1 - Inégalité triangulaire Bilan 1 Une évidence Le plus court chemin entre deux points est la ligne droite. Tout autre chemin, passant par un troisième point est forcément plus long (ou de même longueur si le troisième point est situé sur le segment qui joint les deux points). C B On peut donc énoncer la propriété suivante : Si, B et C sont trois points quelconques du plan, alors B C +CB. Il s agit de l inégalité triangulaire. Bilan 2 Triangle constructible Pour pouvoir construire un triangle ayant pour côtés trois longueurs données, il faut que chaque longueur soit inférieure à la somme des deux autres. C est-à-dire : b C a c B vec les notations suivantes : a = BC ; b = C et c = B. a b+c et b a+c et c a+b. Dans la pratique : Pour savoir si un triangle est constructible, il suffit de vérifier que la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres longueurs. Dans le cas contraire, le triangle est non constructible. Un exemple : Vérifier qu un triangle est constructible Peut-on tracer le triangle COR avec CO = 4 cm, OR = 6 cm et RC = 1 cm? Réponse : Dans le triangle COR, [OR] est le côté le plus long et OR = 6 cm. La somme des deux autres est RC + CO = 1 + 4 = 5. Comme OR > RC + CO, le triangle COR n est pas constructible. Une remarque importante Dans le cas d une égalité, cela signifie que le triangle est aplati, c est-à-dire que les trois points sont alignés. Par exemple : B = 7 cm, C = 5 cm et BC = 2 cm. Comme B = C + BC, cela signifie que les points, B et C sont alignés. N. SNS Page 1 Lycée Français Jean Giono
2. Construire un triangle Bilan 3 On peut construire un triangle dans les trois cas suivants : Lorsqu on connaît la longueur des trois côtés et que ce triangle est constructible. Lorsqu on connaît la longueur de deux côtés et la mesure de l angle délimité par ces deux côtés. Lorsqu on connaît la longueur d un côté et la mesure des angles adjacents à ce côté. N. SNS Page 2 Lycée Français Jean Giono
3. Triangles particuliers et angles Bilan 4 1. Le triangle rectangle La somme des mesures des deux angles aigus d un triangle rectangle est égale à 90. Cela signifie que les deux angles aigus d un triangle rectangle sont complémentaires. Par exemple pour le triangle suivant BC rectangle en : ÂBC +ÂCB = 40 +50 =90. C 50 40 B 2. Pour le triangle isocèle : Les deux angles à la base d un triangle isocèle ont la même mesure. Les angles à la base sont les deux angles symétriques! Par exemple avec le triangle suivant BC isocèle en C et ÂCB = 120. Déterminons les mesures des angles BC et ÂBC. C 120 B Comme Les angles BC et ÂBC ont la même mesure, nous pouvons déterminer la mesure de ces deux angles. En effet, dans un triangle,la somme des mesures des angles est de 180. Donc, BC = ÂBC = 180 120 = 30. 2 3. Pour le triangle rectangle et isocèle : Les deux angles aigus d un triangle rectangle et isocèle mesurent 45. Cette propriété découle du fait que le triangle est rectangle. Donc, les deux angles aigus sont complémentaires. De plus, le triangle est isocèle. Donc, les deux angles symétriques, c est-à-dire les deux angles aigus (le dernier est droit) sont de même mesure. Soit 90 = 45. 2 Une remarque importante, un triangle rectangle et isocèle est tout simplement un demi carré. 4. Pour le triangle équilatéral : Chacun des trois angles d un triangle équilatéral mesure 60. N. SNS Page 3 Lycée Français Jean Giono
4. Droites remarquables a) Médiatrices Bilan 5 Définition : La médiatrice d un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu. (D) B I 90 Sur la figure précédente, la droite (D) est la médiatrice du segment [B]. En effet, la droite (D) est perpendiculaire au segment [B] et la droite (D) coupe le segment [B] en son milieu. Propriétés : Si un point appartient à la médiatrice d un segment alors il est à égale distance (équidistant) des extrémités de ce segment. Si un point est à égale distance des extrémités d un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment. Les trois médiatrices d un triangle sont concourantes en un point appelé le centre du cercle circonscrit. Exemples 1. Soit le triangle BC isocèle en C. Le point C est à égale distance de et de B. Donc, le point C est sur la médiatrice de segment [B]. 2. Dès que vous prenez un point K sur la médiatrice du segment [NP], cela donne un triangle KNP isocèle en K. 3. Cercle circonscrit à un triangle. b) Hauteurs Bilan 6 Définition : Un hauteur d un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. Exemple N. SNS Page 4 Lycée Français Jean Giono
Je prépare le contrôle du chapitre Ecris ton nom et ta classe :....... fin de bien réussir le contrôle, je dois bien : pprendre mon cours Refaire des exercices faits en classe et surtout bien corriger mes erreurs M entraîner avec le Labomep (Bonus de 1 point si je fais tous les exercices demandés) Comprendre les attendus de ce chapitre M autoévaluer sur mon travail Mon autoévaluation à compléter pour le jour du contrôle Pour chaque tâche à accomplir, vous devez cocher votre niveau de maîtrise. savoir, I pour insuffisant, F pour fragile, B pour bonne et TB pour très bonne. Tâche I F B TB pprendre mon cours Comprendre mon cours Refaire des exercices Corriger mes erreurs Effectuer les exercices sur labomep Savoir si un triangle est constructible ou non. Construire un triangle connaissant trois informations Connaître les triangles particuliers Utiliser les angles dans les triangles Utiliser les médiatrices d un triangle Utiliser les hauteurs d un triangle Effectuer des tracés précis et soignés Utiliser ses connaissances afin de résoudre une tâche complexe Je peux écrire un commentaire si nécessaire sur ce chapitre : N. SNS Page 5 Lycée Français Jean Giono