Reltions, fontions, pplitions Tony Bourier (2012) Tle es mtières 1 Reltions 1 1.1 Définitions..................................... 1 1.2 Représenttion.................................. 2 1.3 Reltion réiproque................................ 3 1.4 Imge et imge réiproque une prtie..................... 3 1.5 Restrition, prolongement, églité........................ 4 1.6 Opértions ensemlistes............................. 5 1.7 Composition.................................... 7 1.8 Propriétés..................................... 7 1.9 Reltions équivlene.............................. 8 1.10 Reltions orre................................. 9 2 ontions, pplitions 10 2.1 Définitions..................................... 10 2.2 Injetion, surjetion, ijetion.......................... 12 2.3 Applitions remrqules............................ 14 2.4 xeries..................................... 16 1 Reltions 1.1 Définitions Définition 1.1 : On ppelle reltion inire e l ensemle ns l ensemle tout sous ensemle e : R est l ensemle e éprt ou omine e l reltion R et l ensemle rrivée. Remrque 1.2 : De l éfinition éoule qu une reltion est ssimilée à un ensemle. Remrque 1.3 : Puisqu une reltion e ns est un éléments e P( ), si et sont eux ensemles finis e rinux respetifs n et m, le nomre e reltions possiles est 2 n m. Définition 1.4 : Soit R (i.e. une reltion e ns ). On it que x est en reltion pr R ve y si (x,y) R
1 Reltions 2 On note églement x R y ou enore R(x, y). Remrque 1.5 : On it que y est une imge e x pr R ou enore que x est un ntééent e y pr R. xemple 1.6 : Soient les ensemles suivnts M = {Mths Disrètes, Sttistiques, Info, SSG, Clquettes} et = {Bourier, Deltour, Jussien, Leoux, Om}. On peut éfinir l reltion M ensemle e éprt et ensemle rrivée M suivnte : = {(Bourier, Mths Disrètes), (Jussien, Mths Disrètes), (Jussien, Info), (Leoux, Info), (Deltour, SSG), (Bourier, Sttistiques)}. On remrque que «Om» n ps imge pr et que «Clquettes» ne possèe ps ntééent pr. Définition 1.7 : On ppelle omine une reltion R et l on note Dom(R) l ensemle es éléments e qui ont une imge ns pr R. Remrque 1.8 : Si R, on néessirement Dom(R). Définition 1.9 : On ppelle imge (ou oomine) une reltion R et l on note Im(R) l ensemle es éléments e possént u moins un ntééent ns pr R. Remrque 1.10 : Si R, on néessirement Im(R). 1.2 Représenttion Si et sont eux ensemles finis, lors toute reltion R est néessirement fini. Dns e s, on peut onner à R une représenttion ite sgittle : les ensemles et sont représensés pr es «pttoïes» et un élément x e est relié pr une flèhe orienté vers un élément y e si (x, y) R xemple 1.11 : Soient = {,,,} et = {,,,} eux ensemles et l reltion R = {(, ),(, ),(, ),(, )}. Une représenttion sggitle e l reltion R est onnée pr le grphe suivnt : On visulise imméitement Dom(R) = {,, } et Im(R) = {,, }. Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier
1 Reltions 3 1.3 Reltion réiproque Définition 1.12 : reltion éfinie pr : On ppelle reltion réiproque une reltion R l R 1 = {(y,x) (x,y) R} i.e. (y,x) R 1 (x,y) R (ou enore yr 1 x xry). Remrque 1.13 : Pour otenir l représenttion sgittle e R 1, il fut et il suffit e moifier le sens es flèhes e l représenttion sgittle e R. xemple 1.14 : Si l on repren exemple prééent, une représenttion sggitle e R 1 est onnée pr : Remrque 1.15 : Les résultts suivnts éoulent imméitement e l éfinition (et se vérifient visuellement sur le grphe) : Dom(R) = Im(R 1 ) Dom(R 1 ) = Im(R) (R 1 ) 1 = R 1.4 Imge et imge réiproque une prtie Définition 1.16 : Soient R (i.e. une reltion e ns ) et A. On ppelle imge e A pr R et l on note R(A) = {y x A, (x,y) R} l ensemle es imges es éléments e A pr R. Remrque 1.17 : Si R, R() = Im(R). Remrque 1.18 : Soient R et A. Si A Dom(R) =, lors R(A) =. Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier
