1 Arthur LANNUZEL le 13 Décembre 2005 http ://utbmal.chez-alice.fr Plan vectoriel 1 Définitions Dans le plan affine R 2, considérons l ensemble B des bipoints (A, B) avec A, B R 2. Sur cet ensemble, deux bipoints (A, B), (C, D) sont dits equipollents ssi ABDC est un parallèlogramme. Définition 1.1 On appelle plan vectoriel, l ensemble des vecteurs AB de R 2 où AB est l ensemble des bipoints equipollents à (A, B). Remarque 1.2 i) Si (A, B) et (C, D) sont equipollents alors AB = CD. ii) L ensemble des vecteurs est en bijection avec R 2 (il suffit de fixer un point O et d envoyer le point M sur le vecteur OM). iii) Soit O le point de coordonnées (0, 0), et I et J de coordonnées respectives (1, 0) et (0, 1). En notant i := OI et j := OJ on peut alors exprimer tout vecteur en fonction de i et j. Si les coordonnées de M sont (x, y) alors OM = x. i + y. j. On note alors OM = (x, y) iv) On représentera le plan vectoriel en choisissant un repère orthonormé direct de la façon suivante : DESSIN Opérations du plan vectoriel. On peut additionner des vecteurs : AB+ AC = AD où D est le point du plan tel que (A, B, C, D) est un parallélogramme. Si AB = (x, y) et AC = (x, y ) alors AB + AC = (x + x, y + y ). Cette loi interne est associative, commutative, admet un élément neutre ( O = (0, 0) est le vecteur nul : u R 2, u + 0 = u.) et tout élément du plan vectoriel admet un opposé (l opposé de u = (xu, y u ) est u = ( x u, y u )). Soit λ R. On peut multiplier un vecteur OM = (x, y) par λ : λ. OM = (λ.x, λ.y) (loi externe).
2 Si λ, µ R et u, v sont deux vecteurs alors λ.(µ.u) = (λµ).u, λ.(u + v) = λ.u + λ.v, (λ + µ).u = λ.u + µ.u, 1.u = u. Remarque 1.3 i) Les propriétés précédente définissent un espace vectoriel sur R. ii) On a la relation de Chasles : AB + BC = AC. Définition 1.4 Deux vecteurs u et v sont dits colinéaires si il existe λ, µ R avec (λ, µ) (0, 0) tels que λ.u + µ.v = 0. Sinon, ils sont dits linéairement indépendants. Proposition 1.5 Deux vecteurs u = (x, y) et v = (x, y ) sont linéairement indépendants ssi xy x y 0. Exercice 1.6 ABC est un triangle 1. Exprimer AM en fonction de AB et AC dans chacun des cas suivants : a) 2 AM + AC = AB, b) MA + MB + MC = 0. 2. Déterminer AM en fonction de AB dans chacun des cas suivants : a) MA + 2 MB = 0, b) 4 MA = 5 MB. Bases. Une base de R 2 est un couple { e, f } de vecteurs libres. { i, j } est une base (dite canonique) de R 2. Proposition 1.7 Soit { e, f } une base de R 2 Pour w = (x, y) R 2, il existe un unique couple (X w, Y w ) tel que w = X w. e +Y w. f. (X w, Y w ) sont les coordonnées de w dans la base ( e, f ). Les coordonnées de w dans la base { i, j } sont (x, y). Exercice 1.8 Comment passe-t-on d une base à l autre? (penser aux matrices) 2 Droites. Définition 2.1 On appelle droite vectoriel engendrée par AB avec A B l ensemble des vecteurs colinéaires à AB. La droite (affine) passant par A et B est l ensemble des points M du plan tels AM appartienne à la droite vectorielle engendrée par AB. Un vecteur directeur d une droite est un vecteur non-nul appartenant à la droite vectorielle associée.
