Vecteurs et droites A) Rappels sur les vecteurs.. Généralités. Définitions : ) Un vecteur u ou AB est défini par : une direction (la droite (AB)). un sens (de A vers B). une longueur : la norme du vecteur u ou AB = AB. ) Lorsque A = B, on pose AA = u = 0 et on dit que u est le vecteur nul.. Egalité de deux vecteurs. Définition : Deux vecteurs sont égaux lorsqu ils sont nuls tous les deux, ou lorsqu ils ont même sens, même direction et même longueur. Si A, B, C et D ne sont pas alignés, AB = CD signifie que ABDC est un parallélogramme. Remarque : Les vecteurs, AB et BA sont opposés et on a : BA = AB.. Somme de deux vecteurs. La somme de deux vecteurs est définie par la relation de Chasles : AB + BC = AC. Construction de la somme de deux vecteurs de même origine. On effectue un parallélogramme, afin de reporter le deuxième vecteur permettant d appliquer la relation de Chasles. Année 06 07 ère S
B) Colinéarité de deux vecteurs.. Multiplication d un vecteur par un nombre. Définition : Soit k un réel, le vecteur k u est tel que : sa longueur est multipliée par k. si k 0 son sens est inchangé. si k 0 son sens est inversé. si k 0 on a : 0 u = 0. Propriété : Bilinéarité. La multiplication par un nombre est distributive par rapport à : l addition de deux vecteurs : k ( u + v ) = k u + k v. k k' u = k u + k' u. la somme de deux réels :. Condition de colinéarité de deux vecteurs. Définition : Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires Il existe un réel k tel que u = k v. Remarque : le vecteur nul 0 est colinéaire à tout vecteur car 0 = 0 u.. Condition de parallélisme et d alignement. Propriétés : La colinéarité permet de montrer le parallélisme et l alignement. AB et CD colinéaires (AB) // (CD). AB et AC colinéaires A, B et sont C alignés. Exemple : ABC un triangle et E, I et F trois points tels que : AE = BC ; CI = CB et AF = AC. CI = CB donc BI = BC = AE. D où AEIB est un parallélogramme et EI = AB. EF = EA + AF = CB + AC = ( AC + CB ) = AB. Donc EF = EI, on en déduit que EF et EI sont colinéaires. Exercice n : D où les points E, F et I sont alignés. Soit ABCD un parallélogramme. I et J sont les points tels que AD = AI et AJ = AB. Année 06 07 K est le point tel que AIKJ soit un parallélogramme. Faire une figure puis démontrer que A, K et C sont alignés. ère S
4. Coordonnées et colinéarité. Rappels : formules de nde Mis à part les calculs de distance qui exige un repère orthonormé (en raison de l application du théorème de Pythagore qui nécessite un triangle rectangle), les formules suivantes sont valables dans tout repère. Soit deux points A x A ; y A et B x B ; y B. ) Les coordonnées du vecteur AB sont : AB x x ; y y. ) La distance entre les points A et B est : AB = x x y y B A B B A A B A. x A xb y A yb ) Les coordonnées du milieu I de [AB] sont : I ;. Propriété : Condition de colinéarité Deux vecteurs u x ; y et v x ' ; y' sont colinéaires si et seulement si : xy ' x' y 0. Remarque : L égalité précédente peut parfois être écrite sous la forme suivante : xy ' x' y. Exemples : ) On considère les points A ; 4 et B 5 ; dans le repère (O ; i ; j ). a) Calculer les coordonnées de AB et la longueur AB. AB 5 ; 4 donc AB 6 ;. AB = 6 6 4 40 0. b) Calculer les coordonnées du milieu I de [AB]. 5 4 I ; donc I ;. ) Les vecteurs AB ; et CD ; 4 sont-ils colinéaires? Que peut-on en déduire? x y x y 4 8 9 0 donc AB et CD ne sont pas colinéaires. AB CD CD AB On en déduit que les droites (AB) et (CD) sont sécantes. ) Soit ABCD est un parallélogramme et M, N, P et Q sont quatre points tels que : DM 4 = DA 5 ; AN = AB 4 ; BP = BC 5 et CQ = CD. Montrons que (MQ) // (NP) (On travaillera dans le repère (A ; AB ; AD ). Année 06 07 Les coordonnées de M, N et Q sont: M 0 ; ; N ; 0 ; P ; et Q ;. 5 4 5 Donc MQ 4 ; et NP 4 ; d où x y x y 0. MQ NP NP MQ 5 4 5 5 4 5 MQ et NP sont colinéaires donc les droites (MQ) et (NP) sont parallèles. ère S