1 Reltions 4 Définition 1.19 : Soient R (i.e. une reltion e ns ) et B. On ppelle imge réiproque e B pr R et l on note R 1 (B) = {x y B, (x,y) R} = { x y B, (y,x) R 1} l ensemle es ntééents es éléments e B pr R. Remrque 1.20 : Si R, R 1 () = Dom(R). Remrque 1.21 : Soient R et B. Si B Im(R) =, lors R 1 (B) =. 1.5 Restrition, prolongement, églité Définition 1.22 : Soient R une reltion e ns et A. On ppelle restrition e R à A et l on note générlement R A = R (A ) Définition 1.23 : Soient R 1 une reltion e ns et R 2 A où A. Si R 2 est l restrition e R 1 à A, lors R 1 est un prolongement e R 2 à. Remrque 1.24 : R 2 est l restrition e R 1 à A mis R 1 est un prolongement e R 2 à. xemple 1.25 : On onsière e nouveu l reltion R éfinie ns les prééents exemple insi que s restrition à A = {,}, R A e représenttion sgittle : A Définition 1.26 : Deux reltions R 1 et R 2 sont égles si et seulement si : elles ont le même ensemle e éprt elles ont le même ensemle rrivée elles ontiennent les mêmes ouples Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier
1 Reltions 5 Remrque 1.27 : Il fut ien fire ttention à ne ps oulier les eux premiers points! n prtiulier, l restrition e R à Dom(R) ne hnge ps le ontenu e R mis hnge l ensemle e éprt. Ces eux reltions ne sont lors ps égles, e qui se vérifie sur l représenttion sgittle. xemple 1.28 : et Dom(R) ne sont ps égles. On voit ien que, même si les éléments e R (représentés pr les flèhes) sont les mêmes, elles ne sont ps éfinies sur les mêmes ensemles. 1.6 Opértions ensemlistes Une reltion étnt vnt tout un ensemle, on s utorise sur les reltions les mêmes opértions que sur les ensemles, ns l mesure où les ensemles e éprt et rrivées restent inhngés. Nous nous ontenterons illustrer le omplémentire, l union et l intersetion pr es représenttions sggitles. xemple 1.29 : Soient les reltions R 1 et R 2 suivntes : Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier
1 Reltions 6 R 1 R 2 L union et l intersetion sont onnées pr : R 1 R 2 R 1 R 2 t le omplémentire pr : R 1 Définition 1.30 : Soient R 1 et R 2 eux reltions e ns. On it que R 1 est une sur-reltion e R 2 ou enore que R 2 est une sous-reltion e R 1 si les éléments (i.e. les flèhes ns l représenttion sgittle) e R 2 sont tous ns R 1. Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier
1 Reltions 7 Remrque 1.31 : n prtiulier, R 1 R 2 est une sous-reltion e R 1 et e R 2. R 1 R 2 est, qunt à elle, une sur-reltion e R 1 et e R 2. 1.7 Composition Définition 1.32 : Soient R 1 1 1 et R 2 2 2 (i.e. eux reltions e 1, resp. 2, ns 1, resp. 2 ). Si et seulement si 1 = 2, on ppelle omposée e R 1 pr R 2 et on note : R 2 R 1 1 2 = {(x,z) 1 2 y 1, (x,y) R 1 et (y,z) R 2 } l reltion ensemle e éprt 1 et ensemle rrivée 2 omposée e l ensemle es ouples (x,z) pour lesquels on peut trouver u moins un y 1 = 2 tel que xr 1 y et yr 2 z. xemple 1.33 : G A B C R 1 R 2 G B A C R 2 R 1 Remrque 1.34 : Soit n > 2. On peut étenre l éfinition es reltions inires ux reltions n-ires en onsttnt qu une reltion n-ire est une reltion inire ont l ensemle e éprt est un prouit rtésien. 1.8 Propriétés Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier
1 Reltions 8 Définition 1.35 : Soit R une reltion. R est ite réflexive si x, (x,x) R R est ite irréflexive si x, (x,x) / R Définition 1.36 : Soit R une reltion. R est ite symétrique si (x,y) 2, ( (x,y) R (y,x) R ) R est ite ntisymétrique si (x,y) 2, x y, ( (x,y) R (y,x) / R ) Remrque 1.37 : Cette éfinition peut églement s érire : (x,y) 2, ( (xry) et (yrx) ) x = y Définition 1.38 : Soit R une reltion. R est ite trnsitive si (x,y,z) 3, (x,y) R et (y,z) R (x,z) R 1.9 Reltions équivlene Définition 1.39 : Soit un ensemle non vie et R une reltion e ns. On it que R est une reltion équivlene si R est réflexive symétrique trnsitive Remrque 1.40 : L églité est une reltion équivlene. xemple 1.41 : Soit R N N éfinie pr : (x,y) N 2, xry ( (p,q) N 2, x 3 p = y 3 q) utrement it, xry si et seulement si x et y ont le même reste ns l ivision euliienne pr 3. Pr exemple 3R0 ou enore 4R13. On vérifie simplement que R est une reltion équivlene : R est réflexive. n effet, x, xrx. R est symétrique. n effet, si x le même reste que y ns l ivision euliienne pr 3, lors y le même reste que x... R est trnsitive. n effet, si x le même reste que y ns l ivision euliienne pr 3 et si y le même reste que z ns l ivision euliienne pr 3, lors si x le même reste que z ns l ivision euliienne pr 3. Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier
