Rapport de stage de Master 2 Combinatoire additive: les ensembles de Sidon

Rapport de stage de Master 2 Combinatoire additive: les ensembles de Sidon Victor Lambert Université Paris 6 Ecole Polytechnique (CMLS) Mai à Septembre 2012 1

Table des matières 1 Quelques résultats de théorie additive des nombres 5 1.1 Des résultats dans N.......................... 5 1.2 Dans Z p................................. 6 1.3 Théorème de Kneser.......................... 7 2 Les ensembles de Sidon 8 2.1 Ensembles de Sidon finis........................ 8 2.1.1 Dans N............................. 8 2.1.2 Les ensembles de Sidon modulaires.............. 15 2.1.3 Les ensembles de Sidon additifs et multiplicatifs....... 20 2.2 Ensembles de Sidon infinis....................... 23 2.3 Des résultats sur les B h [g]....................... 28 Annexes 30 A Méthode polynomiale et applications 30 B Programmation 32 C Bibliographie 33 2

Introduction Dans le cadre de mon Master 2 Mathématiques et Applications à l Université Pierre et Marie Curie, parcours Optimisation Jeux et Modélisation en Economie, j ai effectué un stage de recherche en combinatoire additive, sous la tutelle d Alain Plagne. Je poursuivrai ma thèse dans ce même domaine, c est pourquoi le stage a été en quelque sorte préparatoire à la thèse. Je me suis donc principalement cultivé et documenté sur la théorie additive des nombres, tout en essayant en parallèle de réfléchir à des questions concernant les ensembles de Sidon. Dans ce rapport, j ai donc décidé dans une première partie de présenter quelques aspects de la combinatoire additive qui m ont particulièrement intéressé, avant de parler dans une seconde partie de ces ensembles de Sidon. J ai eu l occasion grâce à ce stage d assister à une semaine de conférence autour des théories additive et combinatoire des nombres. Cela m a permis de voir un peu plus comment fonctionnait la recherche et d entendre parler de problèmes combinatoires différents de ceux auxquels je m étais intéressé jusqu ici. Par ailleurs j aimerais remercier Jérémy Le Borgne et Paul Brunet pour l aide qu ils ont pu me fournir, avant tout en programmation. 3

Notations Les notations présentées ci-dessous seront utilisées tout au long de ce rapport : a, b désignera l ensemble des entiers compris entre a et b. A est le cardinal de A. A+B est la somme de Minkowski de A et B, c est à dire {a+b, a A, b B}. a + B = {a} + B. ha est l ensemble des sommes de h éléments de A. λ A est l ensemble {λa, a A}. Z p désignera Z pz A est le complémentaire de A dans l ensemble considéré. a b = pgcd(a, b). P désignera l ensemble des nombres premiers. Si x R, [x] désignera sa partie entière tandis que {x} = x [x] désignera sa partie fractionnaire. 4

1 Quelques résultats de théorie additive des nombres Cette partie est très largement inspirée de ma lecture du Nathanson [7]. 1.1 Des résultats dans N En théorie additive des nombres, on considère un ensemble A d un groupe abélien et on essaie de déterminer la structure et les propriétés de ha. Par exemple, le théorème de Lagrange qui donne la décomposition de tout nombre entier positif comme somme de quatre carrés est traduit de la façon suivante : Théorème 1. Soit A l ensemble des carrés, alors 4A = N. Ces études nous amènent fréquemment à considérer les progressions arithmétiques : Définition 1. Une progression arithmétique de longueur k, de différence q et de premier terme a 0 est un ensemble de la forme {a 0, a 0 + q,, a 0 + (k 1)q} = a 0 + q 0, k 1. Voyons un premier cas où celles-ci apparaissent. Considérons A, B des ensembles finis d entiers, de tailles respectives k et l. On se demande quelle taille peut avoir A + B. Si on classe les éléments de A et B dans un ordre strictement croissant, on peut remarquer que A + B contient les k + l 1 éléments suivants : a 0 +b 0 < a 0 +b 1 < a 1 +b 1 < a 1 +b 2 < < a k 1 +b k 1 < a k 1 +b k < < a k 1 +b l 1 Ainsi, A + B A + B 1. On s intéresse alors naturellement au problème inverse, c est-à-dire qu on se demande pour quels ensembles on peut avoir égalité. Et c est là qu interviennent les progressions arithmétiques. Plus précisément, et plus généralement, on a le théorème suivant : Théorème 2. Si h 2 et A 1,, A h sont des ensembles finis d entiers, alors A 1 + + A h A 1 + + A h (h 1) et on a égalité si et seulement si les A i même différence. sont des progressions arithmétiques de 5

1.2 Dans Z p Le problème est à nouveau de trouver une borne inférieure à A + B en fonction de A et B. Commençons par remarquer dans le cas général d un groupe abélien fini G que si A + B > G alors A + B = G. En effet, dans ce cas, on a pour tout g élement de G G A (g B) = A + g B A (g B) Et comme g B = B, on en déduit d après l hypothèse A (g B) A + B G 1 Mais alors, g G, (a, b) A B tels que a = g b donc G = A + B Cela donne déjà une réponse lorsque A + B est grand. Dans le cas de G = Z p une réponse plus précise est apportée par le théorème de Cauchy-Davenport. Théorème 3. Soit A et B des sous-ensembles non vides de Z p avec p premier. Alors : A + B min(p, A + B 1) On peut trouver une preuve du théorème de Cauchy-Davenport utilisant la méthode polynomiale dans [12]. Ce n est pas la démonstration que l on trouve dans le Nathanson [7] mais j ai souhaité présenter celle-ci en annexe, afin d introduire dans ce rapport la méthode polynomiale. Dans le cas de G = Z n, on a le théorème suivant dont on peut d ailleurs déduire (c est ce que fait [7]) Cauchy-Davenport. Théorème 4. Soit A et B des sous-ensembles non vides de Z n avec n 2. Si 0 B et b n = 1 b B\{0} alors A + B min(n, A + B 1) On a également une généralisation du théorème de Cauchy-Davenport, résultat qui s obtient par récurrence : Théorème 5. Si h 2 et A 1,, A h sont des sous-ensembles non vides de Z p avec p premier, alors : A 1 + + A h min(p, A 1 + + A h (h 1)) 6

