Régularité des Solutions d EDPs Elliptiques : Inégalité de Caccioppoli

République Algérienne Démocratique et Populaire Université Abou Bekr Belkaïd - Tlemcen Faculté des Sciences Département de Mathématiques Projet de fin d études pour l obtention du diplôme de Master. Option : Equations aux Dérivées partielles et Applications Sur le Thème : Régularité des Solutions d EDPs Elliptiques : Inégalité de Caccioppoli Présenté par : M elle Ghaffour Imène Soutenu devant le jury composé de : M r M. Bouchekif Professeur à l UABB-Tlemcen Président M r B. Abdellaoui Maître de conférences à l UABB-Tlemcen Examinateur M r A. Bensedik Maître assistant à l UABB-Tlemcen Examinateur M r B. Messirdi Maître assistant à l UABB-Tlemcen Encadreur Année universitaire : 010 011

Remerciements Je remercie Allah de m avoir donné la foi, la volonté et le courage pour accomplir ce travail. Je tiens à adresser mes meilleurs remerciements à mon maitre, le professeur M. BOUCHEKIF pour le savoir qu il a toujours su me transmettre, le long de mon cursus de formation en master de mathématiques. Il l a tout aussi fait pour mes camarades de promotion et pour cela, nous en sommes les témoins autant que le fruit de ses efforts. Il l a fait en maitre, avec modestie et compétence, humilité et brio et surtout avec aisance et clarté autrement dit, il l a fait en pédagogue avéré. En ce qui me concerne, monsieur BOUCHEKIF a été à l origine de la proposition du sujet de mémoire que je présente aujourd hui et au cours duquel, il a souvent intervenu pour apporter les ajustements adéquats. C est bien grâce à lui que ce travail a gagné en cohérence. Je tiens à le remercier tout aussi vivement pour m avoir fait l honneur de présider ce jury. Quoi de mieux que d exprimer ma gratitude et ma reconnaissance à l égard de mon encadreur, monsieur B.MESSIRDI, qui a su me conduire à développer ce travail. Je le remercie aussi pour ses encouragements. Mes plus vifs remerciements s adressent à monsieur B. ABDELLAOUI, pour avoir accepté de juger ce travail. Il le fera, j en suis convaincue, avec beaucoup d attention et de rigueur. A son propos, on ne peut, ne peut pas se souvenir de la qualité des cours qu il nous prodiguait et de l aisance avec 1

laquelle il manipulait les concepts, les simplifiait et les transmettait après les avoir débarrassés de toutes difficultés et zones d ombre. Je tiens aussi à remercier monsieur A. BENSEDIK d avoir accepter d examiner ce travail. je lui en suis très reconnaissante. Ma très haute considération va à monsieur B. Mebkhout, notre chef de département pour avoir, et sincèrement toujours été à l écoute des étudiants, leur facilitant du mieux qu il pouvait, le déroulement normal de leurs cursus de formation. Par ailleurs, ses capacités pédagogiques ne peuvent passer inaperçus aux yeux de tous les étudaints qu il a eu à enseigner. On se disait tous entre nous :" tu vois! tu n n as pas besoin de revoir son cours après lui, pour le comprendre".

Dédicaces Ma toute première pensée va à ma très chère maman. Elle est aussi mon amie et ma confidente. Elle m a tout appris et elle continue encore de le faire. Je l ai toujours écoutée. J en suis très fière. Puisse Dieu te prêter longue vie avec beaucoup de bonheur et de santé. A mon trés cher papa. Mon repère, mon guide et mon symbole de l abnégation au travail. Il m a toujours couvert de tendresse. Puisse Dieu lui prêter longue vie! A mes frères bien-aimés, Mohammed Yassine et Aness Chihabeddine, à qui je souhaite plein de réussite dans leur travail et leurs études. A celui qui est tout prés mais loin, loin mais tout prés, mon trés cher Salim. A toute ma famille et tous mes amis. 3

Notations N est un entier, R N est un ensemble ouvert borné, de frontière X un espace de Banach de norme et X son dual. H un espace de Hilbert. <, > la paire de H avec son dual L p () est l espace de fonctions mesurables u : R avec la norme finie : ( ) 1 f L p () = f(x) p p dx, 1 p < L () = {f : R; f mesurable et une constante C telle que f(x) C p.p sur } f L () = ess sup x u(x) Si x, y R N alors x.y est le produit scalaire dans R N, i.e : Si x = (x 1,..., x N ), et y = (y 1,..., y N ), alors ( N Si x R N, x = x i i=1 ) 1. x.y = x i y i m = (m 1, m,.., m N ) N N est un multi-indice, et m = N m i. m := m x m 1 1... x m N N B (x, r) = {y ; x y < r} est la boule ouverte de rayon r dans u : R une fonction, alors i=1 ( ) T u u u =,,, son gradient et x 1 x N u = n u = div( u) son laplacien i=1 x i i=1

p est l exposant critique de p : p = Np N p. Supp (u) = {x ; u(x) 0} est le support d une fonction u : R N. ω : ω est un ouvert de tel que ϖ et ϖ est compact. udx = 1 u dx, la moyenne de u sur la boule B(x 0, r). 5

Table des matières Notations 4 Introduction 7 1 Préliminaires 9 1.1 Les espaces fonctionnels..................... 9 1.1.1 Les espaces C k...................... 9 1.1. Les espaces de Hölder................... 10 1.1.3 Les espaces de Sobolev.................. 11 1. Quelques inégalités utiles..................... 13 1..1 Inégalité de Young.................... 13 1.. Inégalité de Hölder.................... 13 1..3 Inégalité de Poincarré.................. 14 1..4 Inégalités de Sobolev................... 14 1.3 Notions d existence de solutions faibes............. 15 1.3.1 Introduction sur les opérateurs sous forme divergence. 15 1.3. L existence dans le cas linéaire.............. 16 1.3.3 L existence dans le cas semi linéaire........... 17 Régularité 1.1 La régularité pour les équations linéaires............ 1. La régularité pour les équations semi linéaires........................... 9 3 Inégalité de Caccioppoli et application 3 3.1 Pour l équation de Laplace.................... 3 3. Pour l équation de Poisson.................... 37 3.3 Pour div(a u) = 0........................ 47 Bibliographie 58 6

Introduction Dans ce mémoire nous nous intéresserons à la régularité des équations aux dérivées partielles du second ordre uniformément elliptiques. Il est souvent difficile de travailler directement dans des espaces de classe C k. Généralement, nous montrons l existence de solutions faibles dans des espaces dits de Sobolev, puis nous essayons d améliorer leur régularité. L objectif principal de ce travail est justement l étude de la régularité des solutions faibles de certaines EDPs du second ordre. Ce travail est composé de trois chapitres : Le chapitre I est consacré aux "Préliminaires". il est décomposé en trois parties : La première consiste à présenter les espaces dans lesquels nous allons travailler, à savoir les espaces de Hölder, les espaces de Sobolev et leurs propriétés. Dans la deuxième, nous énoncerons quelques inégalités qui nous seront utiles par la suite. Enfin, nous introduirons l opérateur sous forme divergence L = div(a ) + b. + c En premier lieu nous considérerons l EDP linéaire qui lui est associée, soit : Lu = f(x) L existence dans ce cas est assurée par le théorème de Lax Milgram. Ensuite, nous considérerons des équations semi linéaires du type : u = g(u) Pour l existence de solution de cette dernière, nous ferons appel aux méthodes variationnelles. 7

TABLE DES MATIÈRES 8 Le chapitre II porte sur la régularité qui sera aussi reprise au chapitre III. Nous étudierons la régularité de solutions faibles des équations qui ont déja été introduits dans le chapitre I, c est à dire de et de Lu = f(x) u = g(u) En fait, nous verrons que cette régularité dépend de celle des coefficients et du second membre. Enfin dans le troisième chapitre, nous donnerons une autre approche de la régularité grâce à "l inégalité de Caccippioli". Elle est de la forme B(x 0,r ) u p dx C u(x) u p dx, pour p (1, ) Cette inégalité est un outil simple et puissant, elle nous donne des estimations des solutions faibles. De plus, elle sert à démontrer la régularité. Cependant, elle n est pas applicable pour tout u dans W 1,p. Elle l est seulement pour les solutions de certaines EDP et problèmes variationnels. Parmi ces équations, nous nous intéresserons aux équations de Laplace, de Poisson et enfin à div(a(x)u = 0.

