LSMarsa Elriadh Dans chacun des cas suivants déterminer l ensemble de définition de f et justifier la continuité de f en tout réel de son ensemble de définition (5 ² 1) f ( ) = 3 ² + 5 + 1 ; f ( ) = ; 3 ² 5 + 2 3 ² + 5 f ( ) = ; f ( ) = 3 ² + 1 2 ² + 7 5 f et g deu fonctions définies sur un intervalle I et a un réel de I Si f et g sont continues en a, alors f+g ; fg ; f et f n (n IN*) sont continue en a Si f continue en a et f(a) 0, alors 1 g ;, 1 sont continues en a n f f f Si f continue en a et f(a)positif alors f continue en a Toute fonction polynôme est continue en tout réel Toute fonction rationnelle est continue en tout point de son domaine de définition Les fonctions co s et sin sont continues en tout réel Soit f la fonction définie par f ( ) = + 7 3 2 1) Vérifier que pour tout D f ; 2) En déduire ; lim f ( ) 2 f ( ) = 1 7 + 3 (rappel) Soit f une fonction définie sur un ouvert I, sauf peut être en a de I s il eiste une fonction g définie sur I, continue en a et tel que f()=g() pour tout a, alors lim f ( ) = g ( a ) Soit f une fonction définie sur un ouvert I sauf un réel a de I si la fonction f admet une limite finie l en a alors f est prolongeable par continuité a wwwzribimathsjimdocom 1
LSMarsa Elriadh ² + 2 f ( ) = si < 1 1 Soit f la fonction définie par ² 1 f ( ) = si > 1 1 f (1) = 0 f est elle continue en 1 f une fonction définie sur un ouvert I et a un réel de I f est continue en a si et seulement si, lim f ( ) = f ( a ) a ² + sin f (0) = 1 Soit f la fonction définie sur [0,π] par f ( ) = si ] 0, π ] Montrer que f est continue sur [0,π] Une fonction est continue sur un ouvert I si et seulement si elle est continue en tout réel de I Une fonction est continue sur un intervalle [a,b] si et seulement si elle continue sur ]a,b[, à droite en a et à gauche en b Une fonction est continue sur un intervalle ]a,b] si et seulement si elle continue sur ]a,b[, à droite en a Une fonction est continue sur un intervalle [a,b[ si et seulement si elle continue sur ]a,b[ et à gauche en b Compléter les tableau suivants : l et l deu réels Limf L L L + - + Limg L + - + - - Lim(f+g) wwwzribimathsjimdocom 2
LSMarsa Elriadh Limf L L>0 L>0 + - + 0 Limg Lim(fg) L + - + - - Limf L L + + L 0 0 Limg L L >0 L <0 0 lim f g Déterminer les limites suivantes : 2 ² + 5 1 lim ( 3 ² + 1) lim lim 2 + 1 + 2 ² + 3 3 + 2 3 + 3 + lim 3 + 2 1 ² + 1 lim 3 + 9 ² + 1 lim 2 + 1 + 4 ² + 2 + lim + 2 + + 1 + 5 3 ² + 14 ² + 5 6 ² 9 lim lim lim 2 1 3 ² + 3 2 2 1 3 2 + 3 3 ² + 1 lim 3 ² + 14 La courbe ci contre est la représentation graphique d une fonction définie sur IR ; C f admet une branche parabolique de direction (O, j ) et la droite y=2 est une asymptote à C f Déterminer : lim f ( ) ; lim f ( ) et lim + + f ( ) wwwzribimathsjimdocom 3
LSMarsa Elriadh La courbe ci contre est la représentation graphique d une fonction définie sur IR* ; les droite =-1 et y=-+2 sont des asymptotes à C f Déterminer : lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) + 2 + lim f ( ) + ; lim + + lim f ( ) ; lim 1 + 1 2 f ( ) + 2 2 f ( ) Compléter le tableau suivant : limites lim f ( ) = ± a ± lim f ( ) = a ± lim f ( ) ( a + b ) = 0 ± f ( ) lim = 0 ± f ( ) lim = ± ± Interprétation graphique Soit f la fonction définie par f ( ) = 4 ² + 1 1) Déterminer lim f ( ) + f ( ) 2) Déterminer lim + 3) Déterminer lim f ( ) 2 et interpréter graphiquement le résultat + Reprendre la même étude au voisinage de - wwwzribimathsjimdocom 4
LSMarsa Elriadh Soit u et v deu fonctions définies par u()=²+1 et v()= 2 1) Soit h la fonction définie par h()=v(u()) ; calculer si possible : h(3), h(1), h(-4) et h(-1) 2) Déterminer E={ IR ; tel que D u, u() D v } ; que représente l ensemble E pour la fonction h 3) Epliciter, pour tout de E, la fonction h Définition : Soit u une fonction définie sur I et v une fonction définie sur J contenant u(i) La fonction qui à tout de I associe v(u()) est appelé fonction composée de u par v et noté vou Dans la figure ci contre C f est la représentation graphique d une fonction f définie sur IR 1) Déterminer lim + 2 ; en déduire lim f ( ) + 2 2) Déterminer 2 lim f ( ) 1 Théorème (admis) : 1 Soit u et v deu fonctions ; a, b et c des réels finis ou infinis si lim u ( ) = b et lim v ( ) = c a lo rs lim vo u ( ) = c a b a Application : Déterminer π 1 sin co s ² 1 lim co s ; lim ; lim 4 + 0 0 Soit u une fonction définie sur un intervalle I contenant un réel a et v une fonction définie sur un intervalle J contenant u(a) Montrer que si u est continue en a et v est continue en u(a) alors vou est continue en a wwwzribimathsjimdocom 5