Là encore, on se pose le problème inverse, c est-à-dire qu on se demande quelles paires d ensembles (A, B) vont vérifier la condition A + B = A + B 1. On appelera paire critique un tel couple (A, B). Le théorème suivant, dû à Vosper, permet de les classifier. Théorème 6. Soit A et B des sous-ensembles non vides de Z p avec p premier tels que A + B Z p alors A + B = A + B 1 si et seulement si on est dans l une des trois situations suivantes : 1. min( A, B ) = 1, 2. A + B = p 1 et B = c A avec {c} = G\(A + B) 3. A et B sont des progressions arithmétiques de même différence. On trouve une application de ce résultat dans l article d Alain Plagne [9]. Définition 2. Dans un groupe abélien G, on dit qu un ensemble S est (k, l)-libre si ks ls =. Le théorème démontré dans le papier est le suivant : Théorème 7. Soient p 2 premier et k, l vérifiant k l mod p et max(k, l) 3. Alors un ensemble (k, l)-libre maximal dans Z p est une progression arithmétique. 1.3 Théorème de Kneser Un autre résultat important de théorie additive est le théorème de Kneser. On se place dans le cadre général d un groupe abélien G et on introduit le stabilisateur d un ensemble. Définition 3. Le stabilisateur de S noté H(S) est {g G g + S = S}. Il s agit d un sous-groupe de G, on peut aussi le définir comme étant le plus grand sous-groupe de G vérifiant H + S = S. Théorème 8. Soit G un groupe abélien et soient A et B des sous-ensembles finis non vides de G. Soit H = H(A + B). Si A + B < A + B alors A + B = A + H + B + H H Ce résultat est plus fort que Cauchy-Davenport, que l on déduit aisément du théorème de Kneser. 7

2 Les ensembles de Sidon On considère A un ensemble contenu dans un ensemble muni d une structure additive. Soit h 2 un entier. On note R n (h, A) le nombre de représentations de n de la forme n = a 1 + + a h où les a i appartiennent à A. On considère que deux représentations sont identiques si elles ne diffèrent que par une permutation des a i. Définition 4. On dit que A est un B h [g]-ensemble si n, R n (h, A) g. Ces ensembles ont été introduits par Simon Sidon en 1932, alors qu il s intéressait aux normes L p de séries de Fourier. Il interrogea Erdős à propos du cardinal maximum d un B 2 [g]-ensemble contenu dans 1, n. A partir de là, l étude de ces ensembles est devenue un sujet très important de la combinatoire additive. On s intéressera ici principalement aux B 2 [1]-ensembles, précisément appelés ensembles de Sidon. Je mentionnerai simplement quelques résultats et références à propos des B h [g] en général, à la fin de cette partie. On trouvera dans [8] de nombreuses références concernant les travaux autour de ces ensembles. 2.1 Ensembles de Sidon finis La question principale est d estimer la taille des plus grands ensembles de Sidon contenus dans un ensemble donné. On notera F (n) (respectivement f(n)) le plus grand ensemble de Sidon contenu dans 1, N (respectivement dans Z n ). On va voir qu il existe un lien très fort entre les travaux faits dans N et dans les groupes cycliques. 2.1.1 Dans N Remarquons pour commencer que dans un ensemble de Sidon, les différences d éléments distincts sont distinctes. C est en analysant ces différences que Erdős et Turan sont parvenus à obtenir la borne supérieure suivante, dont la démonstration ci-dessous est issue de [11]. Théorème 9. F (n) n 1/2 + n 1/4 + 1 Démonstration. Considérons A un ensemble de Sidon contenu dans 1, n dont les éléments sont les a i 1 a 1 < a 2 < < a r n 8

On pose u = n 1/4, et on s intéresse aux différences suivantes : a 2 a 1, a 3 a 2,, a r a r 1 a 3 a 1, a 4 a 2,, a r a r 2. a u+1 a 1, a u+2 a 2,, a r a r u Comme A est un ensemble de Sidon, ces différences sont distinctes et on en a u (r i) = ru i=1 u(u + 1) 2 L idée est de compter de deux manières la somme S de toutes ces différences. Comme elles sont toutes disctinctes, on a d une part S ru u(u+1) 2 i=1 i = 1 2 u(u + 1) u(u + 1) (ru )(ru + 1) 2 2 Maintenant si l on somme les différences de la k-ième ligne, on obtient (en utilisant r k k + 1) ce qui donne r i=k+1 r k a i a i = i=1 u S < kn < k=1 De ces inégalités on obtient après calcul r k a i a i < kn i=r k+1 i=1 nu(u + 1) 2 r < n 1/2 + n 1/4 + 1 Il s agit toujours de la meilleure majoration connue de F (n). Nous allons maintenant exhiber des entiers n pour lesquels F (n) est de l ordre de n. Pour cela, nous allons voir trois constructions modulaires utilisant les propriétés des corps finis. Celles-ci nous donneront les valeurs de f(p 2 + p + 1), f(p 2 1) et f(p 2 p) pour tout nombre premier p. On constate en effet que pour tout n, on a F (n) f(n) ; pourtant, on pourrait espérer mieux que des 9

