Chapitre 14 Géométrie dans l espace Partie 3 Caractérisation barycentrique Droites et plans

Terminale S Lycée Desfontaines Melle Chapitre 14 Géométrie dans l espace Partie 3 Caractérisation barycentrique Droites et plans I Caractérisation barycentrique Dans ce paragraphe, on considère trois points A, B et C non alignés de l espace Rappels : La droite (AB) est l ensemble des points M tels que ÄAM=tÄAB, t décrivant Ë Le segment [AB] est l ensemble des points M tels que ÄAM=tÄAB, t décrivant l intervalle[0;1] Caractérisation barycentrique d une droite, d un segment, d un plan, d un triangle (Principe de démonstration en annexe) : La droite (AB) est l ensemble des barycentres des points A et B Le segment [AB] est l ensemble des barycentres de points A et B affectés de coefficients de même signe Le plan (ABC) est l ensemble des barycentres des points A, B et C L intérieur du triangle ABC, côtés compris, est l ensemble des barycentres des points A, B et C affectés de coefficients de même signe Remarque : L intérieur du triangle ABC, côtés exclus, est l ensemble des barycentres des points A, B et C, affectés de coefficients non nuls de même signe II Droites de l espace L espace est muni d un repère orthonormé ( ) O; Åi ; Åj ; Åk 1 Système d équations cartésiennes d une droite Toute droite de l espace peut être définie par l intersection de deux plans sécants On appelle système d équations cartésiennes d une droite D, intersection deux plans d équations ax+by+cz+d=0 et a x+b y+c z+d =0, le système ax+by+cz+d=0 a x+b y+c z+d =0 Remarques : Le système précédent soit un système d équations cartésiennes d une droite si et seulement si les deux plans sont sécants c'est-à-dire si et seulement si les coordonnées (a;b;c) et (a ;b ;c )ne sont pas proportionnelles Dans l espace, une droite n admet pas d équation cartésienne de la forme ax+by+cz+d=0 Le système ax+by+cz+d=0 z=0 définit une droite D située dans le plan ( O; Åi ; Åj ) Dans ce plan, une équation de D est ax+by+d=0 Attention, dans l espace ax+by+d=0 est l équation d un plan parallèle à l axe ( ) 2 Représentation paramétrique d une droite Soit D une droite de l espace de vecteur directeur Åu (α;β;γ) passant par un point A( x A ;y A ;z A ) Un point M(x;y;z) de l espace appartient à D si et seulement si il existe un réel t tel que x=x A+tα ÄAM=t Åu càd si et seulement si il existe un réel t tel que (S) y=y A +tβ z=z A +tγ On dit que t est le paramètre du point M de D et on note M(t) O; Åk Théorème : Le droite D passant par le point A( x A ;y A ;z A ) et de vecteur directeur Åu (α,β;γ) est l ensemble des points M(x;y;z) tels que x=x A+tα (S) y=y A +tβ z=z A +tγ Le système (S) est appelé représentation paramétrique de la droite D dans le repère ( O; Åi ; Åj ; Åk ) et t est le paramètre Réciproquement, lorsqu une droite est donnée par la représentation paramétrique (S), on peut affirmer que cette droite passe par A( x A ;y a ;z a ) et admet Åu (α;β;γ) pour vecteur directeur Chapitre 14 Géométrie dans l espace Partie 3 Caractérisation barycentrique Droites et plans Page 1 sur 7