LSMarsa Elriadh Soit u une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant un réel a et v une fonction définie sur un intervalle ouvert J contenant u(a) si u est continue en a et v est continue en u(a) alors vou est continue en a Application : π cos( ) 2 f ( ) = si 1 Soit la fonction f définie par : 1 π f (1) = 2 1) Etudier la continuité de f en 1 2) Déterminer le domaine de continuité de f f,u et v trois fonctions définies sur un intervalle I sauf peut être en un réel a de I, l et l deu réels 1) Montrer que si u() v() pour tout a et si lim u( ) = l et lim v( ) = l ' alors l l a a 2) Montrer que si u() f() v() pour tout a et si lim u( ) = l et lim v( ) = l alors lim f ( ) = l a a a f,u et v trois fonctions définies sur un intervalle I sauf peut être en un réel a de I, l et l deu réels si u() v() pour tout a et si lim u( ) = l et lim v( ) = l ' alors l l a a si u() f() v() pour tout a et si lim u( ) = l et lim v( ) = l alors lim f ( ) = l a a a Application : On considère la fonction f définie sur IR* par 1 f ( ) = ² sin + 1 Déterminer lim f ( ) 0 wwwzribimathsjimdocom 6
LSMarsa Elriadh Soit f et u deu fonctions définie sur un intervalle I sauf peut être en un réel a de I On suppose que u() f() pour a ; et que lim u ( ) = + (en rappel que lim u ( ) = + si et a a seulement si, pour tout A>0 il eiste α>0 tel que si I et 0< -a <α alors f() >A) Montrer que lim f ( ) = + a f et u deu fonctions définies sur un intervalle I sauf peut être en un réel a de I Si u() f() pour a ; et que lim u ( ) = + alors lim f ( ) = + a a Si f() u() pour a ; et que lim u ( ) = alors lim f ( ) = a a Application : Soit f une fonction définie par f ( ) = 2 1 1) Déterminer lim f ( ) + 2) Montrer que pour tout >1, f ( ) < 2 3) Retrouver le résultat du 1) Dans chacun des cas suivants, déterminer graphiquement l image f(i) de l intervalle I wwwzribimathsjimdocom 7
LSMarsa Elriadh L image d un intervalle par une fonction continue est un intervalle Déterminer graphiquement f(i) L image d un intervalle fermé borné [a,b] par une fonction continue est un intervalle fermé [m,m] ou m est le minimum de f sur [a,b] et M est le maimum de f sur [a,b] Dans chacun des cas suivant déterminer graphiquement le nombre de solution de l équation f()=k i i=1, i=2 et i=3 Soit f une fonction continue un intervalle I a et b deu réels de I tel que a<b Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) l équation f()=k admet au moins une solution dans [a,b] Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I a et b deu réels de I tel que a<b Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) l équation f()=k admet une unique solution dans [a,b] wwwzribimathsjimdocom 8
LSMarsa Elriadh Application : 1) Montrer que l équation 3 2 = tg admet une solution comprise entre π π et 4 3 2) Montrer que l équation 3-3=1 admet une unique solution dans IR Soit f une fonction continue sur un intervalle I ; on suppose que f ne s annule en aucun point de I Montrer que f garde un signe constant sur I Soit f une fonction continue sur un intervalle I Si la fonction f ne s annule en aucun point de I alors elle garde un signe constant sur I Théorème admis : f une fonction définie sur un intervalle de type [a,b[ (b fini ou infini) Si la fonction f est croissante et majorée alors elle possède une limite finie en b Si la fonction f est croissante et non majorée alors elle tend vers + en b Si la fonction f est décroissante et minorée alors elle possède une limite finie en b Si la fonction f est décroissante et non minorée alors elle elle tend vers - en b Compléter : Intervalle I [a,b] [a,b[ [a,+ [ ]a,b] ]-,b] Si f est strictement croissante f(i)= Si f est strictement décroissante, f(i)= Théorème (admis) : L image d un intervalle I par une fonction continue et strictement monotone est un intervalle de même nature wwwzribimathsjimdocom 9