Exercice n : On considère les points A ; 5, B ; et C 4 ;. ) Les points A, B et C sont-ils alignés? ) Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. ; 7 k ; 5 soient colinéaires. ) Déterminer le réel k pour que les vecteurs u et v Exercice n : On considère les points A ; 5, B ;, C 5 ; et D ;. E est un point tel que : AE = 4AB. ) Calculer les coordonnées du point E. ) Démontrer que les points C, D et E sont alignés. Exercice n 4 : ABCD est un parallélogramme. F est le point tel que AF = AB et E le point tel que DE = DA. ) Quelle propriété nous permet d écrire l égalité suivante : EF = ED + DA + AF? ) Montrer que : EF = AB + DA. ) Décomposer le vecteur BD avec les vecteurs AB et DA. 4) Démontrer que (EF) et (BD) sont parallèles. Théorème : Soit u et v deux vecteurs non colinéaires. Pour tout vecteur w il existe un unique couple de réels a ; b tel que : w = a u + b v. Le couple a ; b est appelé couple de coordonnées du vecteur w dans la base (u ; v ). Exercice n 5 : A, B et C sont trois points non alignés. On considère le repère (A ; AB ; AC ). ) Construire les points N et P tels que : AN = AB + AC et BP = CB. 5 ) Donner les coordonnées des points A, B, C et N dans le repère (A ; AB ; AC ). ) Exprimer le vecteur AP en fonction des vecteurs AB et AC. 4) En déduire les coordonnées du point P dans le repère (A ; AB ; AC ). 5) Montrer que les points A, P et N sont alignés. Année 06 07 ère S
C) Vecteur directeur et équation de droite.. Equation réduite d une droite. Définition : Equation réduite. Toute droite non parallèle à l axe des ordonnées a une unique équation réduite de la forme y mx p ; m est un vecteur directeur de cette droite. et le vecteur d Toute droite parallèle à l'axe des ordonnées a une équation de la forme x a et le vecteur d 0 ; est un vecteur directeur de cette droite.. Vecteur directeur d une droite. Définition : On appelle vecteur directeur d'une droite D, tout vecteur u non nul colinéaire au vecteur AB où A et B sont deux points distincts de D. On dit alors que le vecteur u dirige la droite D. Remarque : Une droite admet une infinité de vecteurs directeurs : ils sont tous colinéaires. Exemple : La droite d d'équation y x admet les vecteurs suivants pour vecteur directeurs : u ; ; u ; ; u ; 0 ; 5 ; u 4 Année 06 07 ère S
Exemple : Soit D la droite passant par A et de vecteur directeur u ;.. Equations cartésiennes d une droite. Définition : Equations cartésiennes. Toute droite peut être déterminée par une équation de la forme ax by c 0 où a, b et c sont des réels tels que a 0 ou b 0 qui est une équation cartésienne de la droite. Réciproquement une équation du type ax by c 0 définie une droite de vecteur directeur d b ; a. Propriété : Soit D la droite passant par A et de vecteur directeur u. M D AM et u sont colinéaires. Remarques : Une droite a une infinité d équations cartésiennes mais une seule équation réduite. Il est très simple de passer de l une à l autre. Toutes les droites ont des équations cartésiennes mais elles n admettent pas toutes une équation réduite. Exemple : Soit d la droite définie par les point A ; Déterminons une équation cartésienne de la droite d. Soit M x ; y d alors les vecteurs AM ; y x y x y x y et un vecteur directeur u ; x et u ; Donc : 0. AM u u AM D où, en développant, une équation cartésienne de d : x y 8 0. On peut aussi obtenir l équation réduite de d : y 0,5x 4.. sont colinéaires. Exercice n 6 : Donner une équation cartésienne de la droite d passant par le point A et dont u est un vecteur directeur ou passant par A et B dans chacun des cas suivants : ) A ; 5 et u ;. ) A ; 5 et B ;. ) A 4 ; et u 0 ;. ; 4 ; 0. 4) A et B Année 06 07 ère S
Exercice n 7 : On considère les points A 4 ;, B ; et C ;. ) Donner une équation cartésienne de droite (AB). ) En déduire l équation réduite de (AB). ) Le point C appartient-il à la droite (AB)? Exercice n 8 : Donner les coordonnées d'un vecteur directeur de chacune des droites suivantes : ) d qui a pour équation : x 7. ) d qui a pour équation : 4x y 6 0. d qui a pour équation : y. ) Exercice n 9 : On considère la droite d d'équation : x y 7 0. ) Donner les coordonnées de deux points de d. ) Donner l'ordonnée d'un vecteur directeur de la droite ) Donner l'abscisse d'un vecteur directeur de la droite 4) Le vecteur de coordonnées ; d d'abscisse. d d'ordonnée. est-il un vecteur directeur de la droite d? Exercice n 0 : ) Déterminer, graphiquement, l équation réduite puis donner une équation cartésienne pour chacune des droites d, d, d et d 4 représentées ci-dessous. ) Déterminer les coordonnées des points d intersection de d et d puis d 4 et d. Exercice n : A 4 ;, B ; 5 et C ; sont trois points. ) Donner une équation cartésienne de la droite d parallèle à (AB) et passant par C. ) Donner une équation cartésienne de la médiane issue de A dans ABC. Année 06 07 ère S
