Christohe Bertault Mathématiques e MPSI DÉNOMBREMENT Notre objectif est ici uremet ratique APPRENDRE À COMPTER. Nous omettros our cette raiso la luart des démostratios de ce chaitre souvet difficiles coformémet au rogramme de MPSI. 1 CARDINAL D UN ENSEMBLE FINI Défiitio-théorème (Esemble fii/ifii cardial d u esemble fii) Soit E u esemble. O dit que E est fii s il est vide ou si our u certai il existe ue bijectio de l esemble1 sur E. O dit das le cas cotraire que E est ifii. Si E est fii o vide l etier de la défiitio récédete est uique aelé le cardial de E ou ombre d élémets de E et oté E (ou card(e) ou #E). Par covetio l esemble vide est de cardial 0. Exemle Pour tous m avec : m l esemblem est fii de cardial m+1. Démostratio La foctio +m 1 est bijective de1 m+1 surm de réciroque m+1. Théorème (Équiotece et cardial) Soiet E et F deux esembles. Si E est fii et s il existe ue bijectio de E sur F alors F est fii et : E = F. Démostratio Das le cas où E est o vide ous ouvos ous doer ue bijectio f de 1 E sur E et ue bijectio g de E sur F. L alicatio g f est alors bijective de 1 E sur F doc d ue art F est fii mais d autre art : F = E ar uicité du cardial. Théorème (Parties d u esemble fii) Soiet E u esemble fii et A ue artie de E. Alors A est fiie et : A E avec égalité si et seulemet si : A= E. E ratique Pour motrer que deux esembles FINIS A et B sot égaux au lieu de motrer que : A B et B A o eut se coteter de motrer grâce au théorème récédet que : A B et A = B. Théorème (Effet d ue alicatio sur le cardial) Soiet E et F deux esembles et f : E F ue alicatio. (i) Si f est ijective et si F est fii alors E aussi est fii et : E F avec égalité si et seulemet si f est bijective. (ii) Si f est surjective et si E est fii alors F aussi est fii et : F E avec égalité si et seulemet si f est bijective. (iii) Si E et F sot FINIS DE MÊME CARDINAL : f est bijective f est ijective f est surjective. Exlicatio Dire que f est ijective c est dire que deux oits disticts de E sot evoyés ar f sur deux oits disticts de F i.e. que f(e) est comme ue coie de E das F. Ue telle coie est ossible que si F est «lus gros» que E i.e. si : E F assertio (i). Dire que f est surjective c est dire qu à travers f E couvre F e totalité. Ue telle couverture est ossible que si E est «lus gros» que F i.e. si : F E assertio (ii). 1
Christohe Bertault Mathématiques e MPSI Théorème (Pricie des tiroirs) Quad o doit rager +1 chaussettes das tiroirs deux chaussettes au mois se retrouvet das le même tiroir. Exlicatio Rager +1 chaussettes das tiroirs c est choisir ue alicatio d u esemble de cardial +1 das u esemble de cardial. Or comme : +1> ue telle alicatio est jamais ijective d où le résultat. Exemle État doés 5 oits das u carré d arête o eut toujours e trouver deux distats d au lus. Démostratio Couos simlemet otre carré e quatre comme idiqué ci-cotre et reos les quatre sous-carrés aisi formés our «tiroirs». Sommés de rager 5 «chaussettes» les 5 oits quelcoques das 4 tiroirs ous sommes forcés d e rager das le même tiroir d arès le ricie des tiroirs. Au ire ces oits sot alors distats de logueur de la diagoale de chaque sous-carré. DÉNOMBREMENT.1 QU EST-CE QUE COMPTER? E ratique Nous allos das cette artie aredre à réodre à des questios aussi diverses que : À artir d u alhabet de lettres combie de mots de lettres eut-o former qui e cotieet jamais deux lettres idetiques cosécutives? Combie u olygoe à côtés ossède-t-il de diagoales? De combie de faços eut-o tirer 5 cartes simultaémet das u jeu de 5 cartes? et