èr S Probabilités I. Exmls itroductifs ) Exml O cosidèr l xéric aléatoir qui cosist à lacr u ièc o truqué. O ot l côté qu ll rést. O dira qu la robabilité d obtir il st égal à. O dira qu la robabilité d obtir fac st égal à. L xéric aléatoir st modélisé ar u loi d robabilité P doé das l tablau. ) Exml Résultat Pil Fac Probabilité Total O cosidèr l xéric aléatoir qui cosist à lacr u ièc truqué tll qu il y ait u chac sur qu ll rést l côté il. O ot l côté qu ll rést. O dira qu la robabilité d obtir il st égal à. O dira qu la robabilité d obtir fac st égal à. L xéric aléatoir st modélisé ar u loi d robabilité P doé das l tablau. II. Loi d robabilité ) Défiitio Résultat Pil Fac Probabilité Total O défiit u loi d robabilité sur l smbl ds résultats,,, d u xéric aléatoir lur attribuat ds ombrs fixs,,, vérifiat ls dux coditios suivats : i,,...,, 0 C : our tout tir C :... ) Tablau i ) Notatio O ot P la loi d robabilité. O écrira P (robabilité du résultat ), P (robabilité du résultat )... O dira qu l xéric aléatoir st modélisé ar la loi d robabilité P. ) Itrrétatio i st u ombr comris tr 0 t l qui msur la chac qu l résultat i a d s réalisr. III. Probabilité d u évémt ) Exml O lac u dé cubiqu truqué. O ot l uméro d la fac suériur. O suos qu l xéric aléatoir st modélisé ar la loi d robabilité P ci-dssous. Résultat 5 6 Probabilité 0, 0, 0, 0, 0, 0,5 Total = O cosidèr l évémt : «obtir u uméro air». tttio à l orthograh du mot évémt, il y a bi dux accts aigus cotrairmt à c qu laissrait suosr la roociatio usull ; il s agit d u aomali du à u rrur d tyograhi commis au XVII siècl. 6 0,7 P P P P P ) Défiitio La robabilité d u évémt st doé ar la formul P somm ds robabilités ds résultats qui costitut. ) Itrrétatio P st u ombr comris tr 0 t qui msur la chac qu l évémt a d s réalisr. IV. Cas d équirobabilité ) Défiitio O dit qu l o st das u cas d équirobabilité lorsqu tous ls résultats ossibls our l xéric aléatoir ot la mêm robabilité. ) Tablau Résultats Probabilités Total Résultats Probabilités Total
: ombr d résultats ossibls ) Vocabulair O dit qu la loi d robabilité P qui modélis l xéric aléatoir st u loi d équirobabilité ou u loi équiréarti. ) Probabilité d u évémt (Formul d Lalac) Das l cas d l équirobabilité, la robabilité d u évémt st doé ar la formul ombr d résultats ossibls our P ombr d résultats ossibls our l'xéric aléatoir 5 ) Démostratio O ot k l ombr d résultats ossibls our. P somm ds robabilités ds résultats qui costitut O a vu qu : Doc P... (k trms) P k k P ombr d résultats ossibls our P ombr d résultats ossibls our l'xéric aléatoir 6 ) Exrcic-ty (avc rédactio) U ur cotit bouls rougs R, R, R t bouls oirs N t N. O tir u boul au hasard. O ot la coulur d la boul tiré. O cosidèr l évémt : «obtir u boul roug». Calculr la robabilité d. L tirag état ffctué au hasard, o ut adotr l modèl d équirobabilité, c st-à-dir qu l o modélis l xéric aléatoir ar u loi d équirobabilité P. L ombr d résultats ossibls our l xéric aléatoir st égal à 5. L ombr d résultats ossibls our st égal à. D arès la formul d Lalac, P. 5 V. Vocabulair ds évémts ) Exml O lac u dé cubiqu. O cosidèr ls évémts : «obtir u uméro ifériur ou égal à» B : «obtir u uméro air» C : «obtir u uméro ifériur ou égal à 6» D : «obtir u uméro strictmt suériur à 6». O ot l smbl d tous ls résultats ossibls our l xéric (uivrs ds ossibls).,,,,5,6,,, B,,6 C D ) Défiitio d l uivrs ds ossibls B 6 5 Esmbl d tous ls résultats ossibls our l xéric aléatoir : ) Défiitio d u évémt qulcoqu U évémt st u arti ou u sous-smbl d. ) Défiitios d évémts articulirs évémt crtai : évémt imossibl :,,..., évémt élémtair : évémt costitué d u sul résultat (siglto) 5 ) Réuio t itrsctio d évémts B : itrsctio d t B (évémt costitué ds résultats ossibls our t B) B : réuio d t B (évémt costitué ds résultats ossibls our ou B (ou iclusif)) N.B. : B B t B B.