Exercice n : ABC est un triangle. Le point D est le symétrique du point A par rapport au point B. E et F sont les points définis par : BE = BC + AC et BF = AC. ) Exprimer le vecteur EF en fonction du vecteur CB. ) Exprimer le vecteur FD en fonction du vecteur CB. ) Que peut-on en déduire pour les points E, F et D? Exercice n : Le repère utilisé dans cet exercice est orthonormé. On considère les points : A ; 4, B 6 ; 5 et C ;. ) Démontrer que le triangle ABC est isocèle en A. ) Calculer les coordonnées du milieu I du segment [BC]. ) En déduire une équation cartésienne de la médiatrice du segment [BC]. Exercice n 4 : TRI est un triangle. A et N sont les milieux respectifs des segments [TI] et [RA]. E est le point défini par IE = IT. G est le symétrique du point R par rapport au point I. L est le milieu du segment [GE]. ) Exprimer le vecteur IN en fonction des vecteurs IA et IR. ) Exprimer le vecteur IL en fonction des vecteurs IE et IG. ) En déduire l'expression du vecteur IL en fonction des vecteurs IA et IR. 4) Que peut-on conclure pour les points N, I, L? Exercice n 5 : A, B et C sont trois points non alignés. Les points D et E sont définis par : AD = BC et CE = 4 ) Exprimer le vecteur DE en fonction du vecteur AC. ) Que peut-on en déduire pour les droites (AC) et (DE)? AB. 4 Exercice n 6 : Soit m un réel et soit m d les droites d'équations : x m y 0 m. ) Pour quelles valeurs de m, la droite d m passe-t-elle par le point A ;? ; 4 est un vecteur directeur de ) Existe-t-il des valeurs de m, pour lesquelles le vecteur u la droite d m? ) La droite d m peut-elle être parallèle à la droite d d'équation : 5x y 4 0? Année 06 07 ère S
Exercice n 7 : Dans la figure ci-dessous, les quadrilatères ABDC et AEGF sont des parallélogrammes et les subdivisions des côtés [AE] et [AF] sont régulières. Dans cet exercice, on travaillera dans le repère (A ; AB ; AC ). ) Donner, par lecture graphique, les coordonnées des points : A, B, C, D, E, F et G. ) En déduire les équations cartésiennes des droites (BF) et (CE). ) On note H le point d intersection de (BF) et (CE). Déterminer les coordonnées de H. 8 9 4) Dans cette question on pourra supposer que H a pour coordonnées ;. a) Montrer que les vecteurs GH et GD sont colinéaires. b) Que peut-on en déduire pour les droites (BF), (CE) et (GD)? Justifier. Exercice n 8 : Soit ABCD un parallélogramme non aplati. On note E le symétrique de C par rapport à D. Le point K est défini par : AK = AB et L est le centre de gravité du triangle ACE. On désire prouver l'alignement des points K, L et C de trois manières différentes. ) Justifier que AL = AD. ) ère Méthode : a) Exprimer le vecteur AC fonction des vecteurs AB et AD. b) En déduire que KC = AB + AD. c) Montrer que KL = AB + AD. d) Conclure en remarquant que AB + AD = ( AB + AD ). ) ème Méthode : a) Déterminer dans le repère (A ; AB ; AD ) les coordonnées des points C, L et K. b) En déduire les coordonnées des vecteurs KC et KL. c) Conclure. 4) ème Méthode : On travaille cette fois encore dans le repère (A ; AB ; AD ) et on suppose les coordonnées précédentes des points C, L et K connues. Donner une équation de la droite (CK) et conclure à l aide de cette équation. ère S Année 06 07
Exercice n 9 : On considère l algorithme suivant rédigé en langage naturel : Entrée Traitement a un réel. b un réel. c un réel. d un réel tel que b d. d b Affecter à m la valeur. c a Affecter à p la valeur b m a. Sortie Afficher m et p. ) Quelle est la signification du résultat affiché par cet algorithme? ) Taper le programme correspondant sur votre calculatrice. Année 06 07 ère S