Exposé 24 : Théorème de Thalès. Projection dans le plan et dans l'espace, caractère affine des projections Pré requis: - positions de 2 droites dans le plan. Droite et plan dans l'espace - mesure algébrique, caractère affine = conservation des barycentres - relation de Chasles Cadre: plan affine. Repère orthonormé direct O, i, j ou dans l'espace affine C de repère orthonormé O, i, j, k Rappel : Soit une droite D du plan P( ou de C) et u un vecteur directeur de D. Soient A,B,C trois points distincts de D. On définit AB comme le réel tel que AB= u.le rapport des mesures algébriques est indépendant du choix de u. AB 1) Théorème de Thales a) Dans le plan P Théorème de Thalès : Soit AB un triangle non plat. Soit C AB {A, B}. Soit C ' AB ' tel que B CC '. C B C A A B Alors on a AB = ' AB ' Preuve: C AB donc R tq = AB, c A 0 C ' AB ' donc ' R tel que ' = ' A, ABB ' non Alors CC '= CA ' = AB ' A = ' AB ' BB ' Or B CC ' donc R tel que BB '= CC ' d'où 1 ' CC ' = ' AB Or CC ', AB sont non colinéaires ( sinon AB plat) Donc A ' =0= ' ie '= d'où : AB = ' AB ' plat ' 0 (Preuve avec produit scalaire possible)
Théorème de Thalès version droite parallèle Si deux droites D et D' distinctes coupent trois droites parallèles distinctes d 1,d 2,d 3 respectivement en A,B,C et,,. A B alors C C Preuve par les parallélogrammes Théorème de Thalès, version droites quelconques Si deux droites D et D' distinctes coupent 3 droites parallèles distinctes d 1,d 2,d 3 en A,B,C et,, respectivement D A D' D''(pour démo) B alors C Preuve : idée introduit D'' parallèle à D passant par et utiliser les deux théorèmes précédents. Théorème réciproque : Soit D et D' deux droites distinctes de P. Soit A,B,C trois points distincts de D,, D' Si A B et Alors CC ' A B. Remarque n'est pas suffisant! A C B Croiser une droite
b) Dans l'espace C Théorème : Si deux droites D et D' distinctes coupent trois plan parallèles distincts 1, 2, 3 respectivement en A,B,C et,, alors. Preuve : travailler sur le plan créé par les droites D et D' et utiliser les théorèmes précédents. 2) Projection dans le plan et dans l'espace a) Dans le plan P Définition: Soient D et D' deux droites de P non parallèle ( donc sécante). On appelle projection sur D parallèlement à D' l'application : P P où M' est le point d'intersection de la parallèle à D' passant par M avec D. b) Dans l'espace C Définition : Soit P un plan de C. Soit D une droite de C non parallèle à P( donc card(p D)=1 ). On appelle projection sur P parallèlement à D l'application : C C où M' est le point d'intersection de la droite parallèle à D passant par M avec P. Définition : Soit D une droite de C. Soit un plan de C. On suppose D non parallèle à. On appelle projection sur D parallèlement à P l'application : C C où M' est le point d'intersection du plan parallèle à passant par M avec D. c) Propriétés
Propriétés : Soit p une projection ( de P ou C) : 1. p o p = p (p est idempotent) 2. p n'est ni injective ni surjective 3. Inv(p) est l'espace affine sur lequel on projette Preuve : Si on projette sur D parallèlement à D' alors par exemple tout les points de D on même image par la projection, p n'est pas injective. Et tout point n'appartenant pas D alors il n'ont pas d'antécédent donc p n'est pas surjective. 3) Caractère affine des projections Proposition : Soit p une projection ( de P ou de C). Soit A,B,C,D quatre points et,,,d' leurs images par p. Alors : AB= CD B '= C ' D ' Preuve Soit p une projection du plan P. On suppose parallélogramme ABDC. Soit o' = p(o). AB= CD. On note o les centre du Les droites (B), (oo') et (C) sont parallèles. Par le théorème de Thalès, Bo BC = B ' o ' B ' C ' Or o=m[bc] d'où Bo BC = 1 2 donc B ' C '=2. B ' o ' donc o'=m[]. De même, o'=m[d'] Donc A ' = C ' D ' Définition : Soit E=P ou C, E espace vectoriel associé et p: E E on appelle projection vectorielle associée à p, notée p, l'application E E définit par : Si u= AB alors p u = A ' B ' avec = p A = p B Proposition : 1. p o p= p 2. p est linéaire csq: p est affine.
4) Applications 1) On partage un segment [AB] en n segments de même longueur. Comment? 2) Ménélaiis Théorème Soit ABC un triangle non plat et trois points P,Q,R différents des sommets sur les droites respectives (BC),(CA),(AB).Alors P,Q,R sont alignés si et seulement si : RB =1 preuve => Supposons P,Q,R aligné sur une droite Δ. La parallèle à Δ passant par B coupe () en : Thalès dans BC donne PC = Q QC. Thalès dans ARQ donne RA RB = QA QB '. on en déduit : RB = Q QC. QC QA. QA Q =1 <= Supposons =1 Soit R' le point en lequel PQ) coupe (AB) RB Comme P,Q,R' sont alignés, vu ce que l'on vient de démontrer on a : QA. R ' A =1= R ' B RB RA donc RB = R ' A d'où R=R'. R ' B P,Q,R sont donc alignés. Notez que (PQ) et (AB) sont bien sécantes car sinon par Thalès appliqué à la configuration A,B,C,P,Q on aurait PC = QA QC ce qui, joint à l'hypothèse, entrainerait RA RB =1 ie A=B ce qui est impossible.