TS Cotrôle du vedredi octobre 07 ( h 0) Préom et om : Note : / 0 I (4 poits) O cosidère l suite u déiie sur pr so premier terme u et pr l reltio de récurrece u u pour tout etier turel Démotrer pr récurrece que pour tout etier turel O pporter u très grd soi à l rédctio et à l présettio, o : u! II (4 poits : ) poits ; ) poits) À tout réel strictemet positi o ssocie l octio : déiie sur 0 ; ; ) Clculer pour 0 O doer le résultt sous l orme d u seul quotiet vec umérteur développé réduit (ire le trit de rctio à l règle e veillt à ce qu il soit bie cetré pr rpport u sige ) (u seul résultt, ) ) Détermier le ses de vritio de sur les itervlles Former le tbleu de vritios de 0 ; et ;
III ( poits) Démotrer que l octio F : 4 est ue primitive de l octio : ; Fire le clcul directemet ss phrse itroductive ; rédiger ue phrse de coclusio O pourr se coteter des grdes étpes de clcul O er très ttetio à l rédctio et u ottios sur l itervlle VI (4 poits : ) poits ; ) poit ; ) poit) O cosidère l octio : déiie sur et o ote C s courbe représettive ds le pl mui d u repère O, i, j ) Clculer O doer le résultt sous l orme d u seul quotiet O pourr observer que pour tout réel 0 Compléter l phrse suivte : (u seul résultt) s ule pour ) O ote A et B les poits d itersectio de C vec l e des bscisses O pred A B Compléter l phrse suivte : L tgete e B à C pour coeiciet directeur ) Clculer O doer le résultt sous l orme d u seul quotiet IV ( poits) (u seul résultt) O cosidère les octios : et g : O ote h l composée de g suivie de (utremet dit : h g ) Eprimer déiies sur h e octio de (ue seule epressio sous l orme d u seul quotiet) h VII ( poits : ) poit ; ) poit) Pour tout etier turel, o pose S ) Clculer S à l mi 0 (ue seule églité) V ( poits) O cosidère l octio : 5 déiie sur Clculer ) Détermier ue epressio simpliiée de S e octio de (résultt ss symbole ) 0 (u seul résultt) (ue seule églité)
Corrigé du cotrôle du -0-07 (u seul résultt) I O cosidère l suite u déiie sur pr so premier terme u et pr l reltio de récurrece u u pour tout etier turel Démotrer pr récurrece que pour tout etier turel O pporter u très grd soi à l rédctio et à l présettio, o : u! ou O e met ps de prethèses utour du ( (u seul résultt) ) Pour, o déiit l phrse Iitilistio : Vériios que P est vrie u pr déiitio de l suite u P : «u!» 0 O! 0! (cr 0! ) O peut doc bie écrire u! et pr suite Hérédité : P est vrie Cosidéros u etier turel tel que l phrse Démotros qu lors l phrse Or u O : u u P soit vrie c est-à-dire u P est vrie c est-à-dire u! E eet, u!! pr hypothèse de récurrece Doc u! ce qui doe imméditemet!! O e déduit que l phrse P est vrie Coclusio :! u! puis u! cr /!\ O e développe ps le déomiteur : cel boutirit à ue epressio plus compliquée ss itérêt O démotré que P est vrie et que si P est vrie pour u etier turel, lors P est vrie pour tout etier turel Doc, d près le théorème de récurrece, l phrse P est vrie Ue utre méthode pour dériver cosiste à écrire et à utiliser l ormule de dérivée d u produit II À tout réel strictemet positi o ssocie l octio : déiie sur 0 ; ; ) Détermier le ses de vritio de sur les itervlles Former le tbleu de vritios de 0 ; et ; ) ) Clculer pour 0 O doer le résultt sous l orme d u seul quotiet vec umérteur développé réduit (ire le trit de rctio à l règle e veillt à ce qu il soit bie cetré pr rpport u sige )
0 ; ; 0 0 ; ; Doc 0 ; ; cr 0 pr hypothèse 0 0 Doc est strictemet décroisste sur les itervlles Sige de 0 ; et ; 0 + Vritios de 0 F est dérivble sur l itervlle ; Pour eectuer le clcul de l dérivée plus simplemet, o eectue l réécriture suivte de F 4 ; F 4 F 4 F F : O peut détiller dvtge isi : F 0 + F Sige de F Sige de dé 0 + + F Sige de + dé 0 + O e déduit que F est ue primitive de sur ; 0 0 [o it igurer cette vleur ds le tbleu] est ps dérivble e 0 d où l présece de l double brre sur l lige du sige de III Démotrer que l octio F : 4 est ue primitive de l octio : ; Fire le clcul directemet ss phrse itroductive ; rédiger ue phrse de coclusio Sige de Vritios de 0 O pourr se coteter des grdes étpes de clcul O er très ttetio à l rédctio et u ottios sur l itervlle /!\ L rédctio suivte est usse : «O e déduit que F est ue primitive de O retiedr pr cœur l rédctio : «F est ue primitive de sur ;» IV O cosidère les octios : et g : O ote h l composée de g suivie de (utremet dit : h g ) Eprimer déiies sur h e octio de (ue seule epressio sous l orme d u seul quotiet) h sur ;»
h g h X vec X g h X h h h h soit X VI O cosidère l octio : déiie sur et o ote C s courbe représettive ds le pl mui d u repère O, i, j ) Clculer O doer le résultt sous l orme d u seul quotiet O pourr observer que pour tout réel 0 (u seul résultt) 0 (o utilise l ormule suivte de dérivtio ) V O cosidère l octio : 5 déiie sur Clculer Compléter l phrse suivte : s ule pour /!\ L vleur 0 est ue vleur d ultio du déomiteur de C est doc ue vleur iterdite de Ce est doc ps ue vleur d ultio de 4 5 (u seul résultt) ) O ote A et B les poits d itersectio de C vec l e des bscisses O pred A B Compléter l phrse suivte : 0 5 4 5 4 5 4 L tgete e B à C pour coeiciet directeur O commece pr chercher les bscisses de A et B Pour cel, o résout l équtio 0 O résout ds 0 Les rcies du polyôme sot et (utilistio de l rcie évidete ou de l clcultrice) Aisi A et B O clcule
4 L tgete e B à C doc pour coeiciet directeur O peut vériier ce résultt à l ide de l clcultrice ) Détermier ue epressio simpliiée de S S e octio de (résultt ss symbole ) 0 ou S (ue seule églité) ) Clculer O doer le résultt sous l orme d u seul quotiet 6 (u seul résultt) 4 désige l dérivée secode de c est-à-dire l dérivée de O écrit 6 4 6 4 0 S ) S 0 (o «sort», ou plutôt o met e cteur ds l somme cr e déped ps de q S (o pplique l ormule q vlble pour tout réel q ) q S S 0 VII Pour tout etier turel, o pose S ) Clculer S à l mi 0 Pour, le résultt ouri pr cette ormule coïcide bie vec celui trouvé à l mi à l questio ) Autres méthodes : O écrit l somme sous orme développée 0 S S 0 (ue seule églité) S S S 4 5 6 S S S 8 6 64 S 0 O eectue u chgemet de vrible : S L suite est ue suite géométrique doc S