successivemet avec remise? et sas remise? Combie d aagrammes le mot «BOROROS» ossède-t-il? De combie de faços eut-o asseoir ersoes sur u bac rectilige? autour d ue table rode? Combie existe-t-il d alicatios strictemet croissates de1 das1? Combie u esemble fii de cardial ossède-t-il de arties? Chacue de ces questios requiert certes u miimum de théorie mathématique mais surtout beaucou de bo ses. Soyez das ce chaitre lus ecore que das les autres ce que je vous demade souvet d être DES GENS CONCRETS! Pour savoir de combie de faços o eut asseoir ersoes sur u bac rectilige imagiez-vous cocrètemet e trai d asseoir ces ersoes et demadez-vous combie de choix cela vous laisse. Notre règle d or das ce chaitre sera aisi la suivate : COMPTER C EST ÉNUMÉRER/CONSTRUIRE. Cette règle d or hélas ous e dit à la fois beaucou et as assez car c est quoi cocrètemet «éumérer» et «costruire»? Nous le comredros mieux sur deux exemles. Dimesio de () : Quad ous avos calculé la dimesio de () au chaitre «Structure d esace vectoriel» ar exemle ous avos commecé ar e trouver ue base la base caoique e l occurrece. Esuite our comter le ombre de vecteurs de cette base ous ous la sommes rerésetés géométriquemet comme u tableau et du cou c est le ombre de cases de ce tableau que ous devios calculer. Or là ous avos as comté les cases ue à ue ous avos trasformé otre tableau e ue collectio de liges et ous avos dit : fois {}}{ «Ce tableau cotiet liges et chacue cotiet cases doc e tout ce tableau cotiet : +...+ = cases.» Idetificatio du roblème : comter les vecteurs de la base caoique. Rerésetatio du roblème : sous la forme d u tableau. Déombremet : ar décomositio du roblème. (ici 3) (ici 5)
Christohe Bertault Mathématiques e MPSI Première aveture de la cheille Becy : La cheille Becy se romèe le log d u grillage la de taille dot chaque arête est de logueur 1. Combie de chemis de logueur miimale eut-elle emruter our gager le oit d arrivée deuis so oit de déart? Déart (ici 4) Pour commecer u chemi de logueur miimale est exactemet u chemi de logueur + qui cotiet délacemets vers la droite et vers le bas. Chacu eut doc être vu Arrivée comme u mot de + lettres coteat fois lettres «D» et fois lettres «B». Or combie existe-t-il de tels mots? Pour costruire u tel mot o a fialemet qu à choisir la ositio des lettres «B» car esuite il y a que des «D» à lacer. Or de combie de faços ouvos-ous lacer os «B» sur u mot vierge de + lettres? Le deuxième «B» eut être lacé e ositio our tout +. Quat au remier si le deuxième est lacé e ositio il eut être lacé e ositio 1... 1 soit u total de 1 ositios ossibles. + +1 Au total Becy eut doc emruter : ( 1) i= 1 (+ 1)(+ ) = i= chemis. Idetificatio du roblème : comter les chemis de logueur + qui vot fois à droite et fois vers le bas. = i=1 Rerésetatio du roblème : sous la forme de certais mots. D...DBD...DBD...D }{{} + lettres Déombremet : ar décomositio du roblème. 1 choix D...D B Pour savoir comter ous veos de voir qu il faut savoir éumérer mais qu est-ce qu éumérer? Éumérer c est ordoer selo u ricie de classemet RÉFLÉCHI. D...D B Positio D...D Exemle Pour éumérer les coefficiets d ue matrice A () o les lit gééralemet e coloes de gauche à droite et du haut vers le bas ce choix est bie sûr tout à fait covetioel! a 11 a 1 a 31... a 1 a 1 a a 3... a a 1 a. Exemle Pour éumérer les mots de 4 lettres qu o eut former avec l alhabet $ l ordre lexicograhique i.e. l ordre du dictioaire est bie sûr de rigueur. Cet ordre suose bie sûr qu o ait imosé d abord u ordre sur l