Le entre d éducation en mathématiques et en informatique teliers en ligne Euclide telier n o 4 Trigonométrie c 014 UNIVERSITY OF WTERLOO
teliers en ligne Euclide telier n o #4 TRIGONOMÉTRIE OÎTE À OUTILS Description 1. Loi des sinus Formule a sin = b sin = c sin = R, R étant le rayon du cercle circonscrit c a R b. Loi du cosinus a = b + c bc cos b = a + c ac cos c = b + a ab cos. ire d un triangle = 1 ab sin = 1 bc sin = 1 ca sin. c 4. ire d un triangle équilatéral L aire est égale à, c étant la longueur d un côté. 4 5. Formule de Héron = p(p a)(p b)(p c), (aire d un triangle ) p étant le demi-périmètre : p = a + b + c 6. Identités trigonométriques tan θ = 1 cotan θ = sin θ cos θ sec θ = 1 cos θ cosec θ = 1 sin θ sin θ + cos θ = 1 tan θ + 1 = sec θ 1 + cotan θ = cosec θ 7. ngles supplémentaires sin(180 θ) = sin θ cos(180 θ) = cos θ 8. Savoir tracer la y = sin(kx + d) (amplitude, période π k représentation graphique de : y = cos(kx + d) (amplitude, période π k y = tan x, déphasage d k ), déphasage d k ) LE ENTRE D ÉDUTION EN MTHÉMTIQUES ET EN INFORMTIQUE
teliers en ligne Euclide telier n o #4 TRIGONOMÉTRIE EXEMPLES DE PROLÈMES 1. Déterminer les racines de l équation sin x 5 sin x + sin x = 0 dans l intervalle 0 x π. On factorise le membre de gauche : sin x 5 sin x + sin x = 0 sin x( sin x 5 sin x + ) = 0 sin x( sin x 1)(sin x ) = 0 Donc sin x = 0 (d où x = 0, x = π ou x = π), sin x = 1 (d où x = π 6 ou x = 5π 6 aucune solution, car 1 sin x 1). ) ou sin x = (qui n admet. Un avion quitte un porte-avion et se déplace en direction sud à une vitesse de 400 km/h. Le porte-avion se déplace en direction 00 à une vitesse de km/h. L avion a suffisamment de carburant pour un vol de 4 h. Quelle est la distance maximale qu il peut franchir vers le sud de manière qu il puisse revenir sur le porte-avion? On commence par un dessin. Soit x le nombre d heures pendant lesquelles l avion se dirige vers le sud. La distance qu il parcourt est égale à 400x km. Pour revenir, l avion parcourt une distance de 400(5 x) km en 5 x heures. Pendant les 5 heures, le porte-avion parcourt 5() km, ou 160 km. La direction du porte-avion est mesurée à partir du nord et l angle est balayé dans le sens des aiguilles d une montre. Il y a donc un angle de 10 entre la direction sud et la direction du porte-avion. D après la loi du cosinus, on a : (400(5 x)) = 160 + (400x) 160 400x cos 10 160 400(5 x) t 400x Or cos 10 = 1. On divise chaque membre par 6400 pour obtenir 5(5 x) = 4 + 5x + 10x, d où x = 61 61. Donc avant de revenir, l avion peut parcourir 400 km, ou environ 955,4 km. 60 60. Soit un triangle. On considère le point D, sur le côté, de manière que D soit la bissectrice de l angle. Démontrer que D = D. θ D LE ENTRE D ÉDUTION EN MTHÉMTIQUES ET EN INFORMTIQUE