constructions modulaires puisque celles-ci rajoutent des contraintes par rapport aux constructions dans N, on verra que cela suffit pour obtenir F (n) n. Historiquement, la première construction est due à Singer en 1938, il s intéressait à des problèmes de géométrie projective finie et une application de ses résultats étaient f(p 2 + p + 1) = p. La méthode qu il utilisait dans [15] n était pas immédiatement en lien avec la théorie des nombres, c est pourquoi la démonstration que je vais faire ici ne sera pas du tout la même et sera, bien que différente, plutôt inspiré des travaux de Bose et Chowla dans [2]. Théorème 10. Soit p un nombre premier alors f(p 2 + p + 1) = p + 1 Démonstration. Soit µ un générateur de F p 3. On note S l ensemble des éléments de F p qui s écrivent sous la forme uµ + v, 3 avec u dans F p et v dans F p. On a S = p(p 1). Il y a une action naturelle de F p sur ces éléments par multiplication, et chaque orbite sous cette action contient exactement un élément de la forme µ + v. Si l on s intéresse maintenant à l ensemble S des éléments de F p /F 3 p qui ont la propriété d avoir un relevé dans F p qui soit dans S, ce qu on vient de dire montre 3 que tous les relevés d un élément de S sont dans S, et qu il en existe un unique de la forme µ + v, ce qui permet de déduire S = p. On introduit alors l isomorphisme φ : Z p 2 +p+1 F p 3 /F p µ µ a Posons A = φ 1 (S ). C est l ensemble des éléments a Z p 2 +p+1 tels que µ a est de la forme uµ + v avec u dans F p et v dans F p. De plus, A est de cardinal p, ne contient pas 0 et d après ce qu on a fait précédemment, on peut choisir pour chaque a dans A un unique représentant dans Z p 3 1 tel que µ a soit de la forme µ + v avec v dans F p. Montrons que B = {0} A est un ensemble de Sidon. Cela donnera le résultat souhaité. En effet, 0 / A donc B = p + 1. On suppose donc a + b = c + d avec (a, b, c, d) B 4. Evacuons les cas où 0 appartient à ce quadruplet. L argument principal qu on utilisera est que µ ne peut pas être racine d un polynome non nul de degré plus petit que 2 à coefficients dans F p. En effet, s il est de degré 1, on obtient directement que µ est dans F p et dans le cas où il est 10

de degré 2, F p [µ] est une extension de degré 2 de F p, donc isomorphe à F p 2. En particulier, µ p2 = µ, ce qui est faux par hypothèse (µ est d ordre p 3 1). Si a = b = 0, supposons c = d 0, on a alors une relation du type 1 = (u c µ + v c )(u d µ + v d ) valable dans F p 3 /F p et qui donne donc dans F p 3 une relation du type 1 = w(u c µ + v c )(u d µ + v d ) avec w dans F p. On obtient donc un polynôme de de degré 2 car les u i sont dans F p et à coefficients dans F p annulé par µ, d où la contradiction. Si a = 0 et b, c, d non nuls. On a µ b = µ c µ d ce qui donne une relation du type u b µ + v b = (u c µ + v c )(u d µ + v d ) valable dans F p 3 /F p et qui donne donc là aussi dans F p 3 une relation du type u b µ + v b = w(u c µ + v c )(u d µ + v d ) Et on conclut par le même raisonnement. Les autres cas sont évidents. On considère donc (a, b, c, d) A 4, tels que a + b = c + d. On utilise ici le fait que ces quatre éléments ont des représentants a, b, c, d dans Z p 3 1 tels que µ i = µ + v i, i {a, b, c, d}. On a alors dans F p 3 /F p (µ + v a )(µ + v b ) = (µ + v c )(µ + v d ) donc il existe w F p tel que cette fois dans F p 3 (µ + v a )(µ + v b ) = w(µ + v c )(µ + v d ) Mais alors w = 1 et v a + v b = v c + v d. D où µ a + µ b = µ a + µ b = µ c + µ d = µ c + µ d Les couples (µ a, µ b ) et (µ c, µ d ) ont donc mêmes somme s et produit r, c est donc qu ils sont égaux (ils sont en effets les racines du polynôme X 2 sx + r sur F p 3[X]). Comme µ est générateur de F p les couples (a, b) et (c, d) sont égaux, ce qui 3 démontre que B est bien un ensemble de Sidon. 11

Une construction similaire, mais ne posant pas les problèmes de passage au quotient, due à Bose permet de démontrer le résultat suivant. Théorème 11. Soit p un nombre premier alors f(p 2 1) = p Démonstration. Soit µ un générateur de F p 2. On s intéresse à A = {a Z p 2 1 µ a µ F p } Cet ensemble est de cardinal p puisque µ a µ décrit tout F p 2 n appartient pas à F p. Démontrons que A est un ensemble de Sidon. On considère donc (a, b, c, d) A 4. On considère le polynôme sauf µ qui P = (X + µ a µ)(x + µ b µ) (X + µ c µ)(x + µ d µ) Celui-ci est à coefficients dans F p et de degré plus petit que 1. Or, µ est une racine de P. Mais comme µ n appartient pas à F p, P est donc le polynôme nul. La nullité du coefficient du monôme X de P donne µ a + µ b = µ c + µ d Les couples (µ a, µ b ) et (µ c, µ d ) ont donc mêmes somme et produit, et on conclut exactement comme dans la démonstration précédente. La troisième construction, due à Ruzsa, est elle quelque peu différente. Théorème 12. Soit p un nombre premier alors f(p 2 p) = p 1 Démonstration. Soit µ un élément primitif de F p. Soit t tel que 1 t < p 1, définissons a t tel que 1 a t < p 2 p de la façon suivante a t t mod p 1 a t µ t mod p Ces deux congruences définissent parfaitement a t d après le théorème chinois. 12

Considérons alors A = {a t, 1 t < p 1} et montrons que c est un ensemble de Sidon. Supposons que l on a a x + a y = a z + a t = k. (X a x )(X a y ) = X 2 kx + a x a y Or, a x a y µ x+y mod p, mais µ est un générateur du groupe cyclique F p de cardinal p 1 et x + y a x + a y mod p 1 donc a x a y µ k mod p. Comme il en est de même pour a z et a t, on a dans F p [X] (X a x )(X a y ) = X 2 kx + µ k = (X a z )(X a t ) C est donc que les deux paires sont identiques modulo p. Supposons, sans perte de généralité a x a z mod p a y a t mod p Cela signifie µ x µ z mod p et d après ce qu on a vu précédemment cela implique x z mod p 1 et donc a x a z mod p 1. De même pour a y et a t. Finalement d après le théorème chinois on en déduit (a x, a y ) = (a z, a t ) Et A est donc bien un ensemble de Sidon. En fait, les trois théorèmes que je viens de mentionner ne sont pas encore totalement démontrés. En effet, on obtient grâce à ces constructions les trois inégalités suivantes. f(p 2 + p + 1 p + 1 f(p 2 1) p f(p 2 p) p 1 Mais il reste à voir que ces constructions sont optimales, ce qui est le cas, comme on le verra au début de la prochaine partie sur les ensembles de Sidon modulaires. La répartition des nombres premiers P et donc celle de {p 2 p, p 2 1, p 2 + p + 1} p P permet donc de montrer que F (n) n. 13

