A Forme trigonométrique Exercice 1 Ecris sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants : z 1 = 1 + i z = - 1 i z 3 = 5 z 4 = - 3 z 5 = 4 4i z 6 = + i 3 z 7 = - + i z 8 = - 1 4 + i 3 4 z 9 = 4 1 - i z 10 = i 6 cas particuliers qui méritent «débat» z 11 = 1 + 3i z 1 = + i 1 i z 13 = 1 + 3i 1 i et enfin z 14 = 0 Exercice z est un nombre complexe de module r et dont un argument est α. Trouvez le module et un argument des nombres complexes suivants : - z z 1 z 3 z p 1 z z p ( p IN * ) Exercice 3 Dans chacun des cas suivants, détermine le module et un argument de z : z = - 4 z = - 3 cos π 6 + i sin π 6 z = 4 cos π 5 - i sin π 5 z = sin π 3 + i cos π 3 B) Forme exponentielle Exercice 4 Donne une forme exponentielle de chacun des nombres complexes suivants : z 1 = 3 + 6i z = (1 + i) 3e iπ/3 z 3 = ( 1+ i 3) 4 z 4 = - 5 cas particuliers qui méritent «débat» z 6 = 1 + 4i z 7 = + i 1 i z 5 = 3 cos π 5 - i sin π 5 z 8 = 3 + i + i z 8 = 1 + 3i 1 i Exercice 5 On pose Z 1 = e iπ/3 Z = e iπ/4 Z 3 = e i π/3 Trouve une forme exponentielle puis la forme algébrique des nombres complexes suivants : Z 1 Z Z 1 Z Z 1 Exercice 6 ( un grand classique!) On pose z 1 = - 1 i et z = 1 + i 3 1) Ecrivez z 1 z 3 Z 3 4 sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique. z 9 = e iπ/3 + e iπ/4 Z 1 Z Z 3 1/Z 3 Z 1 Z Z 3 ) Déduisez le module et un argument de z 1, puis les valeurs exactes de cos 11π 11π et sin z 1 1 Exercice 7 BAC On donne les nombres complexes suivants : 6 i z 1 = et z = 1 - i 1) Donnez une forme trigonométrique de z 1, z et z 1 z ) Donnez la forme algébrique de z 1 z 3) Déduisez en que cos π 1 = 6 + sin π 1 = 6 -
Exercice 8** : Nombres complexes et formules trigonométriques : On rappelle que pour tout réel θ et pour tout entier naturel n, ( cos θ + i sin θ ) n = cos nθ + i sin nθ En développant soigneusement ( cos θ + i sin θ ), retrouve les formules de duplication vues dans le cours Faire de même avec ( cos θ + i sin θ ) 3 puis en déduire cos ( 3θ ) et sin ( 3θ ) en fonction de cos θ et de sin θ On rappelle que pour tout réel θ et pour tout entier naturel n, cos θ = e iθ + e - iθ En déduire les linéarisations de ( cos θ ) ², de ( sin θ ) ², de ( cos θ) 3, de ( sin θ ) 3 et sin θ = e iθ - e - iθ i Approfondissement : autour des racines n-ièmes de l'unité Exercice 9** : Th fondamental de l algèbre : théorème de d Alembert-Gauss : Tout polynôme complexe de degré n admet exactement n racines dans IC 1) Soit n IN *, résous z n = 1 ) Application : résous z 4 = 1 puis z 5 = 1, 3) Nous avons déjà démontré dans l'ex 7 "feuille " qu'un polynôme complexe à coefficients réels possédant des racines complexes admet aussi comme racine leur conjugué. Soit α un nombre complexe de module 1 tel que α = cos β + i sin β, β IR Démontre que (z - α)(z - α ) = z² - ( cos β ) z + 1 4) En déduire une factorisation dans IC puis dans IR de z 4 1, z 5 1 puis de z 6 1 5) Plus difficile.. factorise z 4 + 1 dans IC puis dans IR. Exercice 10 ** : un autre classique : les racines cinquièmes de l'unité (application : comment se partager une bonne pizza quand on est 5 amis.)
