Cours sur le Logarithme népérien

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. Fonction logarithme népérien La fonction eponentielle est continue et strictement croissante sur R et e = 0 et e = +. Donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel a ]0 ;+ [, l équation e = a admet une unique solution dans R. DÉFINITION On appelle logarithme népérien du réel strictement positif a, l unique solution de l équation e = a. Le logarithme népérien de a est noté lna ou ln a. La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction qui, à tout réel > 0, associe le réel. Eemple D après la calculatrice : ln0, 8 0, 22 ; ln2, 5 0, 96. CONSÉQUENCE : Pour tout réel a > 0 et pour tout réel b, on a l équivalence : lna = b a = e b. ln = 0 car e 0 =. lne = car e = e. Eemple Résoudre l équation e = 5. Pour tout réel, e = 5 = ln 5 = PROPRIÉTÉS : Réciprocité Pour tout réel > 0, e =. 2 Pour tout réel, lne =. ln 5+. Pour tout réel > 0, l équation e t =, d inconnue t, a pour solution t =. Donc e =. Pour tout réel, par définition, lne est l unique solution de l équation e t = e, d inconnue t donc lne =. Eemples lne 2 = 2 et e ln 2 = 2. PROPRIÉTÉ : Courbes des fonctions ln et ep Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions ln et ep sont symétriques par rapport à la droite d équation y =. 50 Chapitre A5. Logarithme népérien

On note respectivement C ep et C ln les courbes représentatives des fonctions ep et ln. Pour tous les réels a > 0 et b > 0, Mb ; a C ep a = e b b = ln a M a ; b C ln. PROPRIÉTÉ : Sens de variation La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + [. Soit a et b deu réels tels que 0 < a < b. On a : e ln a = a et e ln b = b. Donc e ln a < e ln b. Comme la fonction ep est strictement croissante sur R, on en déduit que : ln a < ln b. CONSÉQUENCE : Pour tous les réels a > 0 et b > 0, ln a = ln b a = b ln a < ln b a < b En particulier, pour tout réel > 0, on a : > 0 > ln > et < 0 < ln 0 < < CONSÉQUENCE : > 0 > < 0 0 < < MÉTHODE Résoudre une équation avec ln E. 20 p. 58 Pour résoudre une équation du type lnu = lnv : Rechercher l ensemble E des réels tels que u > 0 et v > 0 ; Résoudre dans E, l équation u = v. Eercice d application Résoudre l équation ln + 2 = ln. Conditions d eistence : + 2 > 0 et > 0