Cependant, peu de progrès sont connus concernant l amélioration des bornes de F (n) n. Si β un réel vérifie qu il existe toujours un nombre premier entre n n β et n alors on a n β/2 < F (n) n < n 1/4 + 1 Il est connu qu on peut prendre β = 0, 525. 14

2.1.2 Les ensembles de Sidon modulaires On avait commencé la partie précédente en utilisant le fait qu un ensemble de Sidon était aussi un ensemble dans lequel les différences d éléments distincts étaient distinctes. Utilisons cela pour déterminer une majoration classique mais utile de f(n). Pour chaque paire d éléments de notre ensemble de Sidon, on obtient donc deux différences qui appartiennent à Z n \{0} ; 0 est également la différence de toutes les paires d éléments égaux. On a ainsi ( ) f(n) 2 + 1 n 2 Cela donne une inéquation du second degré qui nous permet d avoir la majoration On vérifie alors aisément que f(n) 1 2 + 3 4 + n = α(n) α(p 2 p) < p α(p 2 1) < p + 1 α(p 2 + p + 1) < p + 2 Et cela donne les résultats d optimalité dont on avait besoin pour conclure les démonstrations des théorèmes 10, 11 et 12. Des résultats de la partir précédente, on peut déjà tirer lim sup f(n) n = 1 La majoration par α(n) combinée avec l inégalité évidente f(n) F (n/2) ne donne par-contre que 1 lim inf f(n) 1 2 n Je me suis donc intéressé à cette fonction f(n), et même si l étude de son asymptotique est plutôt l objectif, j ai essayé d obtenir ses premières valeurs avec l espoir d en dégager certaines propriétés ou de remarquer certains comportements utiles. Je présente dans le tableau suivant les résultats obtenus numériquement. 15

n f(n) n f(n) 2 1 Ruzsa 41 6 3 2 Bose 42 6 Ruzsa 4 2 43 6 5 2 44 6 6 2 Ruzsa 45 6 7 3 Singer 46 6 8 3 Bose 47 6 9 3 48 7 Bose 10 3 49 7 11 3 50 7 12 3 51 7 13 4 Singer 52 7 14 4 53 7 15 4 54 7 16 4 55 7 17 4 56 7 18 4 57 8 Singer 19 4 58 7 20 4 Ruzsa 59 7 21 5 60 7 22 4 61 7 23 5 62 7 24 5 Bose 63 8 25 5 64 8 26 5 65 8 27 5 66 8 28 5 67 8 29 5 68 8 30 5 69 8 31 6 Singer 70 8 32 5 71 8 33 5 72 8 34 5 73 9 35 6 74 8 36 6 75 8 37 6 76 8 38 6 77 8 39 6 78 8 40 6 79 8

80 9 120 11 Bose 81 8 121 10 82 8 122 10 83 8 123 10 84 8 124 10 85 9 125 10 86 9 126 10 87 9 127 10 88 9 128 10 89 9 129 90 9 130 91 10 131 92 9 132 93 9 133 12 Singer 94 9 134 10 95 9 135 96 9 136 97 9 98 9 99 9 100 9 101 9 102 9 103 9 104 9 105 9 106 9 107 10 108 10 109 10 110 10 Rusza 111 10 112 10 113 10 114 10 115 10 116 10 117 10 118 10 119 10

Pour cela, j ai programmé à la fois sous Maple, Magma et Caml la recherche exhaustive d ensembles de Sidon de taille maximale modulo n. En annexe, on trouvera une brève explication de l algorithmique employée. J ai utilisé plusieurs logiciels et plusieurs méthodes sur chacun pour améliorer ou bien la complexité ou bien le stockage mémoire, ou bien les performances du logiciel, ce qui faisait défaut pour poursuivre les simulations. Une première constatation est que f n est pas croissante, ce qu on aurait pu, peut-être naïvement, penser au départ, puisqu on a l impression d avoir "plus de places" dans Z n+1 que dans Z n. Je rappelle que c est d ailleurs la croissance de F (n) et le fait qu on la connaisse sur des nombres assez fréquents qui permettent d avoir l équivalent en n, on n a donc pas le même phénomène ici. On s aperçoit même que lorsque f atteint une certaine valeur k, elle peut aussitôt diminuer de 1 pour y stagner un temps de plus en plus long au fur et à mesure que n augmente. De plus, on constate même que f peut diminuer de plus que 1. On voit par exemple que f(134) = f(133) 2. Ainsi, il se dégage de ces simulations que f est tout de même bien difficile à comprendre. Toutefois, le ratio de f(n) et n semblent tendre vers 1 ce qui laisserait penser que f(n) n 1 Si on introduit la quantité ɛ n telle que k n, f(k) f(n) ɛ n Elle traduit la décroissance maximale qui peut survenir après n. Il s agirait de montrer que celle-ci est négligeable devant n. Une autre remarque provenant des simulations numériques est que le nombre d ensembles de Sidon maximaux, auquel j ai accès grâce aux programmes semblent suivre une certaine logique. En effet, comme on peut quelque part s y attendre, si on se place sur {n/f(n) = k} le nombre d ensembles de Sidon maximaux est d autant plus élevé que n est grand. On peut noter également que le théorème chinois permet d obtenir un minorant de f(n) pour des nombres composés. En effet, si a b = 1 on peut considérer comme ensemble de Sidon dans Z ab Z a Z b {(x, 0), x A} {(0, y), y 0, y B} avec A et B des ensembles de Sidon maximaux de Z a et Z b. Cela donne f(ab) f(a) + f(b) 1 18