Exercice 11 : encore un petit plongeon dans IC Pour tout entier naturel n, on définit la suite ( S n ) par : S n = sin π n + sin π n + sin 3π n + + sin (n - 1)π k = n - 1 n = sin kπ n k = 0 On pose z = cos π n + i sin π n = e iπ/n k = n - 1 a) Donner une expression simple de la somme 1 + z + z² +... + z n + 1 = k = 0 b) Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de cette somme. 1 c) En déduire que S n = tan π n d) Quelle est la limite de la suite S n n? Exercice 1 : second petit plongeon dans IC Soit u = e iπ/7 1) calcule u 7 ) Soit S = u + u² + u 4 et T = u 3 + u 5 + u 6 Démontre que S et T sont conjugués que la partie imaginaire de S est positive 3) Calcule S + T et ST 4) En déduire que : cos π 7 + cos 4π 7 + cos 8π 7 = - 1 sin π 7 + sin 4π 7 + sin 8π 7 = 7 Exercice 13 **: VIEUX BAC Soit le nombre complexe u = 1 + i et u son conjugué 1) a) Ecrivez u et u sous forme trigonométrique b) On Pose S n = u n + u n avec n IN *. Déduisez de 1) a) que S n = λ n cos n π 4 où λ n est un réel que l'on précisera. c) quels sont les entiers pour lesquels S n = 0? d) Prouvez que si n est pair, S n est un entier relatif ) On suppose dans cette question que n est pair que n = m a) Ecrivez par la formule du binôme les développements de ( 1 + i ) m et ( 1 - i ) m à l'aide des puissances de i (que l'on ne cherchera pas à simplifier dans cette question) b) Pour p IN, simplifiez : i p + 1 + (- i) p + 1 et i p + (- i) p c) application : on prend n = 4 (donc m = 1) 1 En utilisant les résultats précédents, démontrez que (-1) p 4 p = 1 p = 0 z k
COMPLEXES ET GEOMETRIE PARTIE II CONSTRUCTIONS, ETUDE DE TRIANGLES ET DE QUADRILATERES Exercice 14 Dans le plan complexe, à l aide du compas et d une règle non graduée, place les points A, B, C, D, E, F, G et H dont les affixes figurent ci-dessous. = 3 e iπ/4 z B = e - iπ/3 z C = e iπ z D = 3e i3π/4 z E = e - iπ/6 z F = 3 e - i5π/6 z G = - - i z H = - 1 + i 3 Exercice 15 Dans le plan complexe, place les points A, B, C dont les affixes figurent ci-dessous puis calcule les distances OA, OB, OC, AB, AC et BC = e iπ/4 z B = e - iπ/3 z C = 1 + i Exercice 16 Dans le plan complexe, place les points A, B, C dont les affixes figurent ci-dessous puis détermine les mesures des angles orientés ( u, OA), ( u, OB),( u, OC), ( u, AB), ( u, AC) et ( AB, AC). = 1 - i z B = z C = e iπ/3 Exercice 17 1) Dans le plan complexe, on considère trois points A, B, C dont les affixes vérifient les égalités ci-dessous. En déduire la nature du triangle ABC dans chaque cas a) z B - z C - = 3i b) z B - z C - = 1 + i 3 c) z C - z B - z B = - i d) z C - z B - z B = e - iπ/3 ) Même démarche avec OAB sachant que : a) z B = i b) z B = - i 3 Exercice 18 (application aux quadrilatères) c) z B = - i d) z B = e iπ/3 1) Dans le plan complexe, on considère les points A, B, C et D d affixes respectives : a = - 4 + 3i, b = 3 + 4i, c = 8 - i et d = 1 i a) Démontre que ABCD est un parallélogramme b) Calcule a c. En déduire la nature du quadrilatère ABCD b - d ) Dans le plan complexe, on considère trois points A, B et C d affixes respectives : a = - 3 + i, b = - - 3i et c = - 5 - i a) Démontre que OACB est un parallélogramme b) Calcule b. En déduire la nature du quadrilatère OACB a Exercice 19 (application aux cercles) 1) Dans le plan complexe, on considère trois points A, B et C d affixes respectives : a = - 3 + i, b = - 1 + 3i et c = - 1 - i Justifie que les points A, B et C appartiennent à un cercle dont on précisera les caractéristiques. Dans le plan complexe, on considère les points A, B, C et D d affixes respectives : a = - 3 + 5i, b = - 1 + 3i, c = - 1 + i et d = - 3 i Justifie que les points A, B, C et D appartiennent à un cercle dont on précisera les caractéristiques.