6 ) Exml Hyothèss du ). : «obtir u uméro ifériur ou égal à» B : «obtir u uméro air» B : «obtir u uméro ifériur ou égal à t air» B, B : «obtir u uméro ifériur ou égal à ou air» B 6 5 VI. Proriétés ds robabilités (Ls démostratios sot quasimt évidts) P) st u sac robabilisé. ) Proriété (robabilité d l évémt crtai) P ) Proriété (robabilité d l évémt imossibl) P 0 B,,,,6 7 ) Evémt cotrair \ ( rivé d ou comlémtair d das ) : évémt costitué d tous ls résultats qui aartit as à 8 ) Evémts icomatibls O dit qu dux évémts t B sot icomatibls our xrimr qu B (aucu résultat commu). Exml : U évémt t so cotrair. 5 ) Lois d Morga t B sot dux évémts qulcoqus. B B B B ) Proriété (robabilité d la réuio d évémts icomatibls) t B sot évémts icomatibls ( B ) P B P P B ) Proriété (robabilité d la réuio d évémts) t B sot évémts qulcoqus d. P B P P B P B 5 ) Proriété 5 (robabilité d u évémt cotrair) st u évémt qulcoqu d. P P 6 ) Proriété 6 (robabilités d évémts iclus l u das l autr) Si B, alors P P B. D lus, o a : P B \ P B P. B Ral : la barr vut dir cotrair. VII. Probabilités t statistiqus ; simulatios d xérics aléatoirs Li tr robabilités t statistiqus. simulr = fair comm si Itérêt d u simulatio d xéric aléatoir : dor u idé d u résultat rmttat d amorcr u modélisatio. 5 Simulatios sur ordiatur ou sur calculatric (voir xrcics). 6
Commt modélisr l hasard? U xml U ur cotit : - bouls R ; - bouls N. O tir succssivmt dux bouls avc rmis. Il y a tys d tirags ossibls : N-N // R-N // N-R // R-R Néamois o ut as dir qu la robabilité d chacu d cs tirags st égal à. C srait cotrair à l xéric. C chaitr st l occasio d rvir sur la logiqu mathématiqu. Logiqu mathématiqu logiqu d tous ls jours. E mathématiqus, o a u logiqu biair : u éocé st toujours soit vrai soit faux (as d dmimsur). E mathématiqus, ls mots ot lur ss fort : «tout» sigifi our tout, sas xctio. Evémt cotrair t égatio d u roositio Exmls simls : «Prso m écout». Cotrair d ctt roositio? «u mois u rso m écout.» «Tout l mod arl.» Cotrair d ctt roositio? «u mois u rso arl as.» Rôl du cotr-xml our démotrr qu u roositio uivrsll st fauss. 7 8
Poit-méthod Rtour sur réuio t itrsctio Exmls sur la droit réll a) Itrsctio [ [ ] ] L itrsctio st costitué ds élémts commus aux dux. «L itrsctio c st c qu il y a commu». Itrsctio : roug t blu. b) Réuio [ [ ] ] La réuio st costitué ds élémts qui aartit soit à l u soit à l autr, soit aux dux à la fois. «La réuio c st la somm ds dux.» Réuio : roug ou blu ou ls dux. Poit-méthod our chrchr la robabilité d l itrsctio d dux évémts Il y a as d formul à aliqur Pour chrchr la robabilité d u itrsctio, o chrch ls résultats qui vérifit la coditio ds dux évémts. Poit-méthod our chrchr la robabilité d la réuio d dux évémts O utilis la formul 9