Et plus généralement, on peut obtenir k k f( P i ) f(p i ) (k 1) i=1 i=1 où les P i sont premiers entre eux deux à deux. Cette minoration n est pas exceptionnel, mais elle permet d obtenir dans certain cas une meilleure minoration que n/2. Grâce à cela, on peut tout de même obtenir une preuve élégante de f(12) = 3 puisque f(12) f(4) + f(3) 1 = 3 et f(12) < 4 d après la majoration usuelle en 1 + 3 + n. Mais cela ne donne rien 2 4 d intéressant asymptotiquement. Il est envisageable dans des cas très particulier d obtenir f(ab) f(a) + f(b) et d en déduire par le même type de raisonnement qu on vient de faire des valeurs de f, mais cela concerne seulement des "petits" nombres et ne présente donc pas un grand intérêt. L objectif serait donc d améliorer cette borne inférieure en C n où C vaut pour le moment 1 2. Pour cela, on pourrait imaginer des constructions modulaires utilisant pour n donné l existence d un ensemble de Sidon de taille m dans Z m où m est un nombre de Bose-Chowla, Ruzsa ou Singer. Je travaille justement en ce moment sur de tels constructions. D autres perspectives seraient de parvenir à démontrer certaines propriétés de ɛ n ou bien encore de trouver une autre catégorie de n pour lesquels on parviendrait à calculer f(n). 19

2.1.3 Les ensembles de Sidon additifs et multiplicatifs Cette partie est directement inspirée des travaux de Ruzsa [14]. Définition 5. Nous dirons que A est un ensemble de Sidon multiplicatif si xy = s admet au plus une solution (à permutation près de x et y) dans A. On notera G(n) (respectivement g(n)) le plus grand ensemble de Sidon multiplicatif contenu dans 1, N (respectivement dans Z n ). On utilisera les notations H(n) et h(n) dans le cas d ensembles de Sidon à la fois additifs et multiplicatifs. Si on note Π(n) le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à n, il est évident qu on a G(n) Π(n). Erdős, dans [3] a montré un résultat plus précis concernant G(n). Théorème 13. Il existe des constantes C, D tels que Π(n) + C n3/4 n3/4 < G(n) < Π(n) + D (log n) 3/2 (log n) 3/2 Cela donne l équivalent G(n) Π(n). A partir de là, comme on l a vu pour les ensembles de Sidon additifs, on obtient grâce au théorème des nombres premiers une minoration triviale de g(n) g(n) G( n n) 2 log n Ruzsa est récemment parvenu à obtenir une majoration de g(n), et a obtenu une construction optimale dans Z p 2. Théorème 14. où τ(n) est le nombre de diviseurs de n. g(n) n + τ(n) Démonstration. Cette preuve utilisera un lemme faisant intervenir les ensembles H xy = {z Z n x = yz, z n = 1} Lemme 1. Soient (x, y) Z 2 n et ϕ la fonction indicatrice d Euler. Si x n y n, alors H xy = 0. Si x n = y n = d, alors. H xy = ϕ(n) ϕ(n/d) 20

Démonstration. La première propriété vient du fait qu un élément de H xy est inversible. Elle est assez immédiate. Pour la deuxième propriété, il suffit de le faire pour n = p k, le cas général s en déduit par application du théorème chinois et de la multiplicativité de l indicatrice d Euler. Nécessairement, d est une puissance de p. Deux cas se présentent. Ou bien d = p k = n auquel cas x = y = n = 0 et tout nombre premier avec n convient alors, il y en a bien φ(n). Ou bien d = p l avec l < k, auquel cas on peut écrire x = ap l avec a < p et y = bp l avec b < p, mais alors x = yz ap l bp l z a bz modp k modp k l Or, a et b sont premiers avec p k l donc on a une unique solution z modulo p k l donc p l solutions au total, ce qui donne le résultat souhaité, puisque p l = pk p k 1 p k l p = ϕ(pk ) k l 1 ϕ(p k l ) Soit donc A un ensemble de Sidon multiplicatif de Z n de cardinal maximal g(n). Comme A est un ensemble de Sidon, les H xy avec x y dans A sont disjoints. On a donc x y A H xy ϕ(n) Posons r d = {a A a n = d} et D = {d, r d > 0}. On a r d = g(n) et d D 1 1. Le lemme et l inégalité précédente donne en simplifiant par ϕ(n) d D r d (r d 1) ϕ(n/d) Or, d après l inégalité de Cauchy-Schwarz Finalement (r d 1) d D d D (r d 1) 2 ϕ(n/d) 1 r d = g(n) n + τ(n) d D 1/2 ϕ(n/d) (1n) 1/2 d D 21

De plus, dans cet article, Ruzsa exhibe une construction dans Z p 2. En effet, il démontre que A = {a k = k p +p, k 1, p } est un ensemble de Sidon multiplicatif. Ainsi p g(p 2 ) p + τ(p 2 ) = p + 3 Mais 0 ne peut pas appartenir à un ensemble de Sidon multiplicatif autre que {0}. On ne peut pas non plus avoir deux multiples de p puisque leurs carrés donnent 0. Pour finir, de manière analogue à l analyse des différences pour un ensemble de Sidon additif, on a r 1 éléments inversibles dans A on peut donc fabriquer r 1 (r 1 1) quotients d éléments distincts de A et inversibles, et ceux-ci doivent être distincts également et on a comme possibilité d arrivée de ces quotients tous les inversibles de Z p 2 sauf 1. On obtient donc r 1 (r 1 1) < p 2 p 1. Ces trois remarques conduisent à r p 2 = 0, r p 1 et r 1 p 1. Dans ce cas particulier on a donc montré g(n) = r d p. D où le résultat suivant : Théorème 15. g(p 2 ) = p Concernant les ensembles de Sidon à la fois additifs et multiplicatifs, Ruzsa donne deux constructions conduisant au théorème suivant : Théorème 16. Si n = pq avec 2 < p < q des nombres premiers, alors Dans le cas particulier où q = 2p + 1 h(n) p + 1 2 h(n) p 1 Les constructions et preuves qu on retrouve dans [14] ressemblent énormément à celle du théorème 12. En effet, pour le premier cas, on prend r un générateur de F q et on définit k 0, (p 1)/2 a k k mod p, a k r k mod q Dans le deuxième cas, les a k sont définis k 0, p 1 par a k k mod p, Ces deux constructions permettent d obtenir a k r 2k mod q lim sup h(n) n 1 2 22