alhabet lui-même. Exemle d éumératio lexicograhique : $ $ $ $ $$... $$$ $$$$. Exemle Pour éumérer ci-dessus les chemis de la cheille Becy o a vu qu o ouvait e fait éumérer les mots de + lettres qui cotieet fois la lettre «D» et fois la lettre «B». Exemle d éumératio lexicograhique our =3 : BBDDD BDBDD BDDBD BDDDB DBBDD DBDBD DBDDB DDBBD DDBDB DDDBB. Exemle Combie l esemble14 a-t-il de arties? Démostratio La réose est 16. Éumératio lexicograhique e foctio du cardial : 1 3 4 1 13 14 3 4 34 13 14 134 34 134. Éumératio lexicograhique arès rerésetatio ar des mots : O eut associer bijectivemet à toute artie A de14 u et u seul mot de 4 lettres sur l alhabet 01. De quelle maière? La remière lettre de ce mot est u «1» si : 1 A et u «0» sio la deuxième lettre est u «1» si : A et u «0» sio etc. Exemles : est reréseté ar 0000 ar 0100 3 ar 0110 et14 ar 1111. Aisi rerésetées les arties de14 sot faciles à éumérer lexicograhiquemet : 0000 1000 0100 1100 0010 1010 0110 1110 0001 1001 0101 1101 0011 1011 0111 1111. ATTENTION! Das tout ce qui suit les lettres E F E 1... E A B C A 1...A désiget des esembles FINIS. 3
Christohe Bertault Mathématiques e MPSI. RÉUNION ET DIFFÉRENCE O raelle que les réuios DISJOINTES sot souvet otées avec le symbole lutôt qu avec le symbole Théorème (Cardial d ue réuio cardial d ue différece) Réuio : A B= A + B A B. E articulier si A et B sot disjoits : A B= A + B. Plus gééralemet si A 1... A sot deux à deux disjoits : A = A. Différece : A\ B = A A B. E articulier si B A : B = A\ B = A B. =1 =1 Exlicatio Pour calculer A B o additioe A et B our teir comte des élémets de A et B mais e faisat cela o comte deux fois ceux de A B doc il faut les retracher ue fois. Lorsque les esembles A 1...A sot DISJOINTS DE MÊME CARDINAL la formule : om de ricie des bergers : A = =1 A orte le joli =1 Théorème (Pricie des bergers) Toute réuio DISJOINTE de esembles de même cardial est u esemble de cardial. Exlicatio Tout ça our dire qu u berger qui ossède moutos ossède aussi 4 attes de moutos! Le ricie des bergers est sas doute le ricie que ous utiliseros le lus das ce chaitre. Commet l utiliseros-ous? Quad u roblème de déombremet a été décomosé itellectuellemet e deux sous-roblèmes «étae 1» et «étae» avec choix ossibles our l étae 1 et choix ossibles POUR CHACUN DE CES CHOIX das l étae alors le roblème iitial ermet u total de choix d arès le ricie des bergers. Exemle Nous avos utilisé le ricie des bergers sas le dire quad ous avos calculé dim (). U tableau de taille cotiet liges et chaque lige cotiet cases doc u tel tableau cotiet cases! Exemle Combie y a-t-il de coules(x y) das1 our lesquels : x y? Démostratio Costruire u tel coule c est ar exemle d abord choisir x uis choisir y. Il y a valeurs ossibles de x et our chacue de ces valeurs 1 valeurs restates our y doc e tout ( 1) coules ossibles. Exemle À artir d u alhabet de lettres combie de mots de lettres eut-o former qui e cotieet jamais deux lettres idetiques cosécutives? Démostratio Pour la remière lettre o eut choisir imorte quelle lettre de l alhabet ( ossibilités) mais our chacue des suivates o a lus que 1 choix ossibles si o veut éviter que deux lettres cosécutives soiet idetiques d où u total de ( 1) 1 mots. E ratique Somme ou roduit? E résumé : «O a SOIT ceci SOIT cela» ADDITION. «O fait ceci PUIS cela» MULTIPLICATION. Exemle Ue ure cotiet boules umérotées de 1 à qu o tire toutes successivemet sas remise. Combie de tirages eut-o faire our lesquels u uméro air est toujours suivi d u uméro imair et u uméro imair d u uméro air? Démostratio Les tirages à déombrer sot de deux tyes il y a ceux qui commecet ar u uméro air et ceux qui commecet ar u uméro imair. Nous allos déombrer séarémet ces deux esembles de tirages et ous ADDITIONNERONS à la fi les deux cardiaux obteus. 4