teliers en ligne Euclide telier n o #4 TRIGONOMÉTRIE Les rapports suggèrent l utilisation de la loi des sinus. Soit D = θ. sin Dans le triangle D, on obtient D = sin θ D sin, d où = sin θ. sin Dans le triangle D, on obtient Donc D = D, d où D = D. D = sin(180 θ) e résultat est le théorème de la bissectrice d un triangle., d où D sin = sin θ, car sin(180 θ) = sin θ. 4. Dans le triangle suivant, = + 60, = 1, = r et = r (r > 1). Démontrer que r <. 1 r 60 + α α r e problème était le dernier problème du concours Euclide 1996, ce qui indique un degré élevé de difficulté. omme beaucoup de problèmes difficiles, il fait appel à une variété d outils. Soit = α. Donc = α + 60 et = 10 α. D après la loi des sinus : r 1 = sin(α + 60 ) sin α = sin α cos 60 + sin 60 cos α sin α = cotan α + 1 Puisque la somme des mesures d angles du triangle est égale à 180, on a 0 < α < 60. Dans cet intervalle, la fonction tangente est croissante et son inverse, la fonction cotangente, est décroissante. D après la loi du cosinus : Or : r = 1 + r 4 r cos(10 α) (1) (r 1) 0, d où r 4 + 1 r () On reporte r 4 + 1 de l inéquation () dans l équation (1) pour obtenir r r r cos(10 α), d où cos(10 α) 1. Donc α 0 et r = cotan α + 1, d où r 1 + 1, ou r, ce qu il fallait démontrer. LE ENTRE D ÉDUTION EN MTHÉMTIQUES ET EN INFORMTIQUE 4
teliers en ligne Euclide telier n o #4 TRIGONOMÉTRIE TROUSSE DE PROLÈMES 1. (a) Sachant que sin(θ) + 1 = 0, déterminer la plus petite valeur positive possible de θ (en degrés). (b) Déterminer toutes les racines de l équation (sin θ cos θ) = 8 sin θ 5 dans l intervalle π θ π.. On considère un triangle dans lequel = 7. M est un point sur le côté de manière que M = 5, M = 6 et M =. Déterminer la longueur exacte du côté. 7 5 M 6. Pour déterminer la hauteur MN d une tour, sur une île, on a choisi deux points, et, à 100 m l un de l autre, de manière que, et N soient situés dans le même plan horizontal. On a ensuite mesuré pour obtenir N = 108, N = 47 et MN =. Déterminer la hauteur de la tour au mètre près. M N 100 m 4. Un rectangle P QRS est situé de manière que son côté P Q soit sur l axe des abscisses. De plus, ses sommets S et R sont situés sur la courbe définie par y = k cos x. Sachant que le côté P Q a une longueur de π et que le rectangle a une aire de 5π, déterminer la valeur de k. y π S R π P O Q x LE ENTRE D ÉDUTION EN MTHÉMTIQUES ET EN INFORMTIQUE 5
teliers en ligne Euclide telier n o #4 TRIGONOMÉTRIE ( ) π 5. La figure suivante présente la courbe définie par y = a sin kx. Le point 4, est un point minimum. La droite d équation y = 1 coupe la courbe au point D. Déterminer les coordonnées de D. y y = a sin kx y = 1 D x O 4, 6. Un petit carré, qui a une aire de 9 cm, est entouré de quatre triangles congruents, de manière à former un grand carré qui a une aire de 89 cm. omme il est indiqué dans la figure suivante, chaque triangle a un angle θ. Déterminer la valeur de tan θ. θ θ θ θ 7. Un prisme droit a une hauteur de cm et sa base carrée a des côtés de 1 cm. Déterminer le cosinus de l angle F. F G E H D 1 1 8. haque petit triangle équilatéral qui forme la grille suivante a des côtés de longueur 1. Les sommets du triangle W T sont des sommets de ces petits triangles équilatéraux. Déterminer l aire du triangle W T. W T 9. Soit un triangle dans lequel = 8 et = 60. Les côtés et ont des côtés de longueurs respectives a et b, chacune étant un entier. Déterminer les valeurs possibles de a et de b. LE ENTRE D ÉDUTION EN MTHÉMTIQUES ET EN INFORMTIQUE 6