Mathématiqus RESOLUTION DE PROBLEMES TD N - CORRIGE Exri 1 1) Soit N l nomr 'élèvs la lass. Pour haun s trois xris, ls ritèrs «just», «aux» t «pas ait» réalisnt un partag la lass n trois groups. N st égal à la somm s tis haun s groups. Si l'on s réèr par xmpl à l'xri 1, on otint : N = 1 + 13 + 5 = 30. Il y a on 30 élèvs ans la lass. ) Soit A l nomr 'élèvs n'ayant ait auun xri. Cs élèvs n'ont pas ait l'xri 3, on A st inériur ou égal à, où : 0 A 3) Soit B l nomr 'élèvs qui ont ait au moins un xri just. Ls élèvs qui ont ait l'xri 3 just ont ait au moins un xri just, on B st supériur ou égal à 1, où : 1 B 30 4) Soit C l nomr 'élèvs ayant ait ls 3 xris justs. Ls élèvs qui ont ait ls 3 xris justs ont ait l'xri 1 just, on C st inériur ou égal à 1, où : 0 C 1 Exri 1) Dans t xri, ls hirs utilisés sont s hirs imprimés. Par xmpl 3 hirs sont imprimés pour numérotr la pag «111». Pags 1 à 9 : 9 hirs imprimés. Pags 10 à 99 : 90 nomrs ux hirs (99-10 + 1 = 90), soit 180 hirs imprimés. Pags 100 à 350 : 51 nomrs trois hirs (350-100 + 1 = 51), soit 753 hirs imprimés. Pour numérotr un livr 350 pags, il aut imprimr 94 hirs (9 + 180 + 753). ) Si l'on imagin la suit s nomrs 1 à 350 érits n olonn : ans la olonn s unités il y a 35 ois la séqun hirs «134567890», on au nivau s unités tous ls hirs sont utilisés un mêm nomr ois, soit 35 ois. ans la olonn s izains, la séqun «1111111111... 99999999990000000000» st répété 3 ois ( 10 t 309). Résolution prolèms TD n - Corrigé 1 / 5 Sup Cours - Etalissmnt 'nsignmnt privé RNE 0333 119 L - 73, ru Marsill - 33000 Boraux
Mathématiqus Ell st suivi la séqun «1111111111 3333333333 4444444444 5» ( 310 à 350). Ls hirs 1 à 4 sont on utilisés 40 ois, ls hirs 6 à 9, ainsi qu l hir 0 sont utilisés 30 ois. L hir 5 st utilisé 31 ois. ans la olonn s ntains il y a 100 ois l hir «1» ( 100 à 199), puis 100 ois l hir ( 00 à 99) t 51 ois l hir «3» ( 300 à 350). On a on : 0 1 3 4 5 6 7 8 9 unités 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 izains 30 40 40 40 40 31 30 30 30 30 ntains 0 100 100 51 0 0 0 0 0 0 total 65 175 175 16 75 66 65 65 65 65 Ls ux hirs ls plus utilisés sont ls hirs «1» t (175 ois). Ls inq hirs ls moins utilisés sont ls hirs «0», «6», «7», «8» t «9» (65 ois). Exri 3 L nomr pags st inériur à 1 000 sinon il y aurait plus 1 000 hirs imprimés. Ls pags 1 à 9 utilisnt 9 hirs. Ls pags 10 à 99 utilisnt 90 nomrs ux hirs (99-10 + 1 = 90), soit 180 hirs imprimés. Ls autrs pags utilisnt 663 hirs (85-189). Cs pags ont s numéros 3 hirs. L nomr s autrs pags st on 1 (663 : 3). La prmièr s pags st la pag 100, la rnièr st la pag 30 (30-100 + 1 = 1). L livr possè on 30 pags. Exri 4 1) On put imaginr la situation la açon suivant : ls 10 prsonns sont alignés, la prmièr prsonn sort u rang, srr la main s 9 prsonns rstants puis quitt la piè ; la uxièm prsonn sort u rang, srr la main s 8 prsonns rstants puis quitt la piè ; la troisièm prsonn sort u rang, srr la main 7 prsonns rstants puis quitt la piè... la nuvièm prsonn srr la main la ixièm prsonn t touts ls ux quittnt la piè. L nomr poignés mains st égal à 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + + 1, soit 45 poignés mains. Résolution prolèms TD n - Corrigé / 5 Sup Cours - Etalissmnt 'nsignmnt privé RNE 0333 119 L - 73, ru Marsill - 33000 Boraux