Chapitre 1 Préliminaires 1.1 Les espaces fonctionnels 1.1.1 Les espaces C k Définition 1.1.1 Soient R N et E un espace vectoriel sur R. Une fonction u : R est dite continue en x 0 si x 0, ε > 0, δ > 0 tel que x E, x x 0 < δ u(x) u(x 0 ) < ε, où la norme dans R N est la norme euclidienne. Définition 1.1. Soit un ouvert de R N. On définit C 0 () := {u : R u est continue }. C 0 () := { u : R u est continue et se prolonge continument sur }. Si u C 0 (), alors sa norme est donnée par u C 0 () = sup x u(x). De plus, (C 0 (), C 0) est un espace de Banach. Définition 1.1.3 Soit un ouvert de R N. Une fonction u : R est dite de classe C k sur si toutes ses dérivées partielles jusqu à l ordre k existent et sont continues. 9

CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRES 10 Plus formellement, u : R est de classe C k sur si m u C 0 (), m {0, 1,..., k}, On pose alors C k () := { u : R u est de classe C k sur } C k () := { u : R u est de classe C k sur, et toutes ses dérivées partielles jusqu à ce que l ordre k se prolongent continument sur } Ainsi C () := k 0 C k (), C () := k 0 C k () et u C k = max 0 m k (sup x m u(x) ) 1.1. Les espaces de Hölder Définitions Supposons un ouvert de R N et 0 < α 1 Une fonction u : R N est dite continue Höldérienne d exposant α si u(x) u(y) C x y α x, y Si u : R est bornée et continue, on écrit u C() = sup u(x) x La semi norme d ordre α de la fonction u : R est { } u(x) u(y) [u] C 0,α () = sup x,y x y x y α et la norme d ordre α par u C 0,α () = u C() + [u] C 0,α ()

CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRES 11 L espace de Hölder C k,α () est constituée des fonctions C k () pour lesquelles la norme u C k,α () = D α u C() + [D α u] C 0,α () α k α =k est fini. Donc l espace C k,α () est constitué de fonctions qui sont k fois continument différentiables et leur dérivées partielles sont continues Höldériennes d exposant α. 1.1.3 Les espaces de Sobolev L espace W 1,p et ses propriétés Définition 1.1.4 L espace de Sobolev { W 1,p () = u L p (); g 1,..., g N L p () Remarque 1 Si p = on écrit souvent Pour u W 1,p () on note H 1 () = W 1, (). u = g i. L espace u W 1,p () est muni de la norme ou parfois la norme équivalente u W 1,p = u L p + u ϕ } = g i ϕ ϕ C0 () i = 1,,..., N u i=1 ( u p L p + N i=1 u L p p L p ) 1 p (si 1 p < ) Proposition 1.1.1 L espace W 1,p est un espace de Banach pour 1 p ; réflexif pour 1 < p < et séparable pour 1 p <. L espace H 1 est un espace de Hilbert séparable.

CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRES 1 Voici un résultat important de densité : Théorème 1.1.1 (Friedrichs) Soit u W 1,p avec 1 p <. Alors il existe une suite (u n ) de Cc (R N ) telle que (i) u n u dans L p () (ii) u n ω u ω dans L p (ω) N pour tout ω Proposition 1.1. (Dérivation d un produit ) Soient u, v W 1,p () L () avec 1 p. Alors uv W 1,p () L () et (uv) = u v + u v i = 1,,.., N Définition 1.1.5 Soit 1 p < : W 1,p 0 () désigne la ferméture C c () dans W 1,p (). On note H 1 0() = W 1, 0 () Théorème 1.1. On suppose de classe C 1. Soit u W 1,p () C ( ) avec 1 p < Alors les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) u = 0 sur (ii) u W 1,p 0 () Théorème 1.1.3 (Rellich Kondrachov) On suppose borné de classe C 1. On a Si p < N, alors W 1,p () L q (), q [1, p [ où 1 = 1 1 p p N Si p = N, alors W 1,p () L q (), q [1, [, Si p < N, alors W 1,p () C(), avec injections compactes.

CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRES 13 L espace W k,p Définition 1.1.6 Soient k un entier et soit p un réel avec 1 p. L espace W k,p est défini par u L p () W k,p () = Si u W k,p () alors on définit sa norme par ( α k Dα u p dx u W k,p () = α avec α < k g α L p () tel que u Dα ϕ = (1) α g ϕ, ϕ C 0 () ) 1 p 1 p < α k ess sup D α u (p = ) 1. Quelques inégalités utiles 1..1 Inégalité de Young Définition 1..1 On dit que p, q [1, [ sont deux exposants conjugués si 1 p + 1 q = 1 Proposition 1..1 (inégalité de Young) Soient 1 < p, q < tels que Alors 1 p + 1 q = 1 ab ap p + aq q 1.. Inégalité de Hölder (a, b > 0) Soit R N, supposons que 1 p, q tels que 1 p + 1 q = 1 Si f L p, g L q, alors fg L 1 et fg f L p g L q

CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRES 14 1..3 Inégalité de Poincarré Proposition 1.. Soit un sous ensemble ouvert connexe et borné de R N, avec frontière, de classe C 1. Supposons 1 p. Alors, il existe une constante C dépendante seulement de N, p et telle que pour chaque fonction u W 1,p (). u u L p () u L p () 1..4 Inégalités de Sobolev Théorème 1..1 Soit un sous-ensemble ouvert de R N classe C 1. Supposons u W k,p (). Si k < n p de frontière de alors u L q () où et en plus, on a l estimation 1 q = 1 p k N u L q () C u W k,p () la constante C dépend seulement de k, N, p et Si k > N p alors u C k [ N p ] 1,α () où α = [ N ] + 1 N si n est pas entier p p n importe quel nombre positif <1 si N p est entier et en plus, on a l estimation u C k [ N p ] 1,α () C u W k,p () la constante C dépend seulement de k, N, p et.

CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRES 15 1.3 Notions d existence de solutions faibes 1.3.1 Introduction sur les opérateurs sous forme divergence Tout d abord, on introduit les opérateurs sous forme divergence i,j=1 ( a i,j (x) u ) + x j u a i,j (x) + x j i,j=1 i=1 i=1 b i (x) u + c(x)u = f(x) dans (1.1) b i (x) u + c(x)u = f(x) dans (1.) où est un sous-ensemble borné de R N, a i,j (x), b i, c f : R sont des fonctions données. En utilisant A = (a i,j ) i,j=1,...,n et b = (b 1,..., b N ) T, on peut écrire (1.) sous la forme tr(a u) + b. u + cu = f dans et (1.1) sous la forme div(a u) + b. u + cu = f dans On dit que l EDP Lu = 0 est sous forme divergence si l opérateur L est donné par (1.1) et qu elle n est pas sous forme divergence s il est donné par (1.). Remarque Si les coefficients a i,j sont de classe C 1, l équation (1.1) peut être réecrite sous forme de (1.), et vice versa. En effet ; On a a i,j u div(a u) = tr(a u) + Si, on pose alors (1.) est équivalente à u a i,j (x) + x j i,j=1 bi = b i + i=1 j=1 i,j=1 a i,j x j, bi (x) u + c(x)u = f(x) dans (1.3)

CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRES 16 Définition 1.3.1 L opérateur L est elliptique si pour tout x, tout ξ R N, il satisfait ξ.a(x)ξ > 0 (i.e, toutes les valeurs propres de A sont positives). On dit que L est uniformément elliptique s il existe une constante β > 0 telle que ξ.a(x)ξ > β ξ pour tout x et tout ξ R N. L ellipticité veut dire que pour chaque point x, la matrice symétrique A(x) est définie positive et que sa plus petite valeur propre est majorée par β. 1.3. L existence dans le cas linéaire Supposons que a i,j, b i, c L () i, j = 1,..., N, et f L (). Définition 1.3. (Solutions faibles) La forme bilinéaire associée à l opérateur sous forme divergence est : B[u, v] = i,j=1 a i,j (x) u v + i=1 pour u, v H 1 0() On dit que u H 1 () est solution faible de (1.1) si B[u, v] = (f, v) b i (x) u + c(x)u dx pour tout v H 1 0() où (, ) dénote le produit scalaire dans L (). Supposons que H est espace de Hilbet réel de norme et de produit scalaire(, ). Théorème 1.3.1 (Lax Milgram) Supposons B : H H R est une application linéaire pour laquelle, il existe deux constantes α, β > 0 telles que (i) B[u, v] α u v (u, v) H et (ii) β u B[u, u] u H et soit f : H R une fonctionnelle linéaire bornée dans H.

CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRES 17 Alors, il existe une solution unique u H telle que pour tout v H. B[u, v] =< f, v > 1.3.3 L existence dans le cas semi linéaire Tout d abord, nous allons donner quelques définitions Définition 1.3.3 Soit X un espace de Banach et E C 1 (X). On dit que u X est un point critique de E si E (u) = 0; sinon il est régulier. On dit que c R est une valeur critique de E,s il existe un point critique de E avec E(u) = c. On dit que la suite (u n ) n X est de Palais-Smale de niveau c, (P S) c, si E(u n ) c et E (u n ) 0 dans X, le dual de X Condition de Palais-Smale (P.-S) Toute suite de Palais-Smale a une sous-suite convergente. 1. Méthode directe Théorème 1.3. Supposons X un espace de Banach réflexif avec la norme, et soit M X un sous ensemble faiblement fermé de X. Supposons E : M R est coercive et faiblement semi continue sur M par rapport à X, i.e, on suppose que les conditions suivantes sont satisfaites : (1) E(u) quand u, u M. () Pour tout u M, toute suite (u n ) dans M telle que u n u faiblement dans X, on a E(u) lim inf n E(u n) Alors u est borné inférieurement sur M et atteint son minimum dans M.

CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRES 18. Méthodes variationnelles u(x) = u p pour x (P 1 ) u(x) > 0 pour x u(x) = 0 pour x où p = N+ N = 1 est critique de point de vue d injection de Sobolev. En fait, les solutions de (P 1 ) correspondent aux points critiques de la fonctionnelle d énergie E(u) = 1 u dx 1 u p+1 dx p + 1 Notons que p + 1 = N est l exposant limite de l injection de Sobolev N H0() 1 L p+1 (). Puisque l injection n est pas compacte, la fonctionnelle ne satsfait pas la condition de Palais-Smale et dans ce cas nous avons le résultat de non-existence dû à Pohozaev suivant : Quand est ètoilé alors le problème (P 1 ) avec p = N+ n admet pas N de solutions. Si on ajoute une perturbation à (P 1 ), on peut avoir des solutions même dans le cas critique. En effet, soit le problème de Brézis-Nirenberg (P ) u(x) = u p + λu pour x u(x) > 0 pour x u(x) = 0 pour x Les solutions de (P ) sont les points critiques de la fonctionnelle d énergie E(u) = 1 u λ u 1 u p+1 dx p + 1 or puisque l équation est homogène, on peut utiliser Minimisation sous contrainte On minimise la fonctionnelle : Ẽ(u) = 1 u 1λ u sur la

CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRES 19 sphère unité dans L p+1 (), M = {u H 1 0() : u p+1 L p+1 = 1} un point critique de Ẽ satisfait l équation u λu = µu p où µ est le multiplicateur de Lagrange, donc après avoir trouver la valeur de µ on obtient une solution de (P ). ou d une manière équivalente, Minimisation du quotient de Sobolev S λ (u ; ) = u p λ u ( u p+1 dx) /p+1 On a le résultat suivant Théorème 1.3.3 (a) N 4, (P ) a une solution pour tout λ (0, λ 1 ) et n admet pas de solution quand λ / (0, λ 1 ) et étoilé, où λ 1 est la première valeur propre de. (b) N = 3, on a une solution complète seulement quand est une boule. Dans ce cas (P ) a une solution ssi λ ( 1 4 λ 1, λ 1 ). De plus, on a le resultat de non-existence suivant : Théorème 1.3.4 Soit R N un domaine régulier dans R N, N 3 qui est étoilé par rapport à l origine dans R N, et soit λ 0. Alors, l unique solution du problème (P ) est la solution triviale. Méthode de Minimax Elle est basée sur le lemme du Col ou parfois appelé la méthode de Montain Pass. Théorème 1.3.5 ( Mountain Pass) Supposons E C 1 (X) satisfait (P-S). Supposons (a) E(0) = 0 ; (b) ρ > 0, α > 0 : u = ρ E(u) α ;

CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRES 0 (c) u 1 X : u 1 ρ et E(u 1 ) < α. Définissons Alors P = {p C 0 ([0, 1[; X); p(0) = 0, p(1) = u 1 }. est une valeur critique. β = inf p P sup p P α Ce théorème nous fournit des solutions pour des problèmes plus généraux. En effet, soit u = g(., u) dans u = 0 sur Théorème 1.3.6 Soit un domaine régulier borné dans R N, N 3, p > 1 et soit g : R R une fonction de Carathéodory avec primitive G(x, u) = u g(x, v) = dv. 0 Supposons que les conditions suivantes sont satisfaites g(x,u) (a) lim sup u 0 0 uniformément en x ; u (b) p <, C : g(x, u) C(1 + u p 1 ) pour presque tout x, u R (c) q >, R 0, C : 0 < q G(x, u) g(x, u) u pour presque tout x, si u 0. Alors, le problème admet des solutions non-triviales u + 0 u dans.

Chapitre Régularité.1 La régularité pour les équations linéaires Dans ce chapitre, on étudie les équations de la forme i,j=1 ( a i,j (x) u ) + x j i=1 b i (x) u + c(x)u = f(x) dans (.1) où est un sous-ensemble borné de R N, a i,j (x), b i, c f : R sont des fonctions données. Dorénavant, on suppose la condition de symétrie a i,j (x) = a j,i (x) i, j = 1,..., N Si on a une équation qui ne satisfait pas cette dernière condition, alors on peut remplacer a i,j par ã i,j = 1 (a i,j + a j,i ) afin d avoir une équation équivalente qui a la propriété de symétrie. Une fois qu on a une solution faible d une équation telle que Lu = f dans (.) On aimerait bien qu elle soit une solution classique. Une condition necessaire pour ceci est bien évidemment que la dérivée seconde existe, ce qui nous ramène à un problème de régularité. 1

CHAPITRE. RÉGULARITÉ On suppose que L est uniformément elliptique avec la constante d ellipticité β > 0. Avant d annoncer le résultat principal de cette partie, on a besoin de la proposition suivante : Proposition.1.1 (i) Supposons u, v L () et que l un d eux est à support compact dans. Alors, pour h < dist(k, ), on a u(x) k h (v) dx = h k u(x) v(x) dx (ii)si u W 1,p () et pour h < dist(k, ), on a et (iii)pour h < dist(k, ), on a Preuve. (i) h k (u) W 1,p () xk ( h k u) = h k ( xk u) h k (uv)(x) = u(x + he k ) h k v(x) + h k u(x) v(x) u h k (v) dx = = u(x) v(x + he k v(x) dx h u(x)v(x + he k ) u(x)v(x) dx h h et en faisant le changement de variable x en x he k dans la première intégrale, il vient que u k h u(x he k )v(x) u(x)v(x) (v) dx = dx dx h h u(x) u(x he k ) = v(x) dx h = h k (x) v(x) dx dx