III Intersection d un plan P et d une droite D Soit D une droite de vecteur directeur Åu Soit P un plan de vecteur normal 1 Le point de vue géométrique (rappel) Une droite D et un plan P de l espace sont soit sécants en un point (cad Åu et ne sont pas orthogonaux) sécants Åu soit parallèles (cad Åu et sont orthogonaux) parallèles Åu Åu D et P ont un seul point commun : P D = {A} D est contenue dans P D P D et P sont strictement parallèles D P = 2 Le point de vue algébrique Dans un repère orthonormal, le plan P est défini par une équation cartésienne et la droite D peut-être définie par une représentation paramétrique ou un système d équations cartésiennes Pour étudier l intersection de la droite D et du plan P, on pourra donc résoudre : 0+tα Ou bien un système de 4 équations à 4 inconnues (x,y,z,t) du type (S) x=x y=y 0 +tβ z=z 0 +tγ ax+by+cz+d=0 Ou bien un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues (x,y,z) du type (S) ax+by+cz+d=0 a x+ b y+ c z+d =0 On déduit de la discussion géométrique précédente que les deux systèmes ont : Soit une seule solution (si D et P sont sécants) Soit une infinité de solution (si D est incluse dans P) Soit aucune solution (si D et P sont strictement parallèles) a x+ b y+ c z+ d =0 IV Intersection de plans 1- Intersections de deux plans Soit P et P deux plans de vecteurs normaux respectifs et Än (a) Le point de vue géométrique (rappel) Deux plans P et P' de l espace sont soit sécants suivant une droite (cad et Än ne sont pas colinéaires) soit parallèles (cad et Än sont colinéaires) sécants parallèles Än Än Än P P = d P et P sont strictement parallèles P P = P et P sont confondus P = P Chapitre 14 Géométrie dans l espace Partie 3 Caractérisation barycentrique Droites et plans Page 2 sur 7

(b) Le point de vue algébrique Dans un repère orthogonal, les plans P et P ont respectivement pour équations cartésiennes ax+by+cz+d=0 et a x+b y+c z+d =0 Pour étudier l intersection des plans P et P, on peut donc résoudre le système (S) ax+by+cz+d=0 a x+b y+c z+d =0 On déduit de la discussion géométrique précédente que ce système a : Soit aucun triplet solution (si les plans sont strictement parallèles) Soit une infinité de triplets solutions (si les plans sont sécants ou confondus) Remarque : Lorsque les deux plans ne sont pas confondus et que le système a une infinité de triplets solutions, l intersection des deux plans est une droite dont on peut donner une représentation paramétrique 2- Intersections de trois plans a Le point de vue géométrique P, Q et R sont trois plans de l espace Alors, ou bien : Ils n ont pas de point commun Ils ont un seul point commun A Leur intersection est une droite Leur intersection est un plan (P =Q =R ) b Le point de vue algébrique Dans un repère orthonormal les plans P, Q et R ont respectivement pour équations cartésiennes ax+by+cz+d=0, a x+b y+c z+d =0 et a x+b y+c z+d =0 Pour déterminer l intersection des trois plans P, Q et R, on peut résoudre le système (S) ax+by+cz+d=0 a x+ b y+ c z+d =0 On déduit de la discussion géométrique précédente que ce système a : Soit aucun triplet solution (si les trois plans n ont aucun point en commun) Soit un triplet solution (si les trois plans ont un seul point en commun) Soit une infinité de triplets solutions (si leur intersection est une droite ou s ils sont confondus) a x+ b y+ c z+ d =0 Remarque : Lorsque les trois plans ne sont pas confondus et que le système a une infinité de triplets solutions, l intersection des trois plans est une droite dont on peut donner une représentation paramétrique Chapitre 14 Géométrie dans l espace Partie 3 Caractérisation barycentrique Droites et plans Page 3 sur 7

