Cours et eercices e matématiques DERIVABILITE EXERCICES CORRIGES M. CUAZ, ttp://matscyr.free.fr Eercice n. Soit f la fonction éfinie sur par f 3 + 4 5. Démontrer que f est érivable en 3 et calculer f (3) Eercice n. f Soit f la fonction éfinie sur par : La fonction f est-elle érivable sur? Eercice n 3. f est la fonction éfinie sur par < si 0 si 0 f + 3 ( 0) f f a) Pour tout réel 0, émontrer que : + 3+ 3 b) En éuire que f est érivable en 0 et onner le nombre érivé e f en 0. Eercice n 4. ) Etuier la érivabilité en 0 e f ) Soit f la fonction numérique éfinie par a) Déterminer l ensemble e éfinition e f b) Etuier la érivabilité e f en + et en Eercice n 5. ) f est la fonction éfinie sur [ 0;+ [ par f + a) Etuier la érivabilité e f en 0 b) Dans un repère ortoonal, la courbe représentant f amet-elle une tanente au point abscisse 0? 0;+ par ) est la fonction éfinie sur [ [ a) Etuier la érivabilité e en 0 b) Dans un repère ortoonal, la courbe représentant amet-elle une tanente au point abscisse 0 Eercice n 6. f On consière la fonction éfinie sur par : a) Donner, suivant la valeur e, l epression e f() b) Etuier la érivabilité e f en Eercice n 7. f est la fonction éfinie sur par f C est la courbe représentant f ans un repère ortonormal. ) Tracer la courbe C. On note A le point e C abscisse. ) a) Montrer que f est érivable à roite en. b) Déterminer une équation e la tanente à roite à la courbe C au point A. Tracer cette tanente. 3) a) Montrer que f est érivable à auce en. b) Déterminer une équation e la tanente à auce à la courbe C au point A. Tracer éalement cette tanente. 4) La fonction est-elle érivable en? Eercice n 8. f est la fonction éfinie sur par f ( ) a) Dans un repère, tracer la courbe représentative C e f b) Démontrer que la fonction f est érivable en. Donner le nombre érivé e f en c) Déterminer une équation e la tanente T à la courbe C au point abscisse. Pae /6
Cours et eercices e matématiques Eercice n 9. f est la fonction éfinie sur par f * a) Pour tout réel tel que + 0 et 0, eprimer en fonction e le rapport b) En éuire que f est érivable en et onner le nombre érivé e f en - M. CUAZ, ttp://matscyr.free.fr ( + ) ( ) f f Eercice n 0. En utilisant la éfinition u nombre érivé, éterminer la limite es fonctions suivantes en a sin ) f en a 0 cos ) f en a 0 cos 3) f en a sin 4) f en a cos Pae /6
Cours et eercices e matématiques Eercice n Pour tout 0, on calcule : DERIVABILITE - CORRECTION ( 3+ ) ( 3) 33 ( + ) + 43 ( + ) 5 ( 3 3 + 4 3 5 ) f f 39 6 4 5 34 7 8 3 4 5 34 3 + + + + + + + + + 3 + f ( 3+ ) f ( 3) Puisque lim lim 3 +, on en conclut que f est érivable en 3 et f (3) 0 0 Eercice n f est érivable sur Pour tout ] ;0[, ] ;0[ en tant que fonction polynôme et sur [ 0;+ [ en tant que fonction affine. f ( 0) 0 ] [ à roite en 0 et f f 0 ( ) onc 0. De plus, pour tout 0; +, f 0. Mais comme f ( 0) f 0 < 0 ( 0) M. CUAZ, ttp://matscyr.free.fr f f lim 0 onc f est érivable à auce en 0 et 0 0 > 0 ( 0) f f 0 ( ) f f onc lim onc f est érivable 0 0 0, on conclut que f n est pas érivable en 0 (Point anuleu) Eercice n 3 a) On met en œuvre la tecnique ite e la «multiplication par la quantité conjuuée» : Pour tout réel 0, ( 0) + 3 3 ( + 3 3)( + 3+ 3) ( + 3+ 3) ( + 3) ( 3) + 3 3 ( + 3+ 3) ( + 3+ 3) ( + 3+ 3) f f + 3+ 3 f f 0 0 b) Puisque lim 0 et li m + 3 3, on aura li m lim 0 0 0 0 0 + 3+ 3 3 La fonction f est érivable en 0 et f 0 0. Eercice n 4 f ( 0+ ) f ( 0) f f ( 0) 0 ) Pour tout 0, on calcule : f ( 0+ ) f ( 0) Puisque lim lim 0, on en conclut que f est érivable en 0 et f (0) 0 0 0, onc D f [ ;] ) a) f est éfinie pour toutes les valeurs e pour lesquelles 0 b) Pour tout [ ;[, f f 0 f f, onc lim lim 0, () onc f est érivable (à auce) en et f. De plus, pour tout ] ;], Puisque lim et > < < f f 0 + + + + lim + 0, on en conclut par quotient, que > que f n est pas érivable en 4) On consière la fonction éfinie sur par : + lim > f ( ) f f + +, onc Pae 3/6