Christohe Bertault Mathématiques e MPSI Combie sot-ils à commecer ar u uméro air? Faire u tel tirage c est tirer ue boule aire ( ossibilités) PUIS ue boule imaire ( ossiblités) PUIS de ouveau ue boule aire ( 1 ossibilités) PUIS ue boule imaire ( 1 ossibilités)... d où u total de ( 1)... 1 =! tirages. U raisoemet aalogue motre que! tirages exactemet commecet ar u uméro imair d où u total défiitif de! +! =!..3 PRODUIT CARTÉSIEN LISTES ET ARRANGEMENTS Théorème (Cardial d u roduit cartésie) E1... E = E1... E. E articulier : E = E. Exlicatio Costruire u élémet quelcoque de E 1... E c est choisir d abord u élémet das E 1 ( E 1 ossibilités) uis u élémet de E ( E ossibilités)... et efi u élémet de E ( E ossibilités) d où u total de E 1... E choix ossibles. Défiitio-théorème (Liste) Soit. O ose : = E. O aelle -liste de E ou -ulet de E toute famille de élémets de E i.e. tout élémet de E. Il existe -listes de E. Exlicatio Das ue liste l ordre des élémets comte car ue liste est jamais qu ue FAMILLE et o as u esemble et u même élémet eut figurer lusieurs fois das ue liste. Les listes sot utilisées our modéliser des tirages SUCCESSIFS AVEC REMISE avec remise car les réétitios sot autorisées. Exemle De combie de faços eut-o tirer 5 cartes successivemet avec remise das u jeu de 5 cartes? Réose : 5 5. Exemle Combie y a-t-il de mots de 7 lettres coteat le mot «OUPS»? ar exemle «BOUPSAR» et «QIOUPSI». Démostratio Quad le mot «OUPS» aaraît das u mot de 7 lettres il y aaraît qu ue fois. Pour costruire u mot queloque de 7 lettres coteat le sous-mot «OUPS» o eut doc : d abord choisir la ositio du mot «OUPS» (4 ossibilités car le «O» iitial e eut occuer que les ositios 1 3 et 4) uis choisir arbitrairemet les autres lettres i.e. choisir ue 3-liste de l alhabet (6 3 ossibilités) d où u total de 4 6 3 = 70 304 mots. Défiitio-théorème (Arragemet) Soit. O ose : = E. O aelle -arragemet de E toute -liste de E d élémets disticts. Il existe! -arragemets de E si : ( )! et il e existe as si : >. Exlicatio Costruire u -arragemet das le cas où : c est choisir u remier élémet das E ( ossibilités) uis u deuxième élémet distict du remier ( 1 ossibilités)... et efi u ème élémet distict des récédets! ( +1 ossibilités) d où ce total de ( 1)... ( + 1)= -arragemets de E. ( )! Les arragemets sot utilisés our modéliser des tirages SUCCESSIFS SANS REMISE sas remise car les réétitios sot iterdites. 5
Christohe Bertault Mathématiques e MPSI Exemle De combie de faços eut-o tirer 5 cartes successivemet sas remise das u jeu de 5 cartes? 5! Réose : (5 5)! = 5 51 50 49 48. Exemle De combie de faços eut-o asseoir ersoes sur u bac rectilige? autour d ue table rode? Démostratio Bac rectilige : O eut cosidérer que les ersoes à asseoir sot umérotées de 1 à. Les asseoir sur u bac rectilige reviet doc à les éumérer toutes das u ordre quelcoque i.e. à se doer u -arragemet quelcoque de1 d où u total de! cofiguratios ossibles. Table rode : La différece etre u bac rectilige et ue table rode c est qu il y a as de remière lace autour d ue table rode ar exemle o e chage as la cofiguratio des laces assises quad o demade à chaque covive de se délacer d ue lace sur sa droite. Pour asseoir ersoes autour d ue table rode : o eut aisi commecer ar