CHAPITRE. RÉGULARITÉ 3 (ii) < xk ( k h (u)), ϕ > = < k h (u), xk ϕ > = k h (u) xk ϕ dx = u h k ( x k ϕ) dx par (i) < xk ( k h (u)), ϕ > = u k h xk ( h k ϕ) = xk u h k ϕ dx = k h ( xk u) ϕ dx par (i) = < h k ( xk u), ϕ > (iii)on a par définition de h k k h (uv)(x) = u(x + he k)v(x + he k ) u(x)v(x) h = u(x + he k ) v(x + he k) v(x) + u(x + he k) u(x) v(x) h h = u(x + he k ) k h v(x) + k h u(x)v(x) Théorème.1.1 Supposons que a i,j C 0,1 () et b i, c L (). Si u H 1 () est une solution faible de (.1) pour f L (), alors u Hloc (). Preuve. Fixons k 1,..., N, on utilise l opérateur de difference k h w(x) = 1 h (w(x + he k) w(x)), où k est le k ème vecteur unitaire. Supposons que est précompact dans, soit η C 0 () avec 0 η 1 et η 1 dans. Définissons v = h k (η h k u)

CHAPITRE. RÉGULARITÉ 4 si h est suffisemment petit, alors elle est bien définie dans et v H0(). 1 D où v.a udx = vdiv(a u) = v(b. u + cu f)dx (.3) On calcule v.a udx = ( h k (η k h u)).a udx h k (η k h u).a udx par (ii) = = (η k h u). k h (A u)dx par (i) = (η k h u).(a(x + he k ) k h u + k h A u)dx par (iii) = η k h u.a(x + he k ) k h udx (.4) + η k h u. k h A u + η k h u η.a(x + he k ) k h udx + η k h u η. k h A u dx soit I = ( η k h u dx) 1 alors par l ellipticité de L, on a ce qui implique que βi β h k u h k u.a(x + he k ) h k u De plus, par l inégalité de Hölder, on a η h k u.a(x + he k ) h k udx η ( k h u). k h A udx ( η k h u dx) 1 ( η k h A u dx) 1 (.5)

CHAPITRE. RÉGULARITÉ 5 D où,pour C 1 = A C 0,1 (), on obtient η k h u. k h A u dx C 1 I u L () de la même manière, on a η k h u η.a(x + he k ) k h u dx ( ) 1 ( η k h u η dx η A(x + he k ) k h u dx ( ) 1 η L () h k u A L (supp η) L () = C h k u L (supp η) I η k h u dx avec C = η L () A L () et η k h u η. k h A u dx C 3 u L () h k u, L (supp η) Avec C 3 = η L () A C 0,1 (). En utilisant la formule D où h k u L ( ) = k h u(x) = 1 h = [0,h] [0,h] h 0 [0,h] [0,h] h 0 [0,h] d dt u(x + te k) dt d dt u(x + te k) dt, d dt u(x + te k) dt dx d dt u(x + te k) dt dx ) 1 u(x + te k ) dt dx (par l inégalité de Hölder) x k u(x + te k ) dx dt (par le théorème de Fubini) x k u(x) dx dt x k u L ()

CHAPITRE. RÉGULARITÉ 6 Ainsi (.4) et les inégalités ci-dessus montrent que βi v.a udx + C 4 I u L () + C 4 u L () pour un nombre C 4 qui dépend seulement de η et A. D autre part, par (3.1) et l inégalité de Hölder, on a où Finalement pour C 6 = η L (). v.a udx C 5 v L (suppη) ( u H 1 () + f L () ) (.6) C 5 = b L () + c L () + 1. v L (suppη) = ( ( = ( h k (η h k u) dx) 1 (η h k u) dx) 1 η h k u + η η( h k u) dx) 1 I + C 6 u L () Maintenant, on utilise (3.13) et ces dernières inégalités pour estimer le premier terme du coté droit de (3.1). Et en utilisant l abbréviation on obtient E = ( u H 1 () + f L () ) βi C 7 IE + C 7 E pour une constante C 7 qui dépend seulement des coefficients de L et η. Ainsi par l inégalité de Young βi βi + C 7E β + C 7E

CHAPITRE. RÉGULARITÉ 7 i.e η h k u dx = I C 8E pour C 8 = C 7 β +C 7 et par le théorème de Alaouglu, il existe une suite h l 0 telle que h l k u g faiblement dans (L ( )) N pour un certain g (L ( )) N. Pour ϕ (C0 ( )) N on a donc trouver ϕ. udx = lim ϕ. udx = lim x k l + l + ce qui signifie que g = u x k Ainsi u H ( ). h l k au sens faible. ϕ. h l k udx = ϕ.gdx En appliquant le théorème précédent succéssivement, on va ganner en chaque étape un peu plus de régularité. Un tel raisonnement -typiques aux EDP- est appelé la technique de Bootstrap. Théorème.1. Supposons que les coefficients sont C m,1 (). Si f H m () et u H 1 () est une solution faible de (.1), alors u (). H m+ loc Preuve. Soit u une solution faible de Lu = f, alors A u. v + b. u v + cuv dx = fv dx, v H 1 0() Puisque v appartient à D(), on peut utiliser v fonction test, on aura x k au lieu de v comme A u. ( v ) + b. u ( v ) + cu( v ) dx = f( v ) dx x k x k x k x k (.7) On sait par le théorème précédent que u H ( ) Si de plus les a i,j C 1,1 () alors chaque composante du vecteur A. u appartient à H 1 ( ).

CHAPITRE. RÉGULARITÉ 8 Et en permutant entre et x k, on trouve à partir de (.7) que (A u). vdx+ b. u( v )dx+ cu( v ) dx = f( v )dx x k x k x k x k ce qui implique que ( A ( u ) + A ) ( u. u. vdx b. ( u v) u ) v + x k x k x k x k Ce qui équivaut à écrire (cu)vdx = x k f x k vdx L u v = x k f v dx x k A u. v dx x k b.( u v) x k c x k uv dx Vu que le second membre de l équation précédente appartient à L loc () alors l application du théorème précédent nous donne u x k H loc() D où u H 3 (). En continuant ce processus, ou bien en appliquant seulement ce qu on a appliqué à u x k, on conclut par itération. Corollaire.1.1 Si les coefficients sont C () et f C () alors une solution faible u H 1 () de (.1) appartient à C (). Preuve. Par le théorème précédent, on a que u H m () pour tout m,. Puisque m est quelconque, on peut le choisir supérieur à N et donc par injection de Sobolev (W m, () C q,α ()), et par conséquent, il va finir par dépasser tout entier q. D où u C q () pour tout q. En particulier, u C ().