V Exercices (des parties 2 et 3 de géométrie dans l espace) Exercice 1 Dans un repère orthonormal, on donne le point A(1;-3;2) et le vecteur (-1;1;4) Le plan P passe pat A et admet pour vecteur normal 1- Déterminer une équation cartésienne du plan P 2- Le point B(3;1;0) appartient-il au plan P? Exercice 2 L espace est muni d un repère orthonormal 1- Calculer la distance du point A(1;-1;2) au plan P d équation x+y z 1=0 2- Le point H(2;0;1) est-il le projeté orthogonal du point A sur le plan P Exercice 3 Dans un repère orthonormal, le plan P a pour équation 5x y 2 +z+ 1 3 =0 Donner une équation du demi-espace fermé de frontière P contenant le point B(-1;2;3) Exercice 4 (LA Réunion, Juin 2003) On considère un cube ABCDEFGH d arête 1 Le nombre a désigne un réel strictement positif On considère le point M de la demi-droite [AE) défini par ÄAM= 1 a Ä AE 1- Déterminer le volume du tétraèdre ABMD en fonction de a M;a 2 ;(B;A);(D;1) 2- Soit K le barycentre du système de points pondérés : {( ) } a Exprimer ÄBK en fonction de ÄBM et de ÄBD b Calculer ÄBK ÄAM et ÄBK ÄAD puis en déduire l égalité ÄBK ÄMD=0 c Démontrer l égalité ÄDK ÄMB=0 d Démontrer que K est l orthocentre du triangle BDM 3- Démontrer les égalités ÄAK ÄMB=0 et ÄAK ÄMD=0 Qu en déduit-on pour la droite (AK) 4- a a Montrer que le triangle BMD est isocèle et que son aire est égale à 2 +2 unité d aire 2a b Déterminer le réel a tel que l aire du triangle BDM soit égal à 1 unité d aire Déterminer la distance AK dans ce cas Exercice 5 (Batterie nationale, exo 24) L espace est rapporté ç un repère orthonormal ( O; Åi ; Åj ; Åk ) On considère les points A, B, C et S de coordonnées respectives A(-1;0;1), B(1;4;-1), C(3;-4;-3) et S(4;0;4) 1- Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A 2- a Montrer que le vecteur ÄSO est orthogonal aux vecteurs ÄAB et ÄAC b En déduire une équation cartésienne du plan (ABC) 3- a Démontrer que O est le barycentre des points A, B et C affectés de coefficients que l on déterminera b En déduire que O est situé dans le triangle ABC 4- Calculer le volume du tétraèdre SABC Exercice 6 (Centres étrangers, Juin 2005) Soit ABCD un tétraèdre tel que ABC, ABD et ACD soient trois triangles isocèles rectangles en A avec AB=AC=AD=a On appelle A 1 le centre de gravité du triangle BCD 1- Montrer que la droite ( AA 1 ) est orthogonale au plan (BCD) (On pourra par exemple calculer AA Å 1 ÄCD et AA Å 1 ÄBC ) 2- En exprimant de deux façons différentes le volume du tétraèdre ABCD, calculer la longueur du segment [ AA 1 ] 3- On appelle G l isobarycentre du tétraèdre ABCD et I le milieu de [BC] a Montrer que G appartient au segment [ AA 1 ], et déterminer la longueur AG b Déterminer l ensemble des points M de l espace tels que ÄMA+ ÄMB+ ÄMC+ ÄMD =2 ÄMB+ÄMC 4- Soit H le symétrique de A par rapport à G a Démontrer que 4ÄAG +ÄAC +ÄAD =ÄBA b Démontrer l égalité HC 2 HD 2 =ÄDCÄBA c En déduire que HC=HD Chapitre 14 Géométrie dans l espace Partie 3 Caractérisation barycentrique Droites et plans Page 4 sur 7

Exercice 7 Dans un repère orthonormal ( O; Åi ; Åj ; Åk ), on donne les points A(1;-2;3) et B(0;0;1) 1 Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB) 2 Les points C(-3;6;-5) et D(2;-5;5) appartiennent-ils à cette droite? Exercice 8 Déterminer les coordonnées d un point et d un vecteur directeur de la droite D dont une représentation paramétrique est x=-1+3t y=2t, z=2 t Exercice 9 y=2t 3, z=- t+2 1 On considère deux droites D et D de représentations paramétriques respectives x=t+1 Déterminer les coordonnées du point d intersection, s il existe, de D et D y=-3t+2, z=-3t+3 2 Même question avec x=t+1 et x=t y=-3t 3, z=- t+1 y=- t 1, z=t+1 et x=3t+2 Exercice 10 On considère les plans P 1 et P 2 d équations respectives 2x+y z+2=0 et x+2y z+1=0 Prouver que les deux plans sont sécants puis trouver une représentation paramétrique de leur droite d intersection D Exercice 11 On considère les points A(2,1, 2) et B(-1;2;1) et le plan P d équation 2x y+z 2=0 1- Déterminer une représentation paramétrique de (AB) 2- Prouver que la droite (AB) coupe P en un