2.2 Ensembles de Sidon infinis On considère maintenant des ensembles infinis d entiers qui sont des ensembles de Sidon additif. Si B est un tel ensemble, on note B(n) = B 1, n. La construction naturelle à laquelle on peut d abord penser est l algorithme glouton, qui donne un ensemble de Sidon connu sous le nom d ensemble de Mian- Chowla. On démarre avec b 1 = 1 et on construit récursivement pour k > 1 b k = min{n b i + b j b l 1 i, j, l k 1} On a donc (k 1) 3 impossibilité pour b k, d où L algorithme glouton conduit ainsi à b k (k 1) 3 + 1 B(n) n 1/3 Il y a eu plusieurs améliorations de ce résultat à commencer par Ajtai, Komlós et Szemerédi qui ont obtenu B(n) (n log n) 1/3 Je vais ici m intéresser à l amélioration la plus aboutie jusqu alors, due à Ruzsa. Théorème 17. Il existe B un ensemble de Sidon infini tel que où γ = 2 1. B(n) = n γ+o(1) Je ne vais pas démontrer ici ce théorème aux ingrédients très techniques qu on pourra trouver dans [13], mais simplement en donner l idée. On utilise l unicité du théorème de décomposition en facteurs premiers pour remarquer que {log p avec p premier} est un ensemble de Sidon dans R. Il s agit ensuite de créer, à partir des développements en base 2 des log p, des nombres entiers qui conserveront la propriété d ensemble de Sidon. Je vais préciser la construction de ces nombres sans toutefois en expliquer toutes les raisons, d une part pour cause de technicité, mais aussi car je n oserais prétendre être capable d en dégager une logique. Cette construction dépend d un réel α dans [1, 2], et on considère p 3. On écrit alors 23

k α log p = ɛ ip 2 i + δ ip 2 i i=0 i=1 On veut donc créer un nombre entier à partir de ce développement binaire. Pour cela, on va tronquer la partie des puissances négatives puis les regrouper entre les carrés successifs. On pose β = 2 + 1 et on définit alors les quantités suivantes Et i 1, K p K p = min{i > 2 2 (i 1)2 > p β } ip = i 2 j=(i 1) 2 +1 δ jp 2 i2 j On note P K = {p P K p = K}. Il s agit des nombres premiers dont les puissances β-ième sont plus ou moins de la même taille. Et on introduit les b p qui formeront l ensemble de Sidon souhaité K p b p = ip 2 (i 1)2 +5i + i=1 k ɛ ip 2 i2 +5i+2 + 2 K2 p +5Kp+4 i=0 Le K p choisi permet d assurer b p = p β+o(1). On note t p = 2 K2 p +5Kp+4 Essayons maintenant de comprendre l intérêt d avoir pris de tels b p. Analysons le développement binaire de b p. Fixons i. Entre (i 1) 2 + 5i et i 2 1 + 5i on place tous les coefficients de ip, ensuite on a 5 espaces libres avant le premier coefficient de (i+1)p, le troisième contient ɛ ip tandis que les autres sont nuls. Le véritable intérêt de la présence de ces zéros dans le développement en base 2 est que si b p + b q = b r + b s alors une simple réflexion sur la manière dont se passe les calculs en base 2 permet de conclure que i ɛ ip + ɛ iq = ɛ ir + ɛ is ip + iq = ir + is t p + t q = t r + t s 24

Définition 6. On dit que (p, q, r, s) est un mauvais quadruplet si b p + b q = b r + b s L idée est alors de trouver une condition nécessaire pour que (p, q, r, s) soit un mauvais quadruplet. Et lorsque c est le cas, on enlève le b i le plus grand de B qui devient alors un ensemble de Sidon. La difficulté principale du travail réside alors dans l estimation du nombre de mauvais quadruplet. Grâce à un raisonnement probabiliste, Ruzsa démontre l existence d une valeur de α pour laquelle ce nombre est suffisament petit pour aboutir à la taille de B souhaitée. Cette construction est d ailleurs simplifiée dans [6], selon une idée de Ruzsa et Cilleruelo. Ce-dernier réussit à adapter cette construction avec Tesoro dans [4] pour le cas des B 3 [1] et des B 4 [1]. Plutôt que d utiliser la suite des log p avec p premier, ils introduisent les arguments des nombres premiers de Gauss ρ p tels que ρ p ρ p = p est un nombre premier. Pour comprendre mieux ce que sont les nombres premiers de Gauss, je conseille la lecture de [1] qu on trouve facilement sur internet, ou de [17], chapitre 12. Définition 7. Les entiers de Gauss sont les éléments de Z[i] et z est un nombre premier de Gauss si ses seuls diviseurs au sens des entiers de Gauss sont 1, 1, i, i, z, z, iz, iz On dispose également du théorème fondamental de l arithmétique pour les entiers de Gauss. Théorème 18. Tout entier de Gauss s exprime de manière unique comme le produit de nombres premiers de Gauss, à ordre et associés près. Nécessairement, un nombre premier qui s écrit comme le produit d un entier de Gauss et son conjugué est la somme de deux carrés et est donc congru à 1 modulo 4 sauf dans le cas particulier de p = 2. Réciproquement, il est vrai que tout nombre premier congru à 1 modulo 4 est la somme de deux carrés. Or si p = a 2 +b 2 = (a+ib)(a ib) alors utilisant la norme sur Z[i] définie par N(z) = zz qui vérifie N(st) = N(s)N(t) et N(s/t) = N(s)/N(t), a+ib est un nombre premier de Gauss. On s intéressera ici au cas général des B h [1]-ensembles et donc au travail fait dans [4], mais les méthodes sont similaires à celles de [6] et les résultats s appliquent à h = 2. On notera donc P = {p P, p 1 mod 4}. 25

Et d après ce qu on a dit avant, il est légitime p P de considérer le nombre premier de Gauss ρ p Z[i] tel que ρ p := a + ib, p = a 2 + b 2, a > b > 0 de sorte que ρ p = pe 2iπθ(p) avec θ(p) [0, 1/8]. L intérêt de tout cela est que Théorème 19. L ensemble C = {c p N c p = [nθ(p)], p P, p ( n 7h )1/h } est un ensemble de Sidon contenu dans 1, n avec plus de n1/h log n éléments. Démonstration. On suppose donc qu il existe {p 1,, p h } {q 1,, q h } tels que On en déduit aisément c p1 + + c ph = c q1 + + c qh θ p1 + + θ ph θ q1 θ qh = 1 n {nθ p 1 } + + {nθ ph } {nθ q1 } {nθ qh } h n On va maintenant minorer cette même quantité. Lemme 2. θ p1 + + θ ph θ q1 θ qh > 1 7 ρ p1 ρ ph ρ q1 ρ qh Une fois le lemme établi, étant donné la condition d appartenance à l ensemble C, on a h n < θ p 1 + + θ ph θ q1 θ qh h n ce qui fournit une contradiction et cela prouve le théorème. Démontrons désormais le lemme. Démonstration. Déjà il est clair que θ p1 + + θ ph θ q1 θ qh 1 2π arg(ρ p 1 ρ ph ρ q1 ρ qh ) mod 1 26