asseoir arbitrairemet la ersoe umérotée uis lui doer des voisis de roche e roche ar la droite e se doat u( 1)-arragemet quelcoque de1 1 (( 1)! ossibilités) d où u total de( 1)! cofiguratios ossibles..4 APPLICATIONS ENTRE DEUX ENSEMBLES Exlicatio Raelos à toutes fis utiles qu ue -liste de E est jamais qu ue alicatio de1 das E et que réciroquemet la doée d ue alicatio f de E= e 1...e das F est équivalete à la doée de la -liste f(e1 )... f(e ) de F. Il araît aisi aturel que les résultats du aragrahe récédet s étedet aux alicatios. E articulier les arragemets sot aux listes ce que les ijectios sot aux alicatios. Théorème (Nombre d alicatios etre deux esembles) (i) Alicatios (quelcoques) : F E = F E où F E désige l esemble des alicatios de E das F aussi oté(e F). (ii) Alicatios ijectives : O ose : = E et = F. L esemble des alicatios ijectives de E das! F est vide si : > et de cardial ( )! si :. (iii) Permutatios : O aelle ermutatio de E toute bijectio de E sur E et groue symétrique de El esemble des ermutatios de E oté S E ou lutôt S das le cas où : E=1. Si o ose = E : SE=!. Exlicatio (i) Costruire ue alicatio quelcoque f de E= e 1...e das F c est choisir ue valeur our f(e1 ) ( F ossibilités) uis ue our f(e ) ( F ossibilités)... et efi ue valeur our f(e ) ( F ossibilités) d où u total de F E alicatios de E das F. (ii) Costruire ue alicatio INJECTIVE c est suivre la costructio (i) mais e s iterdisat de reredre les valeurs! déjà sélectioées d où u total de ( 1)... ( +1)= alicatios ijectives lorsque : ( )!. (iii) Raelos simlemet qu ue alicatio ijective d u esemble fii das u autre esemble fii DE MÊME CAR- DINAL est déjà bijective. Le calcul de SE est dès lors ue coséquece de (ii) obteue our : =. Exemle Soit 3. Combie y a-t-il de ermutatios de1 qui evoiet 1 sur et sur 3? Démostratio Pour costruire ue telle ermutatio o eut choisir l image de 3 ( ossibilités) uis celle de 4 ( 3 ossibilités)... et efi celle de (1 ossibilité) d où u total de( ) ( 3)... 1=( )! ermutatios. 6
Christohe Bertault Mathématiques e MPSI.5 COMBINAISONS Raelos que ar défiitio our tous vaut 0 si : > et :!!( )! si :. Défiitio-théorème (Combiaiso) Soit. O ose : = E. O aelle -combiaiso de E toute artie de E de cardial. Nous oteros arfois (E) l esemble des -combiaisos de E mais ce est as là du tout ue otatio stadard doc attetio! Il existe -combiaisos de E. Exlicatio Das ue combiaiso qui est u ENSEMBLE et o ue famille les élémets sot doés sas ordre. Quad o décide de uméroter les élémets d ue combiaiso le choix de la umérotatio est totalemet arbitraire la combiaiso e tat que telle a as u remier élémet u deuxième élémet etc. Les combiaisos sot utilisées our modéliser des tirages SIMULTANÉS. Pour otos C le ombre cherché des -combiaisos de E. Nous voulos motrer que : C =!!( )!! i.e. que : ( )! = C!. À gauche de cette égalité ous recoaissos le ombre de -arragemets de E. Or costruire u -arragemet de E c est : choisir ue -combiaiso X quelcoque de E i.e. ue artie de E de cardial (C ossibilités) uis choisir ue faço d ordoer les élémets de X i.e. choisir u remier élémet ( ossibilités) uis u deuxième ( 1 ossibilités)... et efi u ème (1 ossibilité) d où au total : C ( 1)... 1=C! -arragemets de E et comme ous savos ar ailleurs qu il! e existe ( )! : C =!!( )!. Exemle De combie de faços eut-o tirer 5 cartes simultaémet das u jeu de 5 cartes? 5 Réose :. 5 Théorème (-listes strictemet croissates de1 ) Pour tout 1 il existe our lesquelles : 1i 1 <...<i. familles d etiers(i 1...i ) Exlicatio Choisir ue famille(i 1...i ) d etiers our laquelle : 1i 1 <...