point I puis déterminer les coordonnées de I Exercice 12 (batterie nationale) Dans cet exercice les questions sont indépendantes Pour chaque question, une seule des trois propositions a b ou c est exacte On demande d indiquer laquelle, sans justification L espace est rapporté à un repère orthonormal ( O; Åi ; Åj ; Åk ) ÄMA = ÄMB est a l ensemble vide b un plan c une sphère (E;1);(F;3) sont : a G(6;4;-2) b G(1,5;1;-0,5) c G(0,5;1;1,5) 1- Soient A et B deux points de l espace L ensemble des points M de l espace tels que 2- On considère les points E(0;1;-2) et F(2;1;0) Les coordonnées du barycentre G de { } 3- Soit d la droite de représentation paramétrique x=2 t y=3t z=-3 On considère les points A(2;3;-3), B(2;0;-3) et C(0;6;0), on a : a d=(ab) b d=(bc) c dý(ab) et dý(bc) et dý(ca) 4- Les droites de représentations paramétriques respectives x=2+t y=1-t et x=t z=1+t point commun : a I(3;0;2) b J(2;1;1) c K(0;2;-3) x=3 2t 5- Les droites de représentations paramétriques x=1 y=-2 1,5t' z=3+ t y=1+2t et y=7 4t t Ë sont : z=1+t z=2 t a parallèles b sécantes c non coplanaires y=1+3t et le plan d"équation x 2y+5z 1=0 sont z=2+2t a orthogonaux b parallèles c ni orthogonaux, ni parallèles 7- L ensemble des points M(x;y;z) tels que x y+2z 1=0-2x+4y 4z+1=0 est : a l ensemble vide b une droite c un plan 6- La droite de représentation paramétrique x=-4t t' Ë admettent comme Chapitre 14 Géométrie dans l espace Partie 3 Caractérisation barycentrique Droites et plans Page 5 sur 7

Exercice 13 : France, juin 2006 Soit ( O; Åi ; Åj ; Åk ) un repère orthonormal de l espace On considère les points A(2;4;1), B(0;4;-3), C(3;1;-3), D(1;0;-2), E(3;2;-1) et I 3 5 ;4;- 9 5 Pour chacune des affirmations suivantes, dire sans le justifier, si, elle est vraie ou si elle est fausse 1- Une équation du plan (ABC) est 2x+2y z 11=0 2- Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC) 3- Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales 4- La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante : (CD) x=-1+2t y=-1+ t 5- Le point I est sur la droite (AB) z=1 t Exercice 14 : Liban, juin 2006 Dans l espace muni d un repère orthonormal ( O; Åi ; Åj ; Åk ), on donne les points A(2;1;3), B(-3;-1;7) et C(3;2;4) 1- Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés 2- Soit (d) la droite de représentation paramétrique x=-7+2t y=-3t z=4+t a Montrer que la droite (d) est orthogonale au plan (ABC) b Donner une équation cartésienne du plan (ABC) 3- Soit H le point commun à la droite (d) et au plan (ABC) a Montrer que H est le barycentre de (A;-2) ; (B;-1) et (C;2) b Déterminer la nature de l ensemble Γ 1, des points M de l espace tels que (-2ÄMA ÄMB+2ÄMC )( ) En préciser les éléments caractéristiques ÄMB ÄMC =0 c Déterminer la nature de l ensemble Γ 2, des points M de l espace tels que -2ÄMA ÄMB+2ÄMC = 29 En préciser les éléments caractéristiques d Préciser la nature et donner les éléments caractéristiques de l intersection des ensemble Γ 1 et Γ 2 e Le point S(-8;1;3) appartient-il à l intersection des ensembles Γ 1 et Γ 2 Exercice 15 : Asie, Juin 2006 On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-contre Dans tout l exercice, l espace est rapporté au repère orthonormal ( A;ÄAB ;ÄAD;ÄAE ) On note I le point de coordonnées 1 3 ;1;1 1- Placer le point I sur la figure 2- Le plan (ACI) coupe la droite (EH) en J Démontrer que les droites (IJ) et (AC) sont parallèles 3- On note R le projeté orthogonal de I sur la droite (AC) a Justifier que les deux conditions suivantes sont vérifiées i Il existe un réel k tel que ÄAR =käac ii ÄIR ÄAC =0 b Calculer les coordonnées du point R 11 c En déduire que la distance IR s exprime par IR= 3 4- Démontrer que le vecteur de coordonnées (3;-3;2) est normal au plan (ACI) En déduire une équation cartésienne du plan (ACI) 5 5- Démontrer que la distance du point F au plan (ACI) est 22 Exercice 16 : France, septembre 2006 On considère dans l espace un cube de 3 cm de côté noté ABCDEFGH et représenté ci-dessous Soit I le barycentre des points pondérés (E;2) et (F;1), J celui de (F;1) et (B;2) et enfin K celui de (G;2) et (C;1) On veut déterminer l ensemble des points M équidistants de I, J et K On note cet ensemble 1- Placer les points I, J et K sur la figure 2- Soit Ω le point de situé dans le plan (IJK) Que représente ce point pour le triangle IJK? Chapitre 14 Géométrie dans l espace Partie 3 Caractérisation barycentrique Droites et plans Page 6 sur 7

Pour la suite de l exercice, on se place maintenant dans le repère orthonormal A; 1 3 Ä AD ; 1 3 Ä AB ; 1 3 Ä AE 3- Donner les coordonnées des points I, J et K 4- Soit P(2;0;0) et Q(1;3;3) deux points que l on placera sur la figure Démontrer que la droite (PQ) est orthogonale au plan (IJK) 5- Soit M un point de l espace de coordonnées (x;y;z) a Démontrer que M appartient à si et seulement si le triplet (x;y;z) est solution d un système de deux équations linéaires que l on écrira Quelle est la nature de? b Vérifier que P et Q appartiennent à Tracer sur une figure 6- a Déterminer un vecteur normal au plan (IJK) et en déduire une équation cartésienne de ce plan b Déterminer alors les coordonnées exactes de Ω Exercice 17 : Polynésie, septembre 2006 L espace est muni d un repère orthonormal ( O; Åi ; Åj ; Åk ) Soit P 1 le plan d équation cartésienne -2x+y+z 6=0 et P 2 le plan d équation cartésienne x 2y+4z 9=0 1- Montrer que P 1 et P 2 sont perpendiculaires On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal non nul à l un est orthogonal à un vecteur normal non nul à l autre 2- Soit (D) la droite d intersection de P 1 et P 2 Montrer qu une représentation paramétrique de (D) est x=-7+2t y=-8+3t ( ) z=t 3- Soit M un point quelconque de (D) de paramètre t et soit A le point de coordonnées (-9;-4;-1) a Vérifier que A n appartient ni à P 1, ni à P 2 b Exprimer AM 2 en fonction de t c Soit f la fonction définie sur Ë par f(t)=2t 2 2t+3 i Etudier les variations de f ii Pour quel point M, la distance AM est-elle minimale? Par la suite, on désignera ce point par I iii Préciser les coordonnées du point I 4- Soit (Q) le plan orthogonal de (D) passant par A a Déterminer une équation de (Q) b Démontrer que I est le projeté orthogonal de A sur (D) Exercice 18 : Antilles, juin 2005 Partie A Soit [KL] un segment de l espace ; on note I son milieu On appelle plan médiateur de [KL] le plan perpendiculaire en I à la droite (KL) Démontrer que le plan médiateur de [KL] est l ensemble des points de l espace équidistants de K et de L Partie B Ici, l espace est muni d un repère orthonormal ( O; Åi ; Åj ; Åk ) ; on considère les points A(4;0;-3) ; B(2;2;2), C(3;-3;-1) et D(0;0;-3) 1- Démontrer que le plan médiateur de [AB] a pour équation 4x 4y 10z 13=0 On admet pour la suite que les plans médiateurs de [BC] et [CD] ont respectivement pour équations 2x 10y 6z 7=0 et 3x 3y+2z 5=0 2- Démontrer, en résolvant un système d équations linéaires, que ces trois plans ont un unique point commun E dont on donnera les coordonnées 3- En utilisant la partie A, montrer que les points A, B, C et D sont sur une sphère de centre E Quel est le rayon de cette sphère? Chapitre 14 Géométrie dans l espace Partie 3 Caractérisation barycentrique Droites et plans Page 7 sur 7