De plus, d après le théorème d unicité de factorisation en facteurs premiers dans Z[i], ρ p1 ρ ph ρ q1 ρ qh ne peut pas être réel. En effet, dans le cas contraire, si on note x ce nombre réel on aurait x = x = ρ p1 ρ ph ρ q1 ρ qh qui ne serait pas la même décomposition vu que {p 1,, p h } {q 1, q h }. Ainsi, la partie imaginaire de x = a + ib n est pas nulle. D autre part, les premiers nombres dans P étant 5 et 13 on a x 5 13 et vérifie donc arctan(1/ x ) > 0, 99/ x. Comme b 0 arg(x) = arctan( b a ) b = arctan( a ) 1 arctan( a2 + b ) 2 arctan( 1 x ) Si on combine toutes ces informations, on obtient θ p1 + + θ ph θ q1 θ qh 1 2π arctan( 1 x ) > > 0, 99 1 2π x 1 7 ρ p1 ρ ph ρ q1 ρ qh La construction ensuite d un ensemble de Sidon infini est similaire à celle de Ruzsa, si ce n est que maintenant, les θ p présentent l intérêt d être bornés contrairement aux log p ce qui permettra de ne pas avoir à gérer les ɛ ip de la construction de Ruzsa. Cilleruelo et Tesoro parviennent ainsi à démontrer dans [4] le théorème suivant : Théorème 20. Soit h {3, 4}. Il existe B un B h [1]-ensemble infini tel que (h 1) B(n) = n 2 +1 (h 1)+o(1) La plupart de leurs arguments sont en fait valables pour h quelconque mais le lemme probabiliste où α intervient n est démontré que pour h = 2, 3, 4. Il n est pas impossible que cela marche pour h > 4, mais il est certain que les difficultés techniques s accroissent. Il serait intéressant de se pencher sur le problème. 27

2.3 Des résultats sur les B h [g] L objectif de ce paragraphe est simplement de donner quelques résultats sur les B h [g]-ensembles, sans toutefois être exhaustif. On notera F (h, g, n) la taille d un B h [g]-ensemble maximal contenu dans 1, n. On s était alors intéressé jusqu ici à F (n) = F (2, 1, n). Le cas général est bien moins connu à l heure actuelle que les ensembles de Sidon étudiés précédemment. En effet, si on sait que F (h, g, n) est de l ordre de n 1 h on ne sait toujours pas s il existe une constance C telle que F (h, g, n) Cn 1 h Les différents travaux autour de ces ensembles visent justement à améliorer les constantes C 1 et C 2 telles que C 1 F (h, g, n) n 1 h C 2 Faisons une première constatation expliquant cet ordre de grandeur en n 1/h. Si A 1, n est un B h [g] alors x = a 1 + + a h 1 x hn Ainsi, étant donné qu on considère comme identiques des représentations de x si elles ne diffèrent que par une permuation des a i, cela donne A h ghn h! On obtient de la sorte la borne triviale F (h, g, n) (ghh!) 1/h n 1/h On peut ensuite remarquer, selon une idée de Kolountzakis, qu on peut aisément obtenir le résultat suivant : Proposition 3. gn F (2, g, n) Démonstration. En effet, si B est un ensemble de Sidon contenu dans 1, [ ] n g 1 alors {gb} {gb + 1} {gb + g 1} est un B 2 [g]. Pour voir cela, supposons x 1 + y 1 = x 2 + y 2 = x g+1 + y g+1 Les paires (x i, y i ) sont supposées toutes différentes et vivent dans les (gb + j i ) (gb + k i ) avec 0 j i, k i g 1. On ne peut pas par-contre pas avoir deux 28

paires qui vivent dans un même tel ensemble, sinon, elles sont égales puisque B est un ensemble de Sidon. Ainsi, elles sont dans g + 1 ensembles différents parmi ces g 2 ensembles. Or, ces sommes étant égales, elles le sont modulo g d où j 1 + k 1 j 2 + k 2 j g+1 + k g+1 mod g Ceci fournit une contradiction puisqu on a pour tout l exactement g possibilités de couples (j, k) 0, g 1 vérifiant j + k l mod g. Cilleruelo, Ruzsa et Trujillo améliorent cette minoration et obtiennent dans [16] l encadrement suivant g + [g/2] n + o( n) F (2, g, n) 1, 864 gn + 1 g + 2 [g/2] La majoration provient d une démonstration plus générale aboutissant pour h > 2 à F (h, g, n) 1 (1 + cos h (hh!gn)1/h (π/h)) 1/h Dans le cas particulier g = 2 la borne inférieure est améliorée dans l article de Plagne et Habsieger [10] à 4/ 7 1, 5119579 et la borne supérieure à 21/2 par Green dans [5] où il a également obtenu grâce à des techniques d analyse de Fourier F (3, 1, n) ( 7 2 n)1/3 + o(n 1/3 ) F (4, 1, n) (7n) 1/4 + o(n 1/4 ) Le cas général est donc encore très mal connu et reste somme toute assez mystérieux. 29