<i reviet à choisir simlemet ue -combiaiso de1 ( ossibilités) car il y a esuite qu ue seule maière d e rager les élémets das l ordre croissat. Exemle O aelle aagramme d u mot tout autre mot comosé des mêmes lettres avec multilicité mais das u ordre quelcoque. Les mots «NOSSMOI» et «SIONSOM» sot ar exemle deux aagrammes du mot «MOISSON». Combie d aagrammes le mot «BOROROS» ossède-t-il? Pour iformatio les Bororos sot u eule améridie du Brésil. Démostratio O s itéresse à l esemble des mots de 7 lettres qu o eut former avec 3 «O» «R» 1 «B» et 1 «S». Pour costruire u tel mot quelcoque o eut choisir : 7 d abord la ositio des «O» ( = 35 ossibilités) 3 7 3 uis la ositio des «R» ( = 6 ossibilités) uis la ositio du «B» ( = ossibilités) 1 7
Christohe Bertault Mathématiques e MPSI 1 et efi la ositio du «S» ( = 1 ossibilité) 1 d où u total de : 35 6 = 40 aagrammes ossibles. O aurait u choisir la ositio des lettres das u ordre différet ar exemle d abord le «S» uis les «R» uis le «B» uis les «O». O obtiet bie sûr le même résultat mais réseté différemmet : 7 6 4 3 = 7 15 4=40 aagrammes ossibles. 1 1 3 Exemle U jeu de tarot cotiet 78 cartes 1 atouts la carte qu o aelle l «excuse» et 14 cartes de chacue des 4 couleurs cœur ique trèfle et carreau. Combie de tirages simultaés de 6 cartes d u tel jeu eut-o obteir coteat atouts et 4 trèfles? et esuite : exactemet u atout et au mois 3 as? Exemle Démostratio 1 14 atouts et 4 trèfles : Il s agit de choisir atouts ( ossibilités) uis 4 trèfles ( ossibilités) 4 1 14 d où u total de tirages ossibles. 4 1 4 78 1 4 Exactemet u atout et au mois 3 as : O eut costruire tirages coteat 1 3 1 4 78 1 4 exactemet u atout et exactemet 3 as et ar ailleurs tirages coteat 1 4 1 exactemet u atout et les 4 as d où u total de : 1 4 78 1 4 1 4 78 1 4 + 1 3 1 4 1 tirages ossibles les deux alteratives état disjoites. De lus e lus avetureuse la cheille Becy se romèe cette fois le log d u grillage la de taille dot chaque arête est de logueur 1. Combie de chemis de logueur miimale eut-elle emruter our gager le oit d arrivée deuis so oit de déart? Déart (ici 4) Vous remarquerez bie que cette deuxième aveture de la cheille Becy eglobe la remière mais Becy avait as de combiaisos à sa disositio au début du chaitre. Arrivée Démostratio U chemi de logueur miimale est ici etièremet détermié ar la doée de délacemets élémetaires vers le bas et vers la droite. Tout chemi eut doc être idetifié avec u mot quelcoque de + lettres dot «B» (bas) et «D» (droite). Or combie existe-t-il de tels mots? + Réose : autat qu il existe de faços d y lacer les «B» c est-à-dire. (ici 3) Théorème (Nombre de arties d u esemble fii) (E) = E. Démostratio Posos : = E. Pour tout 0 e otat (E) l esemble des -combiaisos de E ous avos vu que : (E) =. Comme(E) est la réuio DISJOINTE des esembles 0 (E)... (E) : (E) = (E) = = =0 =0 =0 1 1 =(1+1) = = E. E ratique Pour motrer certaies égalités : A= B avec A B o rocède arfois ar double comtage e motrat qu u certai esemble est de cardial A d arès u certai mode d éumératio et de cardial B d arès u autre mode d éumératio. Les trois exemles qui suivet illustret cette démarche das des situatios bie coues. Exemle Pour tous avec : = 1 1 (formule du caitaie). Démostratio De combie de maières eut-o former à artir ersoes ue équie de d etre elles dot u caitaie? O va déombrer ces équies de deux maières ce dot découlera aussitôt le résultat. 8
