa st dérivabl car fk l st t pour tout rél : ψa () = f k( + a) fk(-) fk( + a) fk (-) = 0. car pour tout rél fk () = kfk() ψa st doc u foctio costat, t pour tout rél : ψa() = ψa(0) = fk(a).
5 / Foctio Epotill Trmial S O coclut qu pour tous ls réls t a fk( + a) fk(-) = fk(a), doc fk( + a) fk(-) fk()= fk(a) fk() O a motré das la démostratio du théorèm 1 qu pour tout rél : p() p(-) = 1, o déduit qu doc: fk( + a) = fk(a) fk(). Soit f u foctio o ull, dérivabl sur R tll qu pour tous ls réls t y : f( + y) = f() f(y) (*). Rmarquos qu f s aul pas, sio il ist u rél c tl qu f(c) = 0, t pour tout rél : f() = f(( c) + c) = f( c) f(c) = 0, c qui st impossibl car f st pas la foctio ull. E prat = y = 0 das (*), o a : f(0) = f(0) 2, or f s aul pas 0 doc f(0) = 1. Soit a R. O défiit sur R la foctio ϕa tll qu pour tout rél : ϕa() = f( + a) f() f(a). ϕa st dérivabl sur R car f l st t pour tout rél : ϕa () = f ( + a) f () f(a). Or ϕa() = 0 pour tout rél, doc ϕa () = 0, pour tout rél. E prat = 0 das l prssio d ϕa (), o obtit : f '(a) = f (0) f(a). Aisi, f st solutio d l équatio différtill y = ky, où k = f (0). Comm f(0) = 1, o déduit du théorèm 3 qu pour tout rél : f() = p(k). 2. Règls d calcul. Propriétés : Pour tous ls réls t y, t tous ls tirs rlatifs p o a: 1. p() 0 ; 2. p(-) = 1 p() ; 3. p( + y) = p() p(y); 4. p( y) = p() p(y) ; 5. p(p) = (p()) p.
6 / Foctio Epotill Trmial S t 2. décoult d la propriété : pour tout rél, p() p(-) = 1, prouvé das la démostratio du théorèm 1. 3. découl du théorèm 5. 4. Pour tous réls t y : p( y) = p() p(-y) = p() p(y) d après ls propriétés 2. t 3. 5. Soit u rél. Motros par récurrc qu la propriété P() : «p() = (p())» st vrai pour tout tir aturl. Iitialisatio : p(0) = 1 = (p()) 0. P(0) st vrai. Hérédité : Soit N. O suppos qu P() st vrai ; motros qu P(+1) st vrai. Par hypothès d récurrc p() = (p()) doc utilisat la propriété 3. o a : p((+1)) = p() p() = (p()) +1. Cqfd. Coclusio : La propriété P() st vrai pour = 0, ll st héréditair, ll st doc vrai pour tout tir aturl. Soit p u tir rlatif égatif. O ot p = -. D après l étud précédt, pour tout rél o a: p(p) = p(-) = 1 1 p = = (p()) = (p()). p() (p()) 3. Nouvll otatio Pour tout tir rlatif : p() = p( 1) = (p(1)). O ot = p(1). Alors, pour tout tir rlatif, p() =. Par covtio, pour tout rél o ot p() =. Avc ctt otatio ls règls d calcul d la foctio potill s traduist comm ls règls d calcul sur ls posats : 0 = 1 1 = - y = +y y = y ( ) = Ercics : 2, 3, 5 t 7 p 113
7 / Foctio Epotill Trmial S III. Etud d la foctio potill. 1. Variatios t coséqucs. Propriété 6 : La foctio p st strictmt positiv t strictmt croissat sur R. La foctio potill st cotiu, car dérivabl par costructio, t s aul pas. D après l théorèm ds valurs itrmédiairs ll st doc d sig costat. Comm 0 = 1, pour tout rél : > 0. Pour tout rél, p () = p() > 0. La foctio p st doc strictmt croissat sur R. Coséqucs : Pour tous ls réls a t b o a: a = b a = b t a < b a < b. E particulir, pour tout rél o a: < 0 0 < < 1 ; = 0 = 1 ; > 0 > 1. 2. Approimatio affi au voisiag d 0. O a : p (0) = p(0) = 1. O déduit qu 1 lim = 1 0 La foctio 1+ st la millur approimatio affi d la foctio potill 0. L dévloppmt limité à l ordr 1 d la foctio potill 0 do, pour voisi d 0 : 1+
8 / Foctio Epotill Trmial S 3. Limits. Théorèm 6 : O a : lim + = + t lim = 0 La foctio potill st croissat, doc pour tout rél t tout tir, si >, alors p() >, or ( ) N st u suit géométriqu d raiso > 1 doc ll td vrs l ifii. E appliquat l théorèm d comparaiso o déduit : lim 1 = t lim = lim = + doc + + = +. lim 0 =. Coséquc : La droit d équatio y = 0 st asymptot - à la courb rpréstativ d la foctio potill. Théorèm 7 : Pour tout tir aturl o ul, o a : lim + = + t lim = 0 2 Soit f la foctio défii sur [0 ; + [ par f() =. 2 f st dérivabl comm somm d foctios dérivabls, t pour tout rél positif : f () =. f st dérivabl comm somm d foctios dérivabls t pour tout rél positif : f () = 1. O a : f () 0 si t sulmt si 1 c qui équivaut à 0. O déduit qu f st croissat sur [0 ; + [, doc qu pour tout rél : f () f (0) > 0, t par suit qu la foctio f st croissat sur [0 ; + [.
9 / Foctio Epotill Trmial S 2 Aisi pour tout rél positif : f(0) 0, doc pour tout rél strictmt positif : 2 2. Comm lim = +, l théorèm d comparaiso do : + 2 lim = +. + Soit u tir aturl. Pour tout rél, o a : X lim = lim = + (E posat X = ), doc X + X + 1 =. état fié, lim = + t par suit + lim + = +. X X lim = lim ( X ) = lim ( 1) = 0 (d après l résultat précédt). E posat X = -. X + X + X Ercics : 9, 10, 11, 18, 18, 20, 21, 23, 24 p 113 4. Foctio réciproqu. La foctio potill st cotiu, strictmt croissat d R sur ]0 ; + [. D après l théorèm ds valurs itrmédiairs, pour tout rél t > 0, l équatio = t admt u t u sul solutio das R. Défiitio 3 : Ctt solutio s appll logarithm épéri d t. O la ot l(t). Propriété 7 : Il découl d la défiitio l équivalc suivat : p(a) = b équivaut à b > 0 t a = l(b). Ercics : 34, 36, 39, 45, 47, 48 t 50 p 114/115.
10 / Foctio Epotill Trmial S 5. Foctio u. Propriété 8 : Soit u u foctio dérivabl sur u itrvall I. ( u ) = u u sur I. C résultat découl la dérivabilité d la foctio potill t d la formul d dérivatio d u foctio composé. Rmarqu : u t u ot ls mêms variatios sur I. Ercics : 26, 29, 30 t 31 p 114. Dm sur l chapitr : L 15 ovmbr : 80 t 97 p 116 t 119. L 22 ovmbr : 92 t 99 p 118 t 119. L 29 ovmbr : 110 p 122. L 6 décmbr : 113 p 123.