Appendices A Méthode polynomiale et applications On cherche à démontrer le théorème de Cauchy-Davenport dont je rappelle ici l énoncé. Théorème 21. Soit A et B des sous-ensembles non vides de Z p avec p premier. Alors : A + B min(p, A + B 1) On considère A et B ensembles non vides contenus dans G de cardinaux respectifs k et l. On sait que si k + l > p alors A + B = Z p d après une remarque faite précédemment. On peut donc supposer k + l 1 p. Supposons par l absurde que A + B k + l 2 et définissons m tel que m + A + B = k + l 2. Introduisons alors le polynôme P (X, Y ) = (X + Y ) m c A+B (X + Y c) L intérêt est que P (a, b) = 0 pour tout (a, b) A B. P est de degré total k + l 2 et le monôme X k 1 Y l 1 a pour coefficient ( ) k + l 2 0 mod p k 1 Principe de la méthode polynomiale Maintenant qu on a un tel polynôme l idée est d en construire un autre à partir de P qui soit de degré au plus k 1 en X et l 1 en Y qui s annule toujours sur A B. Supposons construit un tel Q, c est un exercice classique de démontrer que le polynôme est alors nul. Il suffit pour cela de le voir tout d abord comme un polynôme de R[Y ][X]. Q(X, Y ) = k 1 i=0 Q i (Y )X i Mais alors Q(X, b) s annule en tous les a A et est donc nul. Ainsi les Q i (b) sont nuls pour tout b B, mais étant donné leurs degrés, les Q i sont donc nuls, ce qui donne la nullité de Q. 30

Il reste donc à construire un tel polynôme Q. Pour cela, nous allons utiliser le lemme suivant. Lemme 4. Soit A un ensemble fini de cardinal k. u 0, il existe un polynôme R u (X) de degré plus petit que k 1 tel que, a A, R u (a) = a u La démonstration de ce lemme repose sur le fait qu écrire les k équations fait apparaître un système de Vandermonde ayant pour coefficients les k éléments distincts de A. Ainsi, ce système admet une solution. D après le lemme, on dispose donc de polynôme R u et S v tels que a A, R u (a) = a u et b B, S v (b) = b v Ainsi, dans P on remplace les monômes X u Y v avec u k (ce qui implique v l 2) par R u (X)Y v et les X u Y v avec v l (ce qui implique u k 2) par S v (Y )X u. Toute analyse de degré faite, on a par ce procédé construit un polynôme Q de degré au plus k 1 en X et l 1 en Y et on n a pas modifié le coefficient du monôme X k 1 Y l 1 de P qui était non nul. Q est donc censé être non nul. Or, Q s annule sur A B et est donc nul d après ce qu on a dit précédemment. Cela fournit donc une contradiction, et on a bien prouvé le théorème de Cauchy-Davenport. Grâce à cette méthode, on peut également démontrer, comme c est fait dans [12] les résultats suivants Théorème 22. Soient A et B des sous-ensembles non vides de Z p avec p premier, tels que A B. Alors, considérant C = {a + b (a, b) A B, a b}, on a C min(p, A + B 2) Théorème 23. Soit A un sous-ensemble de Z p avec p premier, tels que A 2. Alors, considérant C = {a + b (a, b) A A, a b}, on a C min(p, 2 A 3) Théorème 24. Soit A et B des sous-ensembles non vides de Z p avec p premier. Alors, considérant C = {a + b (a, b) A B, ab 1}, on a C min(p, A + B 3) 31

B Programmation Je souhaitais d abord intégrer les programmes à mon rapport, mais en fait cela prend beaucoup de pages pour peu d intérêt finalement. Alors, que ce soit en Maple, Magma ou Caml, l idée des programmes étaient la même. Un premier programme naïf parcourait tous les sous-ensembles de 0, n 1 possibles (ou presque, on pouvait s arranger pour avoir {0, 1} dedans) et vérifiait s ils étaient des ensembles de Sidon ou non, mais très rapidement, celui-ci a posé un problème de temps. Du coup, un deuxième programme construisait en partant de {0, 1} tous les ensembles de Sidon à 3 éléments, puis continuait à partir de tous les ensembles de Sidon obtenus en essayant de les compléter, mais très rapidement, ce programme posait un problème de mémoire et de stockage, ce qu on a pu résoudre ou en tout cas améliorer en caml. Il présente l avantage de donner accès à la liste des ensembles de Sidon de taille maximale et surtout à leur nombre, ce qui n est pas le cas du dernier programme. Un dernier programme et qui s est montré être le plus performant, bien que parfois très long à faire tourner. On considère l arbre dont les nœuds sont les ensembles de Sidon modulo n, et tel que s est le père de s si et seulement s il existe i Z n tel que s = s i. L algorithme parcourt cet arbre en profondeur, en calculant la hauteur maximale d une feuille. Je comptais à nouveau remercier ici Paul Brunet et Jérémy Le Borgne pour m avoir aidé à faire la conversion entre les différents logiciels. 32

C Bibliographie Références [1] Lee A. Butler. A classification of gaussian primes. [2] R. C. Bose & S. Chowla. Theorems in the additive theory of numbers. Comment. Math. Helv., 1962/1963. [3] Paul Erdős. On some applications of graph theory to number theoretic problems. Publications of the Ramanujan Institute, 1969. [4] Javier Cilleruelo et Rafael Tesoro. Dense infinite b h sequences. 2006. [5] Ben Green. The number of squares ans b h [g] sets. Acta Arith., 2001. [6] Juan Pablo Maldonado. A remark of ruzsa s construction of an infinite sidon set. arxiv :1103.5732, 2011. [7] Melvin B. Nathanson. Additive Number Theory, Inverse Problems and the Geometry of Sumsets. Springer, 1996. [8] Kevin O Bryant. A complete annotated biliography of work related to sidon sequences. The electronic journal of combinatorics, 2004. [9] Alain Plagne. Maximal (k, l)-free sets in Z p are arithmetic progressions. Bulletin of the Australian Mathematical Society, 2002. [10] Laurent Habsieger & Alain Plagne. Ensembles b 2 [2] : l à tau se resserre. Integers, 2002. [11] Halberstam & Roth. Sequences. Oxford Univeristy Press, 1966. [12] Alon Nathanson & Ruzsa. Adding distinct congruence classes modulo a prime. The American Mathematical Monthly, 1995. [13] Imre Z. Ruzsa. An infinite sidon sequence. Journal of Number Theory, 1998. [14] Imre Z. Ruzsa. Additive and multiplicative sidon sets. Acta Math. Hungar., 2006. [15] James Singer. A theorem in finite projective geometry and some applications to number theory. Trans. Amer. Math. Soc., 1938. [16] Cilleruelo Ruzsa & Trujillo. Upper and lower bounds for finite b h [g] sequences. Journal of Number Theory, 2002. [17] G. H. Hardy & E. M. Wright. An introduction to the theory of numbers 6th Edition. Oxford University Press, 2008. 33