COMMANDE NON INEAIE D UN MOTEU A COUANT CONTINU A EXCITATION SEIE Abderrou GAAOU et Fou M SAHI Ecole Ntonle d Ingéneurs de Monstr ue Ibn Eljr 59 Monstr Tunse bderrougloul@enrnutn oushl@sethrnutn ésué : Ce er trte le roblèe de l conde d un oteur à cournt contnu à ectton sére On se bsnt sur un odèle non lnére du oteur et en utlsnt l éthode drecte de yunov une conde non lnére nclunt une conde ctve r le régulteur PID non lnére est lquée u rocessus our le conder Cette lo de conde résente l vntge d être ndéendnte du coule de chrge Cec est ortnt cr ce derner est souvent nconnu ou nccessble robustesse du oteur vs à vs des vrtons rétrques ns qu une vrton du coule de chrge est rouvée à trvers une étude de sulton Mots clés : Conde non lnére PID non lnére Stblté Moteur à Cournt Contnu Introducton es oteurs à cournt contnu à ectton sére sont souvent utlsés dns des lctons où un coule écnque récble este sous des oértons norles et surtout qund un coule de dérrge ortnt est nécessre En eet le coule électrognétque rodut r le oteur est roortonnel u crré du cournt d ndut vnt l sturton du crcut nducteur [ ] Il convent très ben dns le done des ortes ussnces à MW our obtenr un onctonneent stssnt en ble vtesse es dérentes lctons ossbles ncluent l trcton électrque les grues les ontes chrges etc Pour un oteur de ce tye le crcut de l nducteur est connecté en sére vec le crcut de l ndut [3] e roblèe de conde des oteurs à cournt contnu à ectton sére été étudé en utlsnt dérentes technques coe l technque géoétrque dérentelle l synthèse récursve l lnérston r bouclge ou lnérston entrée-sorte [-7] En dét de ce rogrès une nouvelle étude est nécessre our rodure une conde lus ecce et lus robuste Ce er est conscré à l synthèse d une lo de conde non lnére nclunt une conde ctve r PI/PID non lnére our l conde en vtesse d un oteur à cournt contnu à ectton sére stblté sytotque et globle du systèe en boucle erée ser ssurée en lqunt l éthode drecte de yunov Modèle du oteur sére Dns le cs où le lu est ntenu constnt le odèle eut être lnére et le roblèe de conde d un tel oteur est étudé dns luseurs ouvrges et l n est s consdéré dns ce er On s ntéresser c u roblèe de conde d un oteur sére lorsque le lu vre suvnt une lo non lnére Ans l nductnce de l ndut est notée et le lu nducteur est noté r où rerésente l courbe de gnétston Pour des bles vleurs du cournt eut être odélsé r une oncton lnére de ' c est-à-dre où et de l gure rerésentent resectveent l résstnce de l ndut et de l nducteur résstnce lcée en rllèle vec le crcut nducteur et qu eut être condée à l de d un nterruteur électronque sert à blr l ectton Fg : Crcut équvlent du Moteur sére
es dynques des oteurs séres euvent être rerésentées r genres d équtons dérentelles déendnt des condtons de onctonneent du oteur qu sont déns en tere de l vtesse du oteur et elles sont dvsées en cs [9] Dns le reer cs le oteur onctonne u-dessus de l vtesse de bse nterruteur eré c est-àdre < et les équtons du systèe sont : d / dt V d / dt d / dt τ Dns le second cs le oteur onctonne u dessous de l vtesse de bse nterruteur ouvert c est-à-dre On ns : et les équtons du systèe devennent : d / dt V d / dt d / dt τ 3 Il est évdent que les équtons du systèe sont non lnéres es non lnértés concernent le coule électrognétque qu est roortonnel u crré du cournt et à l orce contre électrootrce E qu est roortonnelle u rodut de l vtesse et du cournt 3 Conde r un PI/PID non lnére Dns le cs de l conde r l roche récursve [] l été déontré que l lo de conde déend du coule de chrge τ Ceendnt ce coule est souvent nconnu l connu ou vrble En utlsnt une conde r PID non lnére l est ossble d élner l nécessté de connître elcteent le coule de chrge Pour