Proposition 2.2 1) Trois points A, B, C sont alignés ssi AB et AC sont colinéaires. 2) Une droite est définie par la donnée d un point et d un vecteur directeur ou par la donnée de deux points. 3) Deux droites sont parallèles si elles sont associée à la même droite vectorielle. Ou si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Equation paramétrique et équation cartésienne d une droite. La définition d une droite permet de construire deux types d équations suivant l interprétation : 1 - La définition d une droite vectorielle nous donne l équation paramétrique de la droite passant par A(x A, y A ) et B(x B, y B ) : l ensemble des points M(x, y) de la droite vérifient (x, y) = (x A, y A )+t.(x B x A, y B y A ), t R, ce qui nous donne { x = xa + t.(x B x A ) y = y A + t.(y B y A ) 2 - La proposition ci-dessus nous donne l équation cartésienne de la droite passant par A(x A, y A ) et B(x B, y B ) : l ensemble des points M(x, y) de la droite vérifient (x x A ).(y B y A ) = (y y A ).(x B x A ), ce qui nous donne (y y A ).(x B x A ) (x x A ).(y B y A ) = 0 ou sous la forme réduite y B y A x B x A y = y B y A x B x A.(x x A ) + y A s appelle le coefficient directeur de la droite (AB). Il ne dépend pas des deux points distincts choisis sur la droite. Etant donnée l équation cartésienne réduite d une droite : y = ax + b, son coefficient directeur est a, elle passe par le point de coordonnées (0, b) et un vecteur directeur est u = (1, a). Exercice 2.3 A quelle condition sur leur équation cartésienne deux droites sont-elles parallèles? 3 3 Géométrie euclidienne. 3.1 Produit scalaire, norme et distance euclidiennes. Définition 3.1 1) Le produit scalaire de 2 vecteurs u = (x u, y u ) et v = (x v, y v ) du plan muni d un repère orthonormé est le réel u. v = xu.x v + y u.y v. 2) Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul.
4 Proposition 3.2 Soit 3 vecteurs u = (x u, y u ), v = (x v, y v ) et w = (x w, y w ) du plan, λ, µ R. On a (i) u. v = v. u (le produit scalaire est commutatif). (ii) u.(λ. v + µ. w ) = λ. u. v + µ. u. w (distributivité). (iii) u. 0 = 0. (iv) u. u 0. (v) u. u = 0 u = 0. Définition 3.3 La norme (euclidienne) d un vecteur u = (x u, y u ) du plan est u = u. u = x 2 u + y 2 u. Théorème 3.4 (Inégalité de Cauchy-Schwarz) Soient 2 vecteurs u = (x u, y u ) et v = (x v, y v ) du plan. u. v u. v. Preuve. u 2. v 2 = x 2 ux 2 v + y 2 uy 2 v + x 2 uy 2 v + y 2 ux 2 v, ( u. v ) 2 = x 2 ux 2 v + y 2 uy 2 v + 2x u x v y u y v. Or x 2 uy 2 v + y 2 ux 2 v 2x u x v y u y v 0 par identité remarquable, d où le résultat. CQFD Propriétés 3.4.1 (ces propriétés définissent une norme) u, v R n, λ R, i) u = 0 u = 0, ii) λ.u = λ. u, iii) u + v u + v (exo.). Exercice 3.5 De la même manière qu avec la valeur absolue, montrer que u, v R n, u v u v. Remarque 3.6 La norme euclidienne définie une distance sur le plan en prenant pour A(x A, y A ) et B(x B, y B ) deux points du plan d(a, B) = AB = AB = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2. Quand on travaille avec cette distance, on parle de géométrie euclidienne. Proposition-définition 3.7 L angle de deux vecteurs non nuls u et v du plan euclidien muni d un repère orthonormé est l unique réel α (modulo 2π) tel que u. v = u. v. cos(α) et tel que le signe de sin α est celui de x u y v x v y u. Exercice 3.8 A quelle condition a-t-on l égalité u + v = u + v? Exercice 3.9 A quelle condition sur leur équation cartésienne deux droites sont-elles perpendiculaire? Exercice 3.10 Soit ABC un triangle non-dégénéré (i.e. dont les 3 côtés ne sont pas alignés). Écrire BC en fonction de AB et AC.
5 Repère orthonormé. Un repère orthonormé de R 2 est une base { e = (x e, y e ), f = x f, y f )} avec e = f = 1 et e. f =0. Si de plus x e y f x f y e > 0, on parle de repère orthonormé direct. La base canonique est un repère orthonormé direct. 3.2 Cercle. Un cercle de centre A et de rayon r est, par définition, l ensemble des point du plan placés à une distance r de A. On en déduit dont le cercle de centre A(x A, y A ) et de rayon r est C(A, r) := {M(x, y) R 2 /(x x A ) 2 + (y y A ) 2 = r 2 }. Exercice 3.11 Soient A(x A, y A ) et B(x B, y B ), trouver l équation du cercle de diamètre [AB]. Indication : Prendre un point M(x, y) du cercle. Que vérifie le triangle ABM (en profiter pour le montrer)? Exercice 3.12 Soit C un cercle de centre A(x A, y A ) et de rayon r. Soit M un point de C. Il existe une unique tangente à C passant par M. Quelle est son équation?