DS COMMUN TS Décembre 008 4h Vous avez 4 eercices à traiter. Le sujet comporte 3 pages. Il est conseillé d utiliser une feuille par eercice. La clarté de la rédaction et le soin prennent une part importante du barème. Le barème, sur 30, est donné à titre indicatif. EXERCICE 1 : ( 6 points) Dans le plan complee rapporté à un repère orthonormal direct(o, u, v ) on considère l application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d affie z associe le point M d affie z, telle que z = z² 4z. 1) Soient A et B les points d affies z A = 1 i et z B = 3 + i. Calculer les affies z A et z B des points A et B, images de A et B par f. ) Soit I le point d affie -3. a. Démontrer que OMIM est un parallélogramme si et seulement si z² 3z + 3=0. b. Résoudre l équation z² - 3z + 3 = 0 dans IC. 3) Restitution organisée des connaissances : a. Donner la définition de l argument d un complee non nul z. b. Démontrer que si A, B, C, D sont 4 points distincts du plan, d affies respectives a, b, c, d, alors ( AB, CD) = arg d c b a 4) a. Eprimer (z + 4) en fonction de (z ). En déduire une relation entre z + 4 et z d une part et arg(z + 4) et arg(z ) d autre part. b. On considère les points J et K d affies respectives z J = et z K = - 4. Démontrer que tous les points M du cercle (C) de centre J et de rayon ont leur image M sur un cercle que l on déterminera. c. Soit E le point d affie z E = -4 3i. Donner la forme trigonométrique de (z E + 4) puis démontrer à l aide de 4a) qu il eiste points dont l image par f est le point E. Préciser la forme algébrique des affies de ces deu points. 1
EXERCICE : (toutes les classes) QCM ( 7 points) Pour chaque question, une seule des 3 propositions est eacte. Vous indiquerez clairement sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Barème : Une réponse juste et rigoureusement justifiée rapporte 1 point. Dans tous les autres cas, on comptera 0 point. Le plan complee est muni du repère orthonormé (O, u, v ) Question 1 : La solution de l équation z + z = 9 + i est : A : 3 B : i C : 3 + i Question : Soit z un nombre complee. z + i est égal à : A : z + 1 B : z 1 C : i z + 1 Question 3 : Soit z un nombre complee non nul d argument θ. Un argument de -1 + i 3 A : - π 3 + θ B : π 3 + θ C : π 3 θ z est : Question 4 : Soit n un entier naturel. Le complee ( 3 + i) n est imaginaire pur si et seulement si : A : n = 3 B : n = 6k + 3 k Є IN C : n = 6k k Є IN Question 5 : Soient A et B deu points d affies respectives i et -1. L ensemble des points M d affie z vérifiant z i = z + 1 est : C : la droite perpendiculaire A : la droite (AB) B : le cercle de diamètre [AB] à (AB) passant par O. Question 6 : Soit Ω le point d affie 1 i. L ensemble des points M d affie z = + iy vérifiant l équation z 1 + i = 3 4i a pour équation : A : y = - + 1 B : ( 1)² + y² = 5 C : ² + y² - + y 3 = 0 Question 7 : Soient A et B les points d affies respectives 4 et 3i. L affie du point C tel que le triangle ABC soit isocèle avec ( AB ; AC) = π est : A : 1 4i B : -3i C : 7 + 4i