ce re on consdère d bord le cs où le oteur onctonne u-dessus de l vtesse de bse e systèe est décrt r les équtons En chosssnt les vrbles d étt suvntes : ; et u V 4 on dérve et tels que : d t d d dt dt dt 5 es équtons du systèe devennent : τ 6 u Pour concevor une conde r PI/PID non lnére une nouvelle vrble d étt est ntrodute tels que Cec ontre que l équton dérentelle de eut être donnée r l relton suvnte []: τ 7 où rerésente l vtesse désrée Dns l eresson 7 le êe tere rte ntégrle et rte roortonnelle sont joutées et retrnchées et leur soe est utlsée coe étnt une conde ctve our [] On dént les trnsortons d étt suvntes : τ / 8 / / e nouvel étt sert our générer l oncton de yunov et l lo de conde Cec ontre que s le sous-systèe des étts [ ] T est stble en chosssnt correcteent les gns et Cec eut être vu du t que : A 9 vec : A / stblté du systèe eut être étudée en utlsnt l sous oncton de yunov suvnte : T [ ][ P ] 5 où P est une trce déne ostve soluton de l équton : A T P PA I vec I est l trce dentté Dns le cs où on :
3 [ ] P Pour ssurer l stblté du rocessus et our synthétser une conde r PI non lnére on chost l oncton de yunov suvnte : 3 où : 5 4 Cec ontre que sous l conde : ] [ τ τ u 5 l dérvée r rort u tes de l oncton de lyunov est donnée r : P 6 où P rerésente l nore du vecteur P Donc < s les gns sont choss tels que et et s : P 7 En eet sot : 3 P on : I PA P A T 8 En eectunt un sle clcul thétque on boutt à l trce P qu est donnée r : P 9 trce P est déne ostve s et seuleent s ses neurs rncu sont strcteent osts Cec est véré our et De lus on d rès l relton 6 : P P cr P < or du t que on obtent : P Il est clr que l lo de conde 5 déend du coule τ et l relton 7 dot être vérée Dns le cs où ces condtons ne sont s vérées coule nconnu ou néglté 7 non vérée on recours à l conde PID non lnére Pour coléter l conde PID on joute et on retrnche le tere dns l eresson de Cec ontre que sous l conde : ] [ u
l dérvée r rort u tes de l oncton de yunov est donnée r : P où T 3 En suvnt le êe rsonneent que récédeent on trouve que < s les gns sont choss tels que et P Dns le cs où le oteur onctonne udessous de l vtesse de bse et en suvnt l êe dérche que récédeent le oteur est décrt r les équtons 3 et en dotnt une conde ctve r PI non lnére l lo de conde globle ser lors donnée r : u [ τ ] 4 sous lquelle l dérvée de l oncton de yunov est donnée r : 5 P Ceendnt l lo de conde globle en dotnt une conde ctve r un PID non lnére est donnée r l relton suvnte : u [ ] 6 sous lquelle l dérvée de l oncton de yunov est donnée r : P 7 Cec rouve que les gns sont choss coe dns le cs récédent 5 Alcton On trte dns ce rgrhe l lcton d une lo de conde non lnére nclunt une conde ctve r PID non lnére Pour rélser ces sultons on chost un odèle non lnére d un oteur à cournt contnu à ectton sére vtesse de bse est chose égle à rd/s e coule de chrge est suosé constnt et égl à 5 N et les rètres du oteur sont donnés r []: 4 H nductnce de l rture de l ndut ; 485 Ω résstnce de l nducteur ; 696 Ω résstnce d blsseent de l ectton ; 989 Ω résstnce de l ndut ; N/rd/s coecent du rotteent vsqueu ; 439 N/WbA constnte du coule / constnte de l cé ; 3 g oent d nerte ; e lu est chost constnt chne colèteent sturée et égl à 3 Wb vtesse de réérence est suosée constnte et vut 5 rd/s En dotnt les gns du correcteur suvnts : 5 et 5 l condton 7 n est s vérée donc on recours à une conde non lnére bsée sur une conde ctve r un PID non lnére Ans en eectunt luseurs sultons our chosr des vleurs convenbles our les gns et et cec our ssurer des vleurs ccetbles our les dérentes vleurs des cournts ndut et nducteur et de l tenson de conde On conclut que le cho de 5 et 7 boutt à une vleur de qu dot être suéreure à 545 Pr sute un cho de 3 seble être convenble gure ontre l bonne dynque du systèe en boucle erée en ce qu concerne l oursute de l vtesse de réérence e systèe est sse rde en boucle erée et ne résente de désseent n u nveu de l vtesse n u nveu des tensons de 4