Mathématiqus ) Il y a ux méthos possils résolution. Prmièr métho C raisonnmnt s généralis à n prsonns. La prmièr prsonn srr n - 1 mains, la uxièm n -... L'avant-rnièr prsonn srr la main la rnièr t touts ls ux quittnt la piè. Soit S l nomr poignés main : S = (n 1) + (n ) + + + 1 La ormul la somm s prmirs ntirs jusqu'à n st onnu : 1 + + + n = n (n + 1) mais l'appliqur au as où la somm s'arrêt n - 1 man un onn maîtris u manimnt s ériturs mathématiqus. Il st prééral savoir alulr irtmnt typ somm. Il suit pour la alulr S n érivant S ans l'orr roissant ss trms puis ans l'orr éroissant : S = 1 + + 3 + + (n ) + (n 1) S = (n-1) + (n-) + (n-3) + + + 1 S = n + n + n + + n + n La somm s trms haqu olonn vaut n t il y a (n - 1) olonns. Par onséqunt : S = (n 1) x n où S = ( n 1)n L nomr poignés main st égal à ( n 1)n. Duxièm métho En aisant l ilan s poignés mains éhangés, on s'aprçoit qu haqu prsonn a srré ls mains touts ls autrs prsonns. Chaqu prsonn srrra on (n - 1) mains. Comm il y a n prsonns, on n éuit qu'il y aura n (n - 1) poignés mains. Mais av tt hypothès, il aut rmarqur qu haqu poigné mains sra ompté ux ois. En t, un poigné mains sra omptailisé 'un prsonn A vrs un prsonn B t la prsonn B vrs la prsonn A. n(n 1) On put éuir qu l nomr poignés mains st. Résolution prolèms TD n - Corrigé 3 / 5 Sup Cours - Etalissmnt 'nsignmnt privé RNE 0333 119 L - 73, ru Marsill - 33000 Boraux
Mathématiqus Exri 5 1) Un aratèr Braill ux points st ntièrmnt éini par la onné ux élémnts hoisis ans l'nsml s six nœus la grill, E = {a,,,,, }. a Il suit rhrhr systématiqumnt touts ls pairs nœus. L nœu a put ormr un pair av ls nœus,,, ou. L nœu put ormr un pair av ls nœus,, ou puisqu la pair {a, } a éjà été pris n ompt... On put rprésntr touts ls pairs possils la açon suivant : a Il y a on 5 + 4 + 3 + + 1, soit 15 aratèrs Braill ux points. ) Chaqu aratèr ux points put êtr assoié à un aratèr omplémntair quatr points. Par xmpl : {a, } {,,, } Résolution prolèms TD n - Corrigé 4 / 5 Sup Cours - Etalissmnt 'nsignmnt privé RNE 0333 119 L - 73, ru Marsill - 33000 Boraux
Mathématiqus Invrsmnt, haqu aratèr quatr points put êtr assoié à un aratèr omplémntair ux points. Cla prmt omprnr qu'il y a autant aratèrs quatr points qu aratèrs ux points, soit 15 aratèrs quatr points. Exri 6 Pro a un sœur on il n'st pas ils uniqu t il n'anim pas l'atlir marionntts. Clui qui anim l'atlir potri étant marié av la sœur Pro, n'st ni Pro, ni Yann (Yann n'st pas marié). Marionntts Potri Photo Ahm non oui non Yann oui non non Pro non non oui C talau s omplèt alors ailmnt n onsiérant qu haqu monitur anim un sul atlir t qu haqu atlir st animé par un sul monitur. Ahm anim l'atlir potri, Yann anim l'atlir marionntts t Pro anim l'atlir photo. Résolution prolèms TD n - Corrigé 5 / 5 Sup Cours - Etalissmnt 'nsignmnt privé RNE 0333 119 L - 73, ru Marsill - 33000 Boraux