EXERCICE 3 : e f() = On considère la fonction f définie sur IR par e si 0 1. f(0) = 1 On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O, i, j ). ( 8,5 points) 1) a. Déterminer la ite de f en -. b. Etablir que, pour tout réel non nul, f() = En déduire la ite de f en + e 1 ) Donner, sans la démontrer, la ite suivante : 0 La fonction f est elle continue en 0? 1 e -. 3) Etudier les variations de ϕ() = e 1 sur IR.En déduire le signe de ϕ suivant les valeurs de. 4) Déterminer la fonction dérivée de f, notée f, puis étudier les variations de f à l aide de la question 3). Dresser enfin le tableau de variation de f. 5) Soient un nombre réel non nul, M et M les points de C de coordonnées M ( ; f()) et M ( - ; f(-) ). Déterminer le coefficient directeur de la droite (MM ). Que constate t on? 6) En supposant que f soit dérivable en 0, comment interpréter le résultat précédent? EXERCICE 4 : PARTIE A : Etude d une fonction auiliaire g La fonction g est définie sur IR par g() = e + 7 ( 8,5 points) 1) Etudier les ites de g en - et en. ) Etudier le sens de variation de la fonction g sur IR et dresser son tableau de variation. 3) Justifier que l équation g() = 0 admet une solution unique α. Donner un encadrement de α d amplitude 10 -. 4) Etudier le signe de g sur IR. PARTIE B : Etude d une fonction f. La fonction f est définie sur IR par f() = ( 5)(1 e ). On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O, i, j ). 1) Etudier le signe de f sur IR. ) Etudier les ites de f en et en +. 3) Calculer la fonction dérivée de f, notée f (), et dresser le tableau de variation de f. (On pourra utiliser les résultats de la partie A) (α 5)² 4) Démontrer l égalité f(α) = α 7 5) Démontrer que la droite (D) d équation y = 5, est asymptote à C en +. Préciser les positions respectives de C et (D). 6) Tracer la droite (D) et la courbe C dans le repère (O, i, j ) (unité graphique : cm) 3
CORRECTION EXERCICE 1 : 1) z A = z A ² 4z A = (1 i)² 4(1 i) = -4 + i A a pour affie -4 + i z B = z B ² 4z B = (3 + i)² 4(3 + i) = -4 + i A et B sont confondus. ) OMIM est un parallélogramme ssi soit : a. MO = MO = IM soit 0 z = z + 3 soit z² 4z + 3 + z = 0, IM 0 z = z + 3 z² 4z + 3 + z = 0 z² 3z + 3 = 0. b. = -3 < 0 : l équation admet solutions complees conjuguées : { 3 i 3 ; 3) Voir cours. 4) Suite : a. z + 4 = z² 4z + 4 = (z )². D après les propriétés du module et de l argument : z + 4 = z ² arg(z + 4) = arg(z ) 3 + i 3 } b. M є C MJ = z = z + 4 = 4 KM = 4 M est un point du cercle de centre K, rayon 4. c. z E + 4 = -3i = 3(cos (- π ) + i sin(-π ) ) Si z E + 4 = -3i, alors z E + 4 = 3 et arg(z E + 4) = - π donc les affies des antécédents éventuels de z E vérifient z = 3 et arg(z ) = - π + kπ soit arg(z ) = - π 4 + kπ soit arg(z ) = -π 4 Donc z = 3 ep(- iπ 3iπ ) ou z = 3 ep( 4 4 ) EXERCICE : QCM : Autrement dit, z = ( + 6 ) i 6 ou z = ( 6 ) + i 6 ou 3π 4 [π] 1 3 4 5 6 7 C C B B C C A Question 1) : essayer chaque réponse. Question ) : i z + 1 = i( z i) = 1 z i = z i = z + i. Réponse A = erreur impardonnable!! Réponse B = fausse avec comme contre eemple z = 1 1 + i 0 Question 3) : arg( -1 + i 3 ) = arg(-1 + i 3) arg( z ) = π z 3 + arg z = π 3 + θ Question 4) : ( 3 + i) n є iir arg ( 3 + i) n = π [π] n.arg ( 3 + i) = π +kπ (k є Z) nπ 6 = π + kπ n = 3 + 6k (k є Z) 4