Christohe Bertault Mathématiques e MPSI Exemle Exemle O eut commecer ar choisir les membres de l équie ( ossibilités) uis désiger le caitaie arès cou armi eux ( ossibilités). Mais o eut rocéder autremet et commecer ar choisir le caitaie ( ossibilités) uis comléter so 1 équie e choisissat les 1 autres membres de l équie ( ossibilités). 1 Pour tous avec : = (symétrie). 1 1 Démostratio O veut motrer cette égalité sas calcul ar u X X raisoemet combiatoire. L idée est simle our se doer ue - combiaiso X de1 ( ossibilités) o eut se doer so X X comlémetaire X qui est ue( )-combiaiso de1 ( X = X= ossiblités) et retrouver X grâce à la relatio : X = X. Formellemet ous sommes juste e trai d affirmer que l alicatio X X est ue bijectio de 1 sur 1 bijective car de réciroque «elle-même» mais avec iversio des esembles de déart et d arrivée. Aisi comme voulu : 1 = 1. Pour tous avec : +1 + = 1 (formule de Pascal). Démostratio O veut motrer cette égalité sas calcul ar u raisoemet combiatoire. Idée de la reuve : il y a deux tyes de -combiaisos de1 +1 celles qui cotieet +1 et celles qui e le cotieet as. Les -combiaisos de1 +1 qui cotieet +1 sot fialemet des( 1)-combiaisos quelcoques de1 auxquelles o ajoute +1 il y e a doc. 1 Les -combiaisos de1 +1 qui e cotieet as +1 sot exactemet toutes les -combiaisos de1 il y e a. Notre derier déombremet à base de coefficiets biomiaux est articulièremet mali et as forcémet facile à iveter seul si o e l a as déjà recotré ue fois! Exemle O disose de ures umérotées de 1 à dot chacue eut accueillir autat de boules qu o le souhaite. De combie de maières eut-o y rager boules idiscerables? Démostratio Les ragemets étudiés euvet être vus sas ambiguïté comme des mots. Avec 4 ures umérotées de 1 à 4 o traduira le ragemet de 3 0 et 1 boules ar le mot : das lequel le symbole désige ue boule et le symbole la séaratio de deux ures successives. Les mots aisi formés cotieet tous exactemet symboles et 1 symboles ce qui ous ramèe à u simle roblème de déombremet d aagrammes attetio il y a ures mais seulemet 1 séaratios etre elles. Iversemet il est ossible d associer à tout aagramme de cette forme u uique ragemet de boules. + 1 Coclusio : le roblème osé autorise exactemet ragemets ou aagrammes..6 BILAN PRATIQUE E ratique U roblème de déombremet ça eut vraimet être comliqué mais il y a tout de même ue triité merveilleuse de modèles de base auxquels o eut resque toujours se rameer. Tirages successifs AVEC REMISE = LISTES Tirages successifs SANS REMISE = ARRANGEMENTS Tirages SIMULTANÉS = COMBINAISONS 9
Christohe Bertault Mathématiques e MPSI 3 INDICATRICES ET FORMULE DU CRIBLE 3.1 INDICATRICE D UNE PARTIE Défiitio-théorème (Idicatrice d ue artie) Les esembles A et B sot ici deux arties de E. (i) Défiitio : O aelle idicatrice de A (sur E) l alicatio défiie our tout x E ar : ½ A (x)= 1 si x A 0 si x E\ A. Il est as iutile de remarquer que : ½ A = ½ A. (ii) Iclusio : A B ½ A ½ B. Égalité : A= B ½ A = ½ B. Oératios esemblistes : ½ A = 1 ½ A ½ A B = ½ A ½ B et ½ A B = ½ A + ½ B ½ A ½ B. (iii) Lie avec le cardial : A = ½ A (x). x E Démostratio (ii) Iclusio : Si : A B alors our tout x A x B doc : ½ A (x)=11=½ B (x) et our tout x E\ A : ½ A (x)=0 ½ B (x) doc e effet : ½ A ½ B. Réciroquemet si : ½ A ½ B alors : A B car our tout x A : 1=½ A (x)½ B (x) doc : ½ B (x)=1 i.e. : x B. Égalité : A= B A B et B A ½ A ½ B et ½ B ½ A ½ A = ½ B. Comlémetaire : Pour tout x A : ½ A (x)=0=1 1=1 ½ A (x) et our tout x E\ A : ½ A (x)=1=1 0=1 ½ A (x) doc e effet : ½ A = 1 ½ A. Itersectio : Pour tout x A B : x A et x B doc : ½ A B = 1=1 1=½ A (x)½ B (x) et our tout x E\(A B) : x/ A ou x/ B doc : ½ A (x)=0 ou ½ B (x)=0 doc aussitôt : ½ A B (x)=0=½ A (x)½ B (x). Comme voulu : ½ A B = ½ A ½ B. Réuio : ½ A B = 1 ½ A B = 1 ½ A B = 1 ½ A ½ B = 1 (1 ½ A )(1 ½ B )=½ A + ½ B ½ A ½ B. (iii) ½ A (x)= ½ A (x)+ ½ A (x)= 1+ 0= A. x E x A x E\A x A Exemle Pour comter les arties de14 ous avos rocédé à deux éumératios différetes e début de chaitre. Nous avos gééralisé la remière u eu lus haut e démotrat la formule : (E) = E ous ouvos maiteat gééraliser la deuxième à cous d idicatrices. x E\A Démostratio E début de chaitre ous avos associé bijectivemet à toute artie de14 u uique mot de 4 lettres sur l alhabet 01. Si l o réfléchit bie c est exactemet ce qu o fait lus gééralemet e associat à toute artie A d u esemble fii E so idicatrice ½ A. Formellemet remarquos «simlemet» que l alicatio A ½ A est bijective de(e) sur 01 E de réciroqueϕ ϕ 1 1 = x E/ ϕ(x)=1. Aisi comme voulu : (E) = E 01= E. 3. LA FORMULE DU CRIBLE La formule du crible résetée ci-dessous est exlicitemet hors rogramme mais bie coue our : = et très aturelle our : = 3. Nous ous l autoriseros régulièremet our de etites valeurs de. Théorème (Formule du crible) Pour =: A i = i=1 A B = A + B A B et our =3: ( 1) +1 =1 1i 1 <...<i Ai1... A i. A B C = A + B + C A B B C C A + A B C. 10
Christohe Bertault Mathématiques e MPSI Exlicatio familles(i 1... i ) d etiers our les- quelles : 1i 1 <...<i. Nous avos déjà vu que our tout 1 il existe Démostratio O commece ar u calcul sur des idicatrices : ½ A1... A = 1 ½ A1... A = 1 ½ A1... A = 1 ½ Ai = 1 i=1 (1 ½ Ai )= i=1 ( 1) +1 O ose esuite : E= A i et o somme la relatio récédete sur tout E : i=1 A i = ½ A1... A (x)= ( 1) +1 ½ Ai1... A i (x) i=1 x E x E =1 1i 1 <...<i = ( 1) +1 ½ Ai1... A i (x) = ( 1) +1 =1 1i 1 <...<i x E =1 =1 1i 1 <...<i 1i 1 <...<i Ai1... A i. ½ Ai1... A i. 4 DES POLYNÔMES ET DES FRACTIONS POUR CALCULER DES SOMMES O raelle das ce derier aragrahe commet des sommes telles que : et euvet être calculées facilemet ar de simles maiulatios olyomiales et ratioelles. Ces techiques sot sas raort immédiat avec os récédets ricies de déombremet mais elles ous serot récieuses das les rochais chaitres de robabilités. Des exemles valet ici mieux qu u log discours les maîtres-mots du aragrahe sot «dériver» «évaluer» et «idetifier». Nous commeços ar u rael. Théorème (Formule de Vadermode) Pour tout : =. Démostratio L égalité : (X+1) =(X+1) (X+1) s écrit aussi : X = X i X j. i j i=0 j=0 À gauche le coefficiet de degré vaut tadis qu à droite ar défiitio du roduit de deux olyômes il vaut : =. i i i i=0 i=0 Exemle Exemle. 3 3 Démostratio X =(X+ 1) 3 =(X+ 1) (X+ 1) = X i X. j i j i=0 j=0 3 À gauche le coefficiet de degré vaut tadis qu à droite ar défiitio du roduit de deux olyômes il vaut : =. i i i i i=0 = +1 ( 1)+ et i=0 + 10 10= 81. Démostratio Nous travailleros das cette reuve avec des fractios ratioelles formelles e X que ous avos certes as ecore défiies mais que je réfère vous voir utiliser ici lutôt que des foctios ratioelles. Vous arriverez sas doute à comredre même sas défiitio... 11
Christohe Bertault Mathématiques e MPSI Dérivos doc la relatio : X = X +1 1 cela doe : X 1 X 1 = (+1)X (X 1) X +1 1 = X +1 (+1)X + 1 (X 1) (X 1) doc arès multilicatio ar X : Évaluos e : X = X X +1 (+1)X + 1 (X 1). = +1 ( 1)+ uis e 1 10 : 10 10= 81 +1 10+1 10 + 1 10 + 81. Exemle 3 = 3 4 1. Démostratio Dérivos la relatio : X =(X+ 1) cela doe : X 1 = (X+ 1) 1 uis arès multilicatio ar X : X = X(X+1) 1. Évaluos efi e 3 : 3 = 3 4 1. 1