Cours et eercices e matématiques Eercice n 5 f f ( 0) + 0 ) a) Pour tout > 0, + + + f f Puisque lim 0, on en éuit par limite u quotient, que lim 0 > 0 0 0 > 0 > 0 0 lim+ + M. CUAZ, ttp://matscyr.free.fr La fonction f n est onc pas érivable en 0 b) Dans un repère ortoonal, la courbe représentant f amet en son point abscisse 0 une emi-tanente verticale. ( 0) 0 ) a) Pour tout > 0, + ( 0) Puisque lim 0, on en éuit que li m lim 0 0 0 0 > 0 > 0 > 0 La fonction est onc érivable en 0 et ( 0) 0 b) Dans un repère ortoonal, la courbe représentant amet en son point abscisse 0 une emi-tanente orizontale. Eercice n 6 ; ; +, 0 onc a) Pour tout ] ] [ [ Pour tout [ ;] 0, onc f f f f + b) On étermine li m lim lim lim + > > > > f La fonction f est onc érivable à roite en et f f + On étermine lim lim lim lim ( + ) < < < < La fonction f est onc érivable à auce en et f f () f () Cepenant, puisque, f n est pas érivable en. Eercice n 7 ) Pour tout ; ; + [, 0 onc ] ] [ [ ] Pour tout ;, 0 onc f. f. La courbe représentative e f est onc constituée e l union e eu courbes paraboles : celle e la fonction pour ; ; + [, et celle e la fonction ;. ] ] [ ) a) Pour tout >, pour [ ] ( )( + ) f f f f +, onc lim lim +, ce qui nous > > permet affirmer que f est érivable à roite en et que f b) Une équation e la tanente à roite à la courbe C au point A est y f ( ) f ( ) y 3) a) Pour tout <, ( ) ( )( + ) f f ( + + 0, c est-à-ire f f + ), onc lim lim ( + ), ce < < qui nous permet affirmer que f est érivable à auce en et que f b) Une équation e la tanente à auce à la courbe C au point A est y f ( ) f ( ) y + 4) La fonction f n est pas érivable en car f () f Les tanentes à roite et à auce en A étant ifférentes, on it que A est un point anuleu. + + 0, c est-à-ire Pae 4/6
Cours et eercices e matématiques Eercice n 8 a) Pour tout 0, Pour tout 0, ( b) Pour tout >, onc f ( )( ) ( ) ) onc f ( ) ( ( ) ) ( ) f f 0 f f, onc lim lim 0. f 0 La fonction f est onc érivable à roite en et f f ( ) 0 De plus, pour tout <, ( > > M. CUAZ, ttp://matscyr.free.fr f f ), onc li m lim ( ) 0. < < La fonction f est onc érivable à auce en et f 0 Puisque f () f () 0, on conclut que f est érivable en et f 0 c) L équation e la tanente T à la courbe C au point abscisse est e la forme y f ( ) f y 0. Il s ait onc e l ae es abscisses Eercice n 9 a) Pour tout réel tel que + 0 et 0, ( + ) f ( + ) f ( ) ( + ) ( ) ( + ) + + ( ) ( ) + + ( + ) ( + ) +, c est-à-ire b) Puisque lim et lim + onc lim( + ), on en éuit, par application es rèles sur le quotient, 0 0 0 f + f que li m lim, onc que f est érivable en et que le nombre érivé e f en vaut 0 0 + Eercice n 0 ) Si on pose sin f ( 0), alors 0 sin0 0, et ainsi, pour tout 0, sin sin sin 0 0 0 La fonction étant érivable en 0, le quotient f Or, pour tout réel, cos ) Si on pose cos f ( 0) 0 onc 0, et on conclut que ( 0) amet onc une limite finie en 0 éale à ( 0). sin lim 0, alors 0 cos0, et ainsi, pour tout 0, cos cos cos 0 0 0 La fonction étant érivable en 0, le quotient f Or, pour tout réel, sin onc ( 0) 0 0 sin00, et on conclut que amet onc une limite finie en 0 éale à ( 0). cos lim 0 0 Pae 5/6
Cours et eercices e matématiques M. CUAZ, ttp://matscyr.free.fr 3) Si on pose ( ) cos, alors cos 0, et ainsi, pour tout, cos cos cos f La fonction étant érivable en, le quotient f amet onc une limite finie en éale à. Or, pour tout réel, sin onc sin cos, et on conclut que lim ) Pour trouver cette limite, il faut «séparer» en eu la fraction sin sin Pour tout, f cos cos sin On oit étuier séparément l eistence es eu limites lim et lim cos Si on pose ( ) sin, alors sin, et ainsi, pour tout, sin sin sin lim lim cos 0, tanis que la euième limite lim est l inverse e celle trouvée ans la question c), onc vaut cos sin lim 0 0, et ainsi cos Par prouit es limites, sin lim 0 cos Pae 6/6