Question 5) : L égalité se traduit par AM = BM soit M décrit la médiatrice de [AB]. Or OA = OB (puisque i = -1 ) donc la médiatrice passe bien par O. Question 6) : z 1 + i ² = ( 1) + i(y + 1) ² = ( 1)² + (y + 1)² = ² + y² + y + 3 4i ² = 5² = 5 Les membres étant strictement positifs, il y a égalité ssi : ² + y² - + y 3 = 0 Question 7) : ABC soit être rectangle isocèle, soit si z C z A z B z A = i (interprétation module argument). On vérifie donc que z C = i(3i 4) + 4 = 1 4i EXERCICE 3 : 1) a. e = 0- (croissances comparées) et e 1 = -1. Par quotient : f() = 0 + b. (mettre e en facteur) = 1 e- = 1 Par quotient : f() = e 1 ) Cours : 0 Donc f() = 1 0 = 1 f() = e. e 1 avec 0 e = 1 et oe 1 Or f(0) = 1 donc f() = f(0) : f est continue en 0. 0 = 1 3) φ est dérivable (somme de fonctions dérivables) et φ () = e 1. φ () > 0 e > 1 > 0 ( la fonction ep. est strictement croissante). Donc φ est strictement décroissante sur ]- ; 0[ et strictement croissante sur [0 ; [ :elle admet donc un minimum en 0, qui est φ(0) = 0. Donc φ() 0 sur IR 4) f est dérivable sur IR* comme quotient de fonctions dérivables, et f () = (e +.e )(e 1) e (.e ) = e [(1 + )(e 1) (.e )] Or e > 0, φ() 0, > 0 pour tout réel. Donc f positive, et f strictement croissante sur IR*. D où le tableau variations : 5) Le coefficient directeur cherché est f(-) f() 1 = - - -.e - e - 1 e e 1 = - 1 (1 e ) 1 = - e = 1 Ce coefficient directeur est constant! 1-1 e e e 1 = e [e 1] = e φ() - 0 f () +? + f() 1 0+ est de 6) Lorsque tend vers 0, la droite (MM ) s assimile à la tangente à C en 0 : le coefficient de cette dernière serait donc 1, autrement dit si f est dérivable en 0, alors f (0) = 1 5
EXERCICE 4 : Partie A : 1) g() = - g() = (somme de ites classiques) (somme de ites classiques) ) La fonction g est dérivable sur IR et g () = (e + 1) > 0 sur IR. donc g est strictement croissante. (ou : g est une somme de fonctions croissantes). D où le tableau de variations : g () g() - α + 0 3) Puisque g est strictement croissante et continue (car dérivable) sur IR - et 0 є ]- ; [, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation g() = 0 admet une unique solution sur IR. D après la calculatrice, 0,94 < α < 0,95 4) D après les questions précédentes, g est négative sur ]- ; α [ et positive sur ]α ; [. Partie B : 1) On résout 1 e - > 0 e - < 1 - < 0 (la fonction ep. est strictement croissante) >0. La règle du signe d un produit donne alors : La fonction f est négative ssi є [0 : 5 ] 0 5 5 + 1 e - + + f() + + ) 5 = - 5 = 1 e- = -. Par produit f() = 1 e- = 1. Par produit f() = 3) f étant dérivable comme produit de fonctions dérivables, f () =(1 e - ) + ( 5)e - = e - (e + 7) = e - g() D après l étude précédente, f et g sont du même signe, d où le tableau de variations de f : 4) On sait que g(α) = 0 : e α = -α + 7 d où f(α) = (α 5)(1 -α + 5 (α 5)² ) = (α 5) = -α + 7 -α + 7 α 7 - α f () 0 + f() f(α) 5) f() ( 5) = -( 5)e - = -e - + 5e - Or -e- = 0 (croissances comparées) et Donc (D) est bien asymptote à C en +. Or ( 5)e - >0 5 < 0 < 5. 5e- = 0, d où f() ( 5) = 0 C est au dessus de D sur ]- ; 5 [ et en dessous sur ]5 ; [ 6) 6
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