conde conde u à lquer eectveent u rocédé est sse douce et ne désse s l vleur le dssble V Sur l gure 3 on rerésenté l évoluton des cournts dns l ndut et dns l nducteur Il est clr que ces deu rètres ne déssent s leurs vleurs ltes dssbles r le oteur et qu sont donnés resectveent r []: A * / 53 A 5 4 3 vtesse rd/s conde PID V 8 6 4 6 5 4 3 conde u V Fg : Evoluton des sgnu de sorte et des condes ctve PID et eectve u sur l gure 6 où on donné u coule écnque une dynque vrble en oncton du tes gure 5 6 5 4 3 sorte rd/s condes V 8 6 4 8 6 4 cournts A u u-pid - 5-5 5 4 Fg 4 : Dérents sgnu du systèe ncertn coule de chrge 8 A A 8 4 6 6 3 4 4 Fg 3 : Evoluton des sgnu de cournt dns l ndut et dns l nducteur An d évluer l robustesse de l lgorthe de conde étudé récédeent les rètres du systèe sont suosés connus r une ncerttude de % r rort à leurs vleurs nonles On rerque sur l gure 4 qu donne l réonse du systèe ncertn que l lgorthe de conde est sse robuste En eet cette ncerttude rétrque n s un eet notble sur le coorteent du rocessus Cette robustesse ser se en évdence uss 5 5 5 3 35 4 45 5 Fg 5 : Coule de chrge odé réonse du systèe à l erturbton dont l ltude est égle à 5 rd/s % du coule nonl ontre que le systèe ben régt contre cette erturbton en nsnt son eet que se sot sur l sorte du systèe ns que sur les sgnu de conde et des cournts Ans vec une lo de conde non lnére nclunt un PID non lnére on ssuré à l os l stblté sytotque et globle du systèe ns qu une bonne robustesse r rort à une erturbton eterne ns qu u ncerttudes rétrques 5
Fg 6 : Dérents sgnu du systèe erturbé 6 Concluson Dns ce er on s l ccent sur l robustesse du régulteur PI/PID our l conde en vtesse d un oteur à cournt contnu à ectton sére En t ce derner coe l eut être lqué vec un grnd succès our conder des systèes lnéres l rouvé son eccté dns le cs des systèes non lnéres e cho des rètres de synthèse d un tel régulteur est bsé sur l théore de yunov n d ssurer l stblté sytotque et globle du rocessus Cette lo de conde ctve ers rncleent de découler les étts lnéres de l étt non lnére Coe elle ers d élborer une lo de conde globle du systèe et qu ne déend s elcteent du coule écnque Cec est très ortnt cr ce derner est souvent nconnu ou nccessble En lus de l stblté sytotque et globle du systèe cette lo de conde conéré à l chne une bonne robustesse vs à vs des ncerttudes rétrques ns d un chngeent en lgne du coorteent de l chrge écnque Seres DC Motor IEEE Trns Control Systes Technology Vol No 35-4 Mrch 994 [3] S Meht et Chsson Nonlner control o seres DC Motor : Theory nd eerent IEEE Trns Industrl Electroncs Vol 45 No 34-4 Februry 998 [4] M odson et Chsson Derentl- Geoetrc ethods or control o electrc otors Int ournl o obust nd Nonlner Control Vol 8 93-954 998 [5] P D Olver Feedbc lnerton o DC Motors IEEE Trns Industrl Electroncs Vol 38 No 6 498-5 999 [6] H Njejer et A Vn Der Scht Nonlner Dyncl Control Systes Srnger erln 99 [7] A Isodor Nonlner Control Systes Srnger erln 989 [8] P ous Multon Y onnsseu et M vbre Technques de l Ingéneur rtcle D3 6 [9] W eonhrd Control o electrcl devces Srnger erln 985 [] M urrdge et Z Qu An roved nonlner control desgn or seres DC Motors Proceedngs o the Aercn Control Conerence 59-533 Albuquerque New Meco une 997 7 éérences [] M urrdge et Z Qu An roved nonlner control desgn or seres DC Motors Couters nd Electrcl Engneerng Vol 9 73-88 3 [] Chsson Nonlner Derentl- Geoetrc Technques or Control o 6