1 Reltions 9 Définition 1.42 : Soient R une reltion équivlene sur un ensemle et x un élément e. On ppelle lsse équivlene e x l ensemle : x R = {y (x,y) R} L lsse équivlene un élément est simplement l ensemle es éléments e qui lui sont équivlents. xemple 1.43 : Si l on repren l exemple prééent, on : 0 R = {0,3,6,9,12,15,...} 1 R = {1,4,7,10,13,16,...} 2 R = {2,5,8,11,14,17,...} Remrque 1.44 : Soit R est une reltion équivlene sur. (x,y) 2 1.10 Reltions orre xry ssi x R = y R Définition 1.45 : Soit un ensemle non vie et R une reltion e ns. On it que R est une reltion orre si R est réflexive ntisymétrique trnsitive Remrque 1.46 : L reltion «est inférieur ou égl à», usuellement notée est une reltion orre sur N. A noter que pour éviter toute miguïté, nous evrions érire N. Remrque 1.47 : Soit R une reltion orre sur. On it que eux éléments x et y sont omprles ssi xry ou yrx Définition 1.48 : Une reltion orre sur est totle si tous les éléments e sont omprles. Sinon, l reltion est ite prtielle. xemple 1.49 : Soient = {0,1} 2 et soit l reltion éfinie pr : (x 1,x 2,y 1,y 2 ) 2 (, (x1,x 2 ) (y 1,y 2 ) ) ( ) x 1 y 1 et x 2 y 2 On s perçoit que est une reltion orre prtielle. n effet, on ne peut ps omprer (0, 1) et (1, 0). Définition 1.50 : Soit un ensemle non vie et R une reltion e ns. On it que R est une reltion orre strit si R est irréflexive ntisymétrique trnsitive Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier
2 ontions, pplitions 10 Remrque 1.51 : On peut se ispenser e l onition ntisymétrie ns l éfinition puisque l irréflexité et l trnsitivité impliquent l ntisymétrie. Remrque 1.52 : L reltion sur N «est stritement inférieur à», usuellement notée «<» est une reltion orre strit. 2 ontions, pplitions 2.1 Définitions Définition 2.1 : Soit f une reltion e ns. f est une fontion e ns si et seulement si tout élément e possèe u plus une (soit zéro, soit une) imge ns pr f : x, r ( f ( {x} )) 1 utrement it, quelque soit x e, f ( {x} ) (l ensemle es imges e x pr f) est soit l ensemle vie, soit un singleton. Remrque 2.2 : Soit f une fontion e ns et x un élément e. S il existe y tel que (x,y) f, lors y est unique et est notée f(x). Définition 2.3 : Lorsque l on éfinit une fontion f e ns, on note : f : x f(x) et on lit «f est une fontion e ns qui à x ssoie f(x)». On note (,) ou l ensemle es fontions e ns. xemple 2.4 : L fontion «osinus» os : R [ 1,1] x os(x) pprtient à (R,[ 1, 1]). On peut églement éfinir l fontion «rré» rre : R R + x x x Remrque 2.5 : Lorsque l on n ps esoin e spéifier le nom e l fontion que l on mnipule et qu il n y ps miguïté sur les ensemles e éprt et rrivée, on peut ésigner une fontion iretement pr son expression : x f(x) xemple 2.6 : Dns (R,R), on peut { érire iretement x x x pour ésigner 1 l fontion «rré», ou enore x x si x 0 0 si x = 0. Remrque 2.7 : Lorsque l ensemle e éprt une fontion f est un prouit rtésien e n ensemles 1,..., n, on it que f est une fontion rité n ou enore une fontion Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier
2 ontions, pplitions 11 à n vriles et l on note : x i est ppelée i ième vrile e f. xemple 2.8 : pr f : 1... n (x 1,...,x n ) f(x 1,...,x n ) L fontion «puissne» qui pprtient à (R N,R) est éfinie puiss : R N R 1 si n = 0 (x,n) x n = n x si n > 0 lle est rité 2, x est s première vrile et n s seone vrile. i=1 Définition 2.9 : Soit f : une fontion e ns. On it que f est une pplition (ou une fontion totle) si = Dom(f) utrement it si tous les éléments e l ensemle e éprt possèent une imge pr f ns l ensemle rrivée : x, r ( f ( {x} )) = 1 Remrque 2.10 : Si f est une fontion, s restrition à son omine est une pplition. xemple 2.11 : sgittle : Soient eux reltions f 1 et f 2 e ns e représenttion f 1 f 2 f 1 est une fontion et f 2 est non seulement une fontion, mis églement une pplition : f 2 : si x = ou x = x si x = si x = Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier
2 ontions, pplitions 12 Remrque 2.12 : L omposition e eux fontions est une fontion et l omposition e eux pplitions est une pplition. Remrque 2.13 : n lieu et ple e l expression suivnte : «Soit { f : 1... n (x 1,...,x n ) y» on peut ire : «Soit f l fontion telle que (x 1,...,x n ) 1... n, f(x 1,...,x n ) = y» 2.2 Injetion, surjetion, ijetion Définition 2.14 : Une pplition f : est ite injetive ou est une injetion ssi y, il existe u plus un élément x tel que f(x) = y (tout élément y e met u plus un ntééent x pr f). Remrque 2.15 : L pplition f : est injetive ssi on ne peut ps trouver e y possént plusieurs ntééents pr f ns : e qui s érit églement : (y,x,x ), y = f(x) = f(x ) et x x (x,x ) 2, (f(x) = f(x ) x = x ) Remrque 2.16 : f est injetive ssi il n existe ps eux éléments ifférents e qui ont l même imge ns. Autrement it, eux éléments istints ne peuvent ps voir l même imge : (x,x ) 2, (x x f(x) f(x )) Définition 2.17 : Une pplition f : est ite surjetive ou est une surjetion ssi pour touty ns l ensemle rrivée, il existe u moins un élément x e l ensemle e éprt tel que f(x) = y : y, x, y = f(x) Tout élément y e met u moins un ntééent x pr f. Remrque 2.18 : L pplition f : est surjetive ssi on ne peut ps trouver e y ne possént ps ntééent pr f ns. Remrque 2.19 : L pplition f : est surjetive ssi f() = Im(f) =. xemple 2.20 : Soient 1, 2, 1 et 2 qutre ensemles finis et f 1 : 1 1 et f 2 : 2 2 eux pplitions : Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier
2 ontions, pplitions 13 1 1 2 2 e f 1 f 2 f 1 est une injetion et f 2 est une surjetion. Remrque 2.21 : L exemple prééent illustre un phénomène onnu sous le nom e lemme es tiroirs et qui ffirme que si plus éléments que, il est impossile e onstruire une injetion e ns. Remrque 2.22 : De l même fçon, si ontient plus éléments que, lors il est impossile e onstruire une surjetion e ns. Proposition 2.23 : Soient f : et g : G eux pplitions. On les propriétés suivntes : f et g injetives g f injetive g f injetive f injetive f et g surjetives g f surjetive g f surjetive g surjetive Définition 2.24 : Une pplition f : est ite ijetive ou est une ijetion si pour tout y ns l ensemle rrivée il existe un et un seul x ns l ensemle e éprt tel que f(x) = y : y,!x, y = f(x) Tout élément y e met un unique ntééent x pr f. Remrque 2.25 : Soit f : une pplition. On l équivlene suivnte : f ijetive (f injetive et f surjetive) xemple 2.26 : L pplition f : Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier
2 ontions, pplitions 14 f est ijetive. Remrque 2.27 : Si l pplition f : est ijetive, lors s reltion réiproquef 1 est une pplition, ijetive et : x, f 1 (f(x)) = x et y, f(f 1 (y)) = y. Remrque 2.28 : Attention à l ériture usive e f 1 (y). Cette ériture n e sens que lorsque f 1 est une pplition, e qui est le s si f est ijetive et lors f 1 (y) est l unique ntééent e y. On ne peut ps érire f 1 (y) en générl : si l on herhe les ntééents e y pr une pplition f quelonque, lors il fut érire f 1 ({y}) qui ser lors {x f(x) = y}. 2.3 Applitions remrqules Nous llons resser ii l liste e quelques pplitions très souvent utilisées. Définition 2.29 : On ppelle projetion nonique e 1 2... n sur i l pplition 1 2... n i (x 1,x 2,...,x n ) x i qui à tout n-uplet retourne le i ème élément. Remrque 2.30 : Si tous les k sont égux, ( 1 2... n = n ), lors on prle simplement e l i ème projetion. Définition 2.31 : On ppelle pplition ientité e l pplition éfinie pr : i : x x On l note prfois i s il n y ps miguïté sur. Remrque 2.32 : f (,) ijetive, f f 1 = i et f 1 f = i. Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier
2 ontions, pplitions 15 Définition 2.33 : Soit un ensemle et A. On ppelle pplition rtéristique ou initrie e A l pplition éfinie pr : 1 A : { {0,1} 1 si x A x 0 si x / A Définition 2.34 : Une pplition f : est ite onstnte si x, y, f(x) = f(y) Remrque 2.35 : Si est non vie, l éfinition est équivlente à «f est onstnte ssi r ( Im(f) ) = 1.» xemple 2.36 : L pplition f : suivnte : f est une pplition onstnte. x, f(x) =. Définition 2.37 : Soit un ensemle fini. On ppelle permuttion e toute pplition ijetive e ns. L ensemle es permuttion e est noté S() xemple 2.38 : Soit = {,,, } un ensemle. σ : x si x = si x = si x = si x = est une permuttion e. Remrque 2.39 : Si r() = n <, lors il existe n! = n (n 1)... 2 1 (n ftoriel) permuttions e. Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier
2 ontions, pplitions 16 Définition 2.40 : Une pplition f : n rité n est ite symétrique si elle est invrinte pr permuttion : σ S([1,n]), (x 1,...,,x n ) n, f(x 1,...,x n ) = f(x σ(1),...,x σ(n) ) utrement it, une pplition qui ne tient ps ompte le l orre es «éléments entrée». Définition 2.41 : Une trnsposition est une permuttion qui «éhnge» eux éléments et qui lisse invrint les utres éléments. xemple 2.42 : Soit = {,,, } un ensemle. σ : x si x = si x = si x = si x = est une trnsposition e. 2.4 xeries xerie 2.43 : Pour hque reltion suivnte, préisez si l reltion est réflexive, irréflexive, symétrique, ntisymétrique et trnsitive : 1. l reltion églité sur les entiers 2. l reltion e perpeniulrité sur l ensemle es roites 3. l reltion e prllélisme sur l ensemle es roites 4. l reltion «est le rré e» sur les entiers n éuire lesquelles sont es reltions orre et lesquelles sont es reltions équivlene. xerie 2.44 : Soit R N {,,} N éfinie pr 1. R est-elle une fontion? R = {(0,,1),(2,,0),(1,,3),(3,,2),(3,,9),(0,,4)} 2. R est-elle une pplition? 3. ormlisez l ensemle es ntééents e 1. 4. Déterminez un ensemle R tel quel R R soit une pplition. xerie 2.45 : Soit R N {,,} N éfinie pr 1. R est-elle une fontion? R = {(0,,0),(0,,1),(1,,3),(1,,2),(3,,9),(3,,4)} Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier
2 ontions, pplitions 17 2. R est-elle une pplition? 3. Déterminez une fontion f à prtir e lquelle on peut retrouver R. 4. Déterminez une pplition g à prtir e lquelle on peut retrouver R. xerie 2.46 : Que peut-on ire une reltion à l fois symétrique et ntisymétrique? xerie 2.47 : Prmi les ssertions suivntes, ohez elles qui sont vries. 1. L reltion inlusion u sens lrge entre prties un même ensemle est une reltion orre. 2. Deux lsses équivlene qui ont un élément ommuns ont onfonues. 3. Si f est une pplition un ensemle fini ns lui-même, les propriétés suivntes sont équivlentes : f injetive f surjetive f ijetive xerie 2.48 : Soit = {0,1,2}. Prmi les grphes suivnts, lesquels éfinissent une reltion équivlene sur? 1. Γ = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)} 2. Γ = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,2)} 3. Γ = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,2)} 4. Γ = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} 5. Γ = {(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)} xerie 2.49 : Soit = {1,2,3,4}. On note f l pplition e ns ont le grphe Γ est le suivnt : Γ = {(1,2),(2,3),(3,3),(4,1)} Prmi les ssertions suivntes, ohez elles qui sont vries. 1. L pplition f est surjetive. 2. f({2, 3}) est un singleton. 3. f 1 ({2,3}) est un singleton. 4. L imge réiproque pr f e tout singleton est non vie. 5. 4 n ps ntééent pour f. Pré-requis e Mthémtiques Version 1.0 Tony Bourier