CLCUL RYCENTRIQUE Ste athstice de dama Traoré Lycée Techque amao I Focto vectorelle de Lebz: Das ce chaptre désgos par ue drote, u pla, ou u espace, et l esemble des vecteurs ppelos pot podéré le couple ; ormé par u pot de et u réel appelé coecet ou masse de Cosdéros ue amlle e : [ ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ] de pots podérés Nous oteros cette amlle e ; c est ue amlle de [ ] ; à couples Déto: O appelle octo vectorelle de Lebz assocée à la amlle ; à l applcato Remarques: : - S 0 alors est costate - S 0 alors est bjectve II arycetre de pots podérés: Déto: O appelle barycetre de la amlle des pots podérés ; le pot uque e lequel la octo vectorelle de Lebz à s aule 0 O état u pot quelcoque de o a : O O - S ; alors est l sobarycetre ou l équbarycetre des pots [ ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ] Proprétés du barycetre: P Le barycetre e chage e pas s o chage l ordre des couples ; ; à * P 0 0 ; IR ; P La recherche du barycetre pluseurs pots peut se rameer de proche e proche à la recherche du barycetre de deux pots Cours Calcul barycetrque Page sur 5 dama Traoré Proesseur Lycée Techque
Coordoées du barycetre: Plaços-ous das le cas où est l espace E Sot O ; j ; ; u repère cartése de E et les pots x ; y ; z ; x ; y ; z est barycetre des ; a pour coordoées : x y ; Y ; Z z III Focto umérque ou scalare de Lebz: Déto et Formule de Lebz: O appelle octo scalare de Lebz assocée à la amlle ; à l applcato : IR Quels que soet et O de o a : O O O O O O D où : O O O O O O O O - er cas : S 0 alors O O v est u vecteur costat Remarque : S v 0 O O v alors la octo scalare est ue octo costate - ème cas : S 0 alors l exste u pot uque barycetre des pots podérés ; tel que à 0 O a: Les ormules et sot coues sous le om de «ormules de Lebz» Cas Partculers : Sot et deux pots d ue drote D, I le mleu du segmet [] Sot u pot quelcoque de, H le projeté orthogoal de sur D Cours Calcul barycetrque Page sur 5 dama Traoré Proesseur Lycée Techque
I D - E applquat ce qu précède aux pots podérés, ;, o obtet le théorème de la médae : I - E utlsat les deux pots podérés, ;, o obtet : I I I v avec v I IH Esemble des pots tels que ε R : Etat doés pots podérés ; et ue costate réelle à Etudos l esemble E des pots de tels que O O v O - er cas : S 0 o sat que O O v est u vecteur costat o a : O O v O v O O V O S v 0 et O alors l esemble E S v 0 et O alors l esemble E est l espace S v 0, Sot D O, v la drote passat O et de vecteur drecteur v Sot H le projeté orthogoal d u pot de sur D D O H V E v O O v OH O OH O L esemble E est les pots de qu se projètet perpedcularemet sur D au pot H v Cours Calcul barycetrque Page sur 5 dama Traoré Proesseur Lycée Techque
Cours Calcul barycetrque Page 4 sur 5 dama Traoré Proesseur Lycée Techque Remarque : Sur ue drote, l esemble E des pots cherchés est {H } Das le pla, l esemble E des pots cherchés est la drote perpedculare à D O, v au pot H Das l espace, l esemble E des pots cherchés est le pla P perpedculare à D O, v au pot H - ème cas : S 0 alors l exste u pot uque barycetre des pots podérés à ; O a S < 0, alors l esemble E des pots cherchés est le vde S 0, alors l esemble E des pots cherchés est { } S > 0, alors, d où l esemble E des pots cherchés est le cercle respectvemet la sphère de cetre et de rayo r 4 Calcul de barycetre : Fasos le calcul pour Soet ; ; ; ; C ; tros pots podérés de barycetre le pot La ormule de Lebz ε, C C C C E asat la somme membre à membre o dédut que : C C 5 Esemble des pots du pla tels que : Sot et deux pots dstcts du pla, u réel strctemet post K 0
- er cas : S alors, alors l esemble E des pots cherchés est la drote médatrce du segmet [] - ème cas : S alors 0, l exste u pot uque barycetre des pots podérés :, ;, 0 0 Sot barycetre de, et, 0 Sot barycetre de, et, 0 0 0 [ ] [ ] 0 [ ] [ ] 0 0 D où l esemble des cherchés est le cercle de damètre [ Exemple d applcato : ] Sot a u ombre réel strctemet post, O u tragle rectagle e O tels que : O a ; O a Détermer et costrure l esemble E des pots du pla tel que : otrer que O appartet à E --- 0 --- 4 0 0 Sot barycetre de, et, o a : 0 xos o obtet Sot barycetre de, et, o a : 0 xos o obtet Doc 0 D où l esemble E des pots est le cercle de damètre [ ] 0 - otros que O appartet à E S O o a : D où O appartet à E O a O a E O Cours Calcul barycetrque Page 5 sur 5 dama Traoré Proesseur Lycée Techque