CHAPITRE. RÉGULARITÉ 9. La régularité pour les équations semi linéaires A présent, on s intéresse à la régularité de solution de u = g(u) dans (.8) où g C 0 (R) est une fonction donnée. C est l équation d Euler Lagrange de la fonctionnelle E(u) = ( 1 u + G(u))dx où G(y) = y 0 g(s) ds Le comportement de la solution de l équation (.8) dépend d une manière cruciale du taux de croissance de g quand y. on suppose que pour deux constantes C 0 et α 1 g(y) C 0 ( y α + 1), y R (.9) Théorème..1 Soit N 3 et supposons que α < N+ N. Si u H 1 () est une solution faible de (.8), alors u est localement continue Höldérienne dans. Pour montrer ce théorème, on a besoin du théorème suinvant, qui est une extension de la théorie de la régularité du paragraphe précédent Théorème.. Supposons que 1 p et f L p (). si u H 1 () est une solution faible de u = f, alors u W,p loc (). Preuve. Le cas N = 1 est évident, puisqu on a u x = f qui appartient à L p () par hypothèse. Supposons que N et définissons Φ(x) = 1 log x, si N = π

CHAPITRE. RÉGULARITÉ 30 et Alors la convolution x N Φ(x) = N(N ) B(0, 1) si N 3 v(x) = Φ(x y)f(y)dy (.10) est une solution faible de v = f dans. Ainsi w = u v est harmonique dans (i.e, w = 0) on sait d après le corrolaire.1.1 que les fonctions harmoniques sont des fonctions lisses (de classe C ) et donc pour achever la démonstration, il suffit de montrer que v W,p loc (). Ceci résulte des estimations des intégrales singulières du type (.10).[10] Lemme..1 Supposons que u H 1 () L p () est une solution faible de si p < αn, alors u Lq loc () pour un nombre q tel que : 1 q = α p N si p > αn, alors u est localement continue Höldérienne. Preuve. Par (.9), on a u α L p/α () Par conséquent u W,p/α loc () en vertu du théorème... Et par injection de Sobolev, on conclut que u L q () lorsque p < αn et u L () quand p > αn. Preuve de théorème... Tout d abord, on a par injection de Sobolev H 1 () L que, u L N N () Définissons les nombres p 0, p 1,... par p 0 = N N, 1 p k+1 = α p k N

CHAPITRE. RÉGULARITÉ 31 tant que p k < αn Le nombre suivant p k+1 est bien défini et positif et le lemme..1 implique que u L p k+1 loc (). Quand p k > αn le lemme..1 montre que u est localement continue Höldérienne. Si p k = αn, alors p k+1 est indéfini. Mais, dans ce cas,on a u L q loc () pour tout q < αn. Si q est choisi suffisamment proche de αn, alors l application du lemme..1 deux fois montre la continuité Höldérienne locale. Par conséquent, on a à montrer que p k αn après un nombre fini d étapes. Pour ceci, soit β = α 1 < 4 N car α < N+ par hypothèse. N Alors 1 1 = β p k+1 p k p k N Si p k N, alors on obtient N 1 p k+1 1 p k β(n ) N N < 0 Ce qui implique que p k+1 > p k N N Et on conclut que tant que p k+1 est bien défini et positif, on a De plus, p k+1 p k N N 1 1 1 1 p k+1 p k p k p k 1 Par conséquent, on a après un nombre fini d étapes que p k αn

Chapitre 3 Inégalité de Caccioppoli et application Une autre approche de la régularité est basée sur l inégalité de Caccioppoli. Fixons p (1, ), 0 < r < r l inégalité de Caccioppoli est de la forme u p dx C u p dx (3.1) B(x 0,r ) Une fonction dans W 1,p (B(x 0, r)) ne satisfait pas forcément (3.1), elle doit aussi être solution de certaines d E.D.P. Lorsque c est le cas cette inégalité nous aide à montrer la régularité. 3.1 Pour l équation de Laplace u = 0 dans (3.) Proposition 3.1.1 (Inégalité de Caccioppoli) Soit x 0, 0 < r < r tels que B(x 0, r). Si u satisfait (3.), alors il existe C > 0 tel que B(x 0,r ) u dx C u dx (3.3) (r r ) 3

CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 33 Remarque Si u est harmonique, il en est de même pour u C pour n importe quelle constante C R en particulier pour C = 1 B(x 0, r) Donc, on a l inégalité suivante : u C dx (r r ) B(x 0,r ) u = u B(x0,r) u u B(x0,r) dx (3.4) L inégalité (3.4) est une sorte d inverse de l inégalité de Poincaré. Preuve. Soit η C 0 (B(x 0, r)) tel que 0 η 1 dans B(x 0, r), η 1 dans B(x 0, r ) et η r r. On a On développe u (uη ) = u. (uη ) = u. (uη)η + u. η(uη) u (uη ) = 0 = ( (uη) u η). (uη) + ( (uη) u η).u η = (uη) η (uη)u + (uη). ηu η u = (uη) η u Par conséquent, on a (uη) dx = η u dx ce qui implique, par définition de η que u dx u dx B(x 0,r ) η u dx 4 u dx (r r ) La proposition suivante montre que la norme de la solution faible du laplacien dans L contrôle toutes les normes dans H k

CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 34 Proposition 3.1. Soit x 0, 0 < r < r tel que B(x 0, r). Si u = 0 dans, alors u H k () C(r, r, k) u L (), pour tout k N Preuve. Pour k = 1 : On somme l inégalité B(x 0,r ) avec l inégalité (3.3). On trouve u p dx u p dx u H Pour k = : Soit r 1 = r+r de sorte que r 1 ]r, r[. C u H B(x0,r) Le laplacien étant un opérateur sous forme divergence à coefficients constants, alors u est de classe C, on peut donc dériver (3.) pour tout i 1,..., n vu que la fonction ω est harmonique, on peut appliquer l inégalité de Caccioppoli à ω. Ainsi B(x 0,r ) ( ) u 4 (r 1 r ) 4 (r 1 r ) B(x 0,r 1 ) B(x 0,r 1 ) u u (3.5) En appliquant l inégalité de Caccioppoli à nouveau entre r 1 et r, on trouve u 4 u (r r 1 ) B(x 0,r 1 ) Et en combinant les deux inégalités obtenues, il vient que D où B(x 0,r ) ( ) u C Et le cas général se fait par itération. u H (B(x 0,r )) C u L () u

CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 35 Proposition 3.1.3 (Résultat de compacité) Soit r > 0 et (u n ) n N une suite bornée de fonctions harmoniques dans B(r). Alors pour tout 0 < r < r et k N, il existe une sous-suite (u σ(n) ) n N, et u H k (B(r)) tel que u σ(n) u dans H k (B(r )) De plus u = 0 Preuve. Comme la suite (u n ) n N est bornée dans L (B(r)), on peut extraire une sous-suite u σ(n)n telle que u σ(n) u df < u σ(n), ϕ > < u, ϕ >, ϕ L (B(r)) et pour tout ϕ C 0 (B(r)) par densité. D où B(r) u ϕ = 0, ϕ C 0 (B(r)) et u = 0 La fonction (u σ(n) u) étant harmonique, on peut appliquer l inégalité de Caccioppoli. Soit r 1 = r +r, on a B(r 1 ) (u σ(n) u) C B(r) u σ(n) u C Puisque la suite (u σ(n) u) est bornée dans H 1 (B(r 1 )), alors (u σ(n) u) 0 dans H 1 (B(r 1 )) et par injection de Rellich Kondrachov, on aura En particulier, (u σ(n) u) 0 dans L (B(r 1 )) (u σ(n) u) 0 dans L (B(r 1 )) Appliquons à nouveau l inégalité de Caccioppoli, mais cette fois-ci entre r 1 et r, (u σ(n) u) C u σ(n) u 0 B(r ) B(r 1 )

CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 36 Ainsi u σ(n) u fortement dans H 1 (B(r )) et en procédant comme dans la proposition précédente, on montre que u σ(n) u fortement dans H k (B(r ))

CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 37 3. Pour l équation de Poisson Soit u = g(x, u, u) dans (3.6) où g : R R N R est une fonction continue qui vérifie une certaine constante de croissance, à savoir, on suppose qu ils existent deux constantes telles que C 0 > 0 et q > 1 g(x, y, z) C 0 ( z q + 1), pour tout u W 1,p (), z R N et Maintenant, on définit λ = q 1 q µ = λ + 1 = 1 q 1 Lemme 3..1 Pour tout δ > 0, il existe r 0 > 0, ε > 0 et θ (0, 1 ] avec la propriété suivante : Supposons que u W 1,p () est une solution faible de (3.6) et B(x 0, r). Si r r 0 et r µp N u p dx < ε p alors, soit ou B(x 0,θr) r p N u p dx r p u ub(x0 p,θr) dx δ r p N u p dx

CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 38 Preuve. Raisonnons par l absurde, on suppose que pour un certain δ > 0, pour tout θ (0, 1 ] fixé, B(x k, r k ) tel et mais et B(x k,θr k ) r µp N k r p N k B(x k,r k ) B(x k,r k ) r k 0 uk u B(xk p,θr k ) dx > δ r p N Notons que (3.8) et (3.9) signifient u k p dx = ε p k 0 (3.7) u k p dx > r p k (3.8) k B(x k,r k ) u k p dx (3.9) et ε p k > rµp k (3.10) B(x k, θr k ) uk u B(xk p,θr k ) dx > δ ε p k r λp k (3.11) en effet, à partir de (3.7), on a B(x k,r k ) u k p dx = r µp+n k ε p k en remplaçant cette dernière en premier temps dans (3.8), on trouve ε p k > rp p+n+µp N k d où (3.10) et ensuite dans (3.9), on obtient uk u B(xk,θr k ) d où (3.11). B(x k,θr k ) p dx > δr p N µp+n k ε p k = δr(1 µ)p k ε p k Définissons v k (x) = rλ k ε k (u k (r k x + x k ) u B(xk,θr k ))

CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 39 alors on a, v k (x) = rµ k ε k u k (r k x + x k ) B(0,1) v k p dx = rµp N k ε p k B(x k,r k ) u k p = 1, par (3.6) (3.1) de plus B(0,θ) v k dx = 0 (3.13) et par (3.11) B(0,θ) on calcule aussi v k p dx = rλ+ k ε k B(x k,θr k ) v k (x) = rλ+ k ( u k (r k x + x k )) ε k donc B(0,1) r λ+ k C 0 (( u k (r k x + x k ) ) q + 1) ε k = C 0 (ε q 1 k r λ+ µq k ( C 0 ε q 1 k v k q + rλ+ k rk 0 v k q + rλ+ k r µ k = C 0 (ε q 1 k v k q + r k ) u k u B (x k, θr k ) p dx > δ (3.14) ) ε ) k, par définition de λ, µ et (3.10) v k C 0 ε q 1 k v k q dx + C 0 B(0, 1) r k 0 quand k (3.15) B(0,1) il vient de (3.1) et (3.13) que (v k ) k N est bornée dans W 1,p (B(0, 1)), donc il existe une sous-suite (v kl ) l N tel que v kl v faiblement dans W 1,p (B(0, 1)) pour un certain v W 1,p (B(0, 1)). Pour ϕ C0 (B(0.1)), on a B(0,1) v. ϕdx = lim l + B(0,1) v kl. ϕdx = lim v kl ϕdx = 0 l + B(0,1)

CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 40 La dernière égalité provient de (3.15). Ainsi, v = 0 dans B(0, 1) et par le corollaire (.1.1) du chapitre v C (B(0, 1)) D où u = 0 pour tout i 1,, N. le théorème de la valeur moyenne pour les fonctions harmoniques nous donne une constante C 1 telle que v p dx v p dx C 1. De plus, on a B(0,θ) B(0,θ) et l inégalité de Poincaré implique que v p dx C θ p B(0,θ) B(0,1) vdx = 0 B(0,θ) pour une autre constante C et pour C 3 = C 1 C v p dx C 3 θ p D autre part en vertu du théorème de Rellich-Kondrachov, on a v kl dans L p (B(0, 1)). D où (3.14) implique que v p dx δ B(0,θ) Si θ est choisi suffisemment petit, on obtient la contradiction désirée. v A présent, on a besoin du résultat suivant : Lemme 3.. (Morrey) supposons que u W 1,p () et qu ils existent deux nombres α (0, 1) et a > 0 tels que r p n ( u ) p dx a r αp pour toute boule B(x 0, r) alors u C 0,α loc ()

CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 41 Preuve. On a u(x) u(y) u(x) u B + u(y) u B or u(x) u B = lim u ε (x) u B ε 0 u(w) C dw dz B(x 0,ε) B z w n 1 dz = C ( u(w) dw B B(x 0,ε) z w n 1 u(w) C dw x w n 1 De la même manière u ε (x) u B C B B u(w) dw y w n 1 Ainsi u(w) u(w) u(x) u(y) C dw + dw B x w n 1 B y w n 1 C x y ( 1 λ MdiamB u (x) λ + MdiamB u (y) ) λ On prend λ = 1 α, alors ( C x y 1 λ sup r λ u (z) p dz 0<r<R C x y 1 λ sup r λ (M p r n p+αp ) 1/p 0<r<R u(x) u(y) C M x y α ) 1/p Et puisque le lemme de Morrey est de nature local, on a pas besoin d imposer d hypothèse de régularité sur la frontière de. Théorème 3..1 Supposons que N µp et soit C > 0, si u W 1,p () est une solution faible de (3.6) dans et ( r p n u ) p dx C u u B (x 0, r) p dx (3.16) B(x 0, r ) pour toute boule B(x 0, r), alors u est localement Höldérienne continue.

CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 4 Preuve. Choisissons x 0, on a ( lim r 0 r µp n ) u p dx = 0 Ainsi pour un δ donné et les nombres correspondants, r 0, ε et θ du lemme 3..1, il existe un rayon R (0, r 0 ] tel que la condition r µp N u p dx ε p est satisfaite pour tout r (0, R] alors soit r p n u p dx r p ou B(x 0,θr) ( u u B (x 0, θr) ) p dx δ r p n u p dx Dans le deuxième cas, on combine ça avec l inégalité de Caccioppoli (3.16), pour σ = θ, on obtient (σr) p n u p dx Cδr p n u p dx B(x 0,σr) On choisit δ de telle sorte que Cδ < 1. Alors, on a dans les deux cas (σr) p N u p dx 1 rp n B(x 0,σr) avec C 1 = σ p N, ce qui veut dire : Si on définit f(r) = r p N alors, u p dx f(σr) 1 f(r) + C 1r p, r (0, R] il s en suit qu ils existent deux constantes C, α > 0 avec f(r) C f(r)r α u p dx + C 1 r p et par le lemme 3.., on a la continuité Höldérienne locale.

CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 43 Définition On dit que l équation (3.6) est sous-critique si µp > N et critique si µp = N (pour un choix optimal de q). Ces cas sont couverts par le théorème 3..1. Si µp < N, alors l équation est sur-critique, et on ne peut pas avoir la régularité même avec l inégalité de Caccioppoli. Mais sous certaines conditions, on peut avoir des résultats de régularité partielle, si l ensemble dans lequel on perd la régularité est petit. On mesure la dimension d un tel ensemble en termes de mesure de Hausdorff. Pour un ensembe U R N, soit diamu = sup { x y : x, y U} Soit d 0.Pour Σ et ρ > 0, définissons { } Hρ d (Σ) = inf (diam U i ) d : Σ U i, (diam U i ) < ρ pour i N i=1 i=1 Cette inégalité est monotonne en ρ, d où la limite existe. H d (Σ) = lim ρ +0 +H d ρ(σ) C est la mesure de Hausdorff de Σ de dimension d. Théorème 3.. Supposons que q (1, ] et n µp. Si u W 1,p () une solution faible de (3.) qui satisfait l inégalité de Caccioppoli (3.16), alors il existe un ensemble relativement fermé Σ avec H N µp (Σ) = 0, tel que u est localement continue Höldérienne dans /Σ. Pour la preuve, on a besoin du lemme suivant : Lemme 3..3 (le recouvrement de Vitali) Soit F une collection arbitraire de boules fermées dans R N avec sup {diam B B F } <

CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 44 Alors, il existe une famille fini G de collection de boules qui sont deux à deux disjointes telles que ˆB et les boules {B j } j J B F B G sont deux à deux disjoints. Où les ˆB sont les boules concentriques de B de rayon 5 fois le rayon des boules B. Preuve. 1)Soit D = sup {diam B B F } Posons F j = {B F tel que D/ j < diam B < D/ j 1 } (j = 1,..., N) Définissons G j F j comme suit : (a) Soit G 1 une collection de boules maximales disjointes dans F 1. (b) Supposons que G 1, G,..., G k 1 ont été selectionnées, on choisit G d être comme toute sous collection maximale disjointe de { } k 1 B F k B B = pour toute boule B G j Enfin, on définit G = Il est clair que G est une collection de boules disjointes et G F j=1 )Affirmation : Pour chaque B F, il existe une boule B G telle que B B = et B ˆB. En effet : Fixons B F, il existe un indice j tel que B F j et par maximalité de G j, il existe une boule B j k=1 G k avec B B =. Mais diamb D j et diamb D j 1 de sorte que diamb diam B. D où B ˆB. G j j=1 Preuve du théorème 3..3. correspondants du lemme 3..1. Soit δ > 0 et soient ε, r 0, θ les nombres

CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 45 Définissons Σ = { ) } x 0 : lim inf (r µp N u p dx ε r 0 + Supposons que x 0 /Σ. Alors, il existe un nombre r (0, r 0 ] tel que les conditions du lemme 3..1 sont satisfaites. Similairement à la preuve précédente, on conclut que (σr) p N u p dx 1 rp N u p dx + C 1 r p B(x 0,σr) pour σ = θ, à condition que δ est assez petit. Ainsi, en multipliant l inégalité précédente par σ λp, on obtient ( ) 1 (σr) µp N u p dx σ λp rµp N u p dx + C 1 r µp B(x 0,σr) si q, alors λ 0. D où le coté droit de l inégalité précédente est majorée par ε + C 1r µp 0 et si r 0 est choisi assez petit alors on peut répéter ces arguments pour σr. On obtient éventuellement r p n u p dx C 1 r pα (3.17) pour une certaine constante C 1 et α > 0. De plus, on peut montrer ceci non seulement pour x 0, mais aussi pour tout point dans un certain voisinage de x 0. Ainsi, u est localement continue Höldérienne prés de x 0 par le lemme 3... De plus, pour chaque x 0 dans ce voisinage, on obtient une inégalité de la forme (3.17). Il s en suit que ( ) lim r 0 r µp n u p dx = 0 B( x 0,r)

CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 46 Ainsi x 0 / Σ et par conséquent Σ est relativement fermé à. A présent, on doit estimer la mesure de Hausdorff de Σ. Soit ρ > 0.Pour tout x 0 il existe un rayon r (0, ρ) tel que r µp N u p dx ε (3.18) La collection de ses boules couvre Σ. Par le lemme 3..3, on peut choisir un nombre fini de points x i Σ et leur rayons correspondants r i > 0 qui satisfont (3.18), tel que Σ B(x i, 5r j ) i=1 et B(x i, r i ) B(x j, r j ) = pour i j. D où H N µp 10ρ (Σ) (10r i ) N µp 10 N µp ε i=1 i=1 B(x i,r i ) u p dx 10 N µp ε u p L p () (3.19) D où H N µp (Σ) <, (car n µp < N). Il s en suit que Σ est un ensemble nulle pour la mesure de Lebesgue. Définissons U p = {x : dist(x, Σ) < ρ} Alors, on obtient l amélioration de (3.19) suivante : D où H N µp (Σ) = 0 H N µp (Σ) 10 N µp ε u p L p (U 5ρ ) 0 quand ρ 0

CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 47 3.3 Pour div(a u) = 0 Dans tout ce qui suit, on suppose la condition d ellipticité suivante : β ξ a i,j (x)ξ i. ξ j γ ξ i,j=1 Proposition 3.3.1 (Inégalité de Caccioppoli) Soient u H 1 () solution de Lu = 0.0 < r < r tel que B(x 0, r). Alors, il existe une constante C > 0 telle que B(x 0,r ) u dx Remarque : On ne peut pas espérer que u H k loc () Preuve. div(a(x) u) uη dx = On développe l intégrante C r r i,j=1 u (uη ) = u η (uη) + u (uη) η x j x j i x j ( (uη) = η ) η u u + x j = (uη) (uη) x j La symétrie des a i,j implique que i,j=1 a i,j (x) u (uη ) x j = i,j=1 + (uη) u dx a i,j (x) u (uη ) dx x j ( (uη) η u η (uη) x j x j a i,j (x) (uη) (uη) x j η ) (uη) u x j i,j=1 u η η x j u a i,j (x) η η x j u

CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 48 Et par l ellipticité de la matrice A β (uη) dx = i,j=1 i,j=1 γ a i,j (x) (uη) (uη) x j a i,j (x) η η x j u dx η u dx u dx 4γ (r r ) : dx Proposition 3.3. (Résultat de compacité) Soit r > 0 et (u n ) n N une suite de solutions de Lu n = 0 telle que la suite(u n ) n N H 1 (B(r)), pour tout n N (u n ) n N bornée dans L (B(r)). Alors, pour tout 0 < r < r et k N, il existe une sous-suite (u σ(n) ) n N telle que u σ(n) u dans H 1 (B(r )) De plus Lu = 0 dans B(r ) Preuve. la preuve est identique à celle de la proposition 3.1.3 Lemme 3.3.1 (Généralisation de l inégalité de Caccioppoli) Soient u H 1 () une solution de Lu = 0, x 0, r > 0 tels que B(x 0, r). Si Alors, pour tout η C 0 (B(x 0, r)), u p+1 L 1 (B(x 0, r)) avec p 1, (3.0) et u p+1 η H 1 (B(x 0, r)) ( u p+1 η) C(p + 1) u p+1 η (3.1)

CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 49 Commentaire Si p = 1, on retrouve l inégalité de Caccioppoli. Pour p 1, la propriété (3.0) est automatiquement vérifiée grâce à l injection de Sobolev H 1 (B(x 0, r)) L (B(x 0, r)). Notons que Preuve. On a On prend i,j=1 1 = n + n > 1 a i,j (x) u v x j dx = 0, v H 1 0() (3.) v + = u p + η v = u p η Etape 1 : On suppose en premier lieu que u L () (on va voir après comment s en débarrasser de cette hypothèse) on a donc On développe i,j=1 a i,j u (u + η ) x j = 0 u (u p +η ) = u (u p +) η + u u p + x j x j = pu p 1 u + u + + On a les relations suivantes et (u p+1 + η) u p+1 + p+1 (u+ η) = x j = p+1 u+ = x j = I 1 + I ( p + 1 ( p+1 u+ η + u p+1 x + i p+1 u+ x j η + u p + η x j ) u p 1 u + u + + x j η )( u+ p+1 u + η x j ) η + u p+1 η x + j x j p+1 u+ η + u p+1 η η + + p + 1 x j x j 4 u p + ( u+ η x j + u + x j η )

CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 50 Ainsi I 1 = p+1 + 4p u (p + 1) = p+1 u+ η x j 4p [ p+1 (u + η) (p + 1) p+1 (u+ η) u p+1 η η + p + 1 x j x j 4 up + ( u+ η + u )] + η x j x j Par conséquent, (3.) est équivalente à a i,j (x) i,j=1 p+1 (u+ η) p+1 (u+ η) = p + 1 x j 4 + i,j=1 Et puisque les a i,j sont symétriques, on déduit a i,j u p + i,j=1 a i,j (x) ( u p+1 + ( u+ η + u ) + η x j x j ) η η (p + 1) u p u + η + x j 4p x j a i,j (x) i,j=1 p+1 (u+ η) p+1 (u+ η) = x j + i,j=1 i,j=1 a i,j (x)u p+1 + η η x j ( p + 1 a i,j (x) ) (p + 1) u p u + η + 4p x j Et par la condition d ellipticité, on obtient β (u p+1 + η) a i,j (x) i,j=1 p+1 (u+ η) p+1 (u+ η) x j u p+1 + i,j=1 a i,j (x) η η γ u p+1 + η x j et i,j=1 a i,j (x)u p u + η + = x j i,j=1 γ η u + η x j u p + ηu p + u + η

CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 51 D où β (u p+1 + η) γ u p+1 + η + (p + 1)γ ηu p + u + η (3.3) Afin d avoir l inégalité désirée, on doit se débarrasser du terme non symétrique de l inégalité obtenue précédente. En effet, on applique l inégalité de Young avec On obtient a = εηu p 1 + u + et b = 1 ε u p+1 + η avec ε > 0 η u p + u + η 1 D autre part, le calcul p 1 ε(ηu+ u + ) + ε 1 up+1 + η implique que (u p+1 + η) = η u p+1 + + p + 1 η u p 1 + u + D où η u p u + η Ainsi η u p 1 + u + p+1 ( (u+ η) + η u p+1 p + 1 = + + ) ε p+1 ( (u (p + 1) + η) + η u p+1 + ) + ε 1 up+1 + η ε p+1 ( (u (p + 1) + η) ε + ( (p + 1) + ε 1 ) η u p+1 + 4ε p+1 ( (u (p + 1) + η) η u p+1 + et par l inégalité de Yonug à nouveau, on a ( (u p+1 + η) η u p+1 + 1 η u p+1 η u p u + η dx 4ε (p + 1) + + 1 p+1 ( (u+ η) ( (u p+1 4ε + η) + (p + 1) + ε 1 ) η u p+1 + (3.4)

CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 5 De (3.3) et (3.4), on conclut que (β C ε ( ) p + 1 ) (u p+1 ε + η) 1 + (p + 1) + ε 1 (p + 1) η u p+1 + Donc, si on choisit ε assez petit, on obtient l inégalité désirée pour v. On procède de la même manière pour v Etape : Ici, on ne suppose plus que u L () et au lieu de prendre v + et v comme fonctions tests, on introduit des troncatures au niveau N, puis on passe à la limite. Plus précisément, posons pour n N { u+ si u u +,N = + N N si u + N de sorte que u +,N = { u si 0 u(x) N 0 si u(x) N ou u(x) 0 On prend comme fonction test :v +,N = u p 1 +,N u η et on procède de la même manière que la première étape, on trouve (u p+1 + η) + N p 1 u ηχ u N C u p+1 + η Puisque la suite u p+1 +,N η est bornée dans H1 0() et u +,N u + pour presque tout x, alors u p+1 + η H0() 1 D où et u p+1 +,N η u p+1 + η faiblement dans H0() 1 u p+1 +,N η u p+1 + η faiblement dans L () Par semi continuité inférieure, on a (u p+1 + η) lim inf (u p+1 +,N N η) C u + p+1 η Ce qui achève la démonstration. Posons λ = = N N > 1

CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 53 Lemme 3.3. Soient u Hloc 1 () une solution de Lu = 0 On suppose de plus qu il existe q > tel que u L q loc (). Alors, pour tout x 0, 0 < r < r tels que B(x 0, r), on a ( ) 1 u λq λ (1 + q) C B(x 0,r ) (r r ) En particulier, pour tout compact K de, u q i.e., u L λq loc (). u L λq (K), Preuve. soit η une fonction plateau définie comme précédemment On a par hypothèse que u L q loc (), ce qui implique que u L1 loc () or d après le lemme 3.3.1, u q η H 1 0 () et par injection de Sobolev u q η L loc() On a donc ( ( u q η) ) 1 ( C ( (u q η) ) ) 1 Et par conséquent ( ) 1 u λq λ B(x 0,r ) ( ) C ( u q η) Cq u q η (par le lemme 3.3.1) q C (r r ) u q

CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 54 Proposition 3.3.3 (Itération de Moser) Soient u Hloc 1 () une solution de Lu = 0, x 0, r > 0 tel que B(x 0, r). Alors, pour tout s <, u B(x 0, r ) et ( B(x 0, r ) u s ) 1 s ( ) 1 C(r, s) u Il en résulte que u L s (K), pour tout compact K.i.e u L s loc (). Preuve. Posons q i = λq i 1 pour i = 1,..., N avec q 0 =. Donc q i = λ i est une suite croissante et q i quand i. et r i = r + r de sorte que la suite (r i+ i ) i N décroit de r 0 à r On a alors r i r i+1 = r/ i+ Puisque u H 1 0(B(x 0, r)) alors u L. D autre part, on a q i > pour tout i 1,... alors si u L q i, on obtient en vertu du lemme 3.3.1, ( ce qui implique ( u λq i B(x 0,r i+1 ) u q i+1 B(x 0,r i+1 ) ) 1 λq i ) 1 λ i+1 ( q i C r i r i+1 ( q i C (i+1) r B(x 0,r i ) B(x 0,r i ) u q i u q i ) 1/qi ) 1 λ i ce qui signifie que : si u L q i (B(x 0, r i )) alors u L q i+1 (B(x 0, r i+1 )) et ( u q i B(x 0,r i+1 ) ) 1 λ i i 1 ( qi C (i+1) r k=0 On fait tendre i alors q i et r i r. Ce qui achève la démonstration. ) 1 λ k u B(x0,ri) Lemme 3.3.3 Il existe une constante k 0 ne dépendant que de β et γ telles que K(i, r) r n k 0

CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 55 avec Preuve. Ecrivons K(i, r) = i α(k, r) k=0 ( ) C(1 + qk ) 1 λ α(k, r) = k, pour tout k N r 4 k+1 Afin d étudier le produit, on passe au logarithme, soit ( ) C(1 + log α(k, r) = λ k qk ) log r 4 k+1 = λ k ( log C log r + log ( 1 + qk k+1 )) D où log K(k, r) = = i k=0 λ k ( ) C(1 + qk ) log r 4 k+1 i λ k (log C log r) + k=0 i ( ) 1 + λ k qk log (3.5) k=0 k+1 Comme λ > 1, alors le premier terme converge. En effet, λ k 1 = 1 λ = N 1 Donc k=0 iλ k (log C log r) N (log C log r), quand i k=0 ce qui est équivalent à écrire que i λ k (log C log r) log Cr N, i k=0 et le dernier terme de (3.5) est indépendant de r, et ( ) 1 + qk log = log (1 + q k ) + (k + 1) log où q k = λ k k+1

CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 56 log (1 + q k ) = log (1 + λ k ) k log λ lorsque k En regroupant les calculs précédents, on obtient log K(i, r) log(r N ) + C 0 Les calculs précédents vont nous permettre de montrer que u L loc (), mais on a besoin du résultat de la théorie de mesure suivant : Lemme 3.3.4 soient A un ensemble Borélien de R n de mesure non nulle, f une fonction mesurable sur A. Supposons qu ils existent des constantes M 0 > 0, s 0 > 1 telles que ( ) 1 f(x) s s M0, pour tout s s 0 A Alors et f L (A) f(x) M 0, pour presque tout x A Preuve. Pour ε > 0, on considère l ensemble W ε = {x A, f(x) M 0 + ε} On a W ε 1 r (M0 + ε) ( f(x) r ) 1 r M0, pour tout r > r 0 W ε Raisonnons par l absurde, et supposons que W ε 0, alors et l inégalité précédente donne W ε 1 r 1 lorsque r M 0 + ε M 0 ce qui est impossible, donc Il en résulte alors que W ε = 0 est de mesure nulle W = x A, f(x) M 0 = ε>0 W ε = n N W 1 n