TRANSFORMATIONS Exercice 0 (Extrait Antilles guyanne juin 01) Dans le plan complexe, on considère trois points A, B et C d affixes respectives : a = 1 + 3i, b = + i et c = 1 - i Pour tout nombre complexe z + i, z = z 1 3i z - i 1) Détermine l affixe de C = f (C) (tu en donneras l écriture algébrique) ) Quels sont les affixes des points dont l image par f est A? 3) Quel est l ensemble des points M du plan dont l image M figure sur le cercle de centre O et de rayon 1? 4) Quel est l ensemble des points M du plan dont l image M figure sur l axe des réels? 5) Quel est l ensemble des points M du plan dont l image M figure sur l axe des imaginaires? Exercice 1 (dans l esprit de Polynésie septembre 011) Dans le plan complexe, on considère trois points A, B et C d affixes respectives : a = - 1, b = i et c = 1 + i Pour tout nombre complexe z i, z = iz + i z i 1) Détermine l affixe de C = f (C) (tu en donneras l écriture algébrique) ) Quels sont les affixes des points dont l image par f est A? 3) justifie que z = i z a z - b 4) Quel est l ensemble des points M du plan dont l image M figure sur le cercle de centre O et de rayon 1? 5) Quel est l ensemble des points M du plan dont l image M figure sur l axe des réels? 6) Quel est l ensemble des points M du plan dont l image M figure sur l axe des imaginaires? Exercice (extrait de Pondichéry 01) Dans le plan complexe, on considère les points A et B d affixes respectives : a = 1 + i b = 3 Pour tout nombre complexe z i, z = z² 1) Détermine l affixe de A = f (A) (tu en donneras l écriture algébrique) ) Quels sont les affixes des points dont l image par f est B? 3) L application possède-t-elle des points invariants? 4) Quel est l ensemble des points M du plan dont l image M figure sur l axe des imaginaires? Exercice 3 (extrait de Amérique du Nord 01) Dans le plan complexe, on considère les points A, B, C et D d affixes respectives : a = 1, b = - 1, c = - + i d = + 3i Pour tout nombre complexe z 1, z = 1 z z - 1 1) Détermine l affixe de C = f (C) (tu en donneras l écriture algébrique) ) Montre que C appartient au cercle C de centre O et de rayon 1. 3) Montre que les points A, C et C sont alignés
4) Quel est l ensemble des points M du plan dont l image par f est A? 5) Montre que pour tout point M du plan distinct de A, M appartient au cercle C 6) Montre que pour tout nombre complexe z 1, z 1 est réel. z - 1 7) Que peut on en déduire pour les points A, M et M? Exercice 4 (Asie Juin 008) Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O, u, v). On prendra pour le dessin : M est un point d'affixe z non nul. On désigne par M' le point d'affixe z' telle que Partie A - Quelques propriétés 1 z' = z u = 4cm 1. Soit z un nombre complexe non nul. Déterminer une relation entre les modules de z et z', puis une relation entre les arguments de z et z'.. Démontrer que les points O, M et M' sont alignés. 1 3. Démontrer que pour tout nombre complexe z non nul on a l'égalité : z ' + 1 = ( z 1). z Partie B - Construction de l'image d'un point On désigne par A et B les deux points d'affixes respectives 1 et 1. On note C l'ensemble des points M du plan dont l'affixe z vérifie : z 1 = 1. 1. Quelle est la nature de l'ensemble C?. Soit M un point de C d'affixe z, distinct du point O.. a. Démontrer que z ' + 1 = z'. Interpréter géométriquement cette égalité.. b. Est-il vrai que si z' vérifie l'égalité : z ' + 1 = z', alors z vérifie l'égalité z 1 = 1? 3. Tracer l'ensemble C sur une figure. Si M est un point de C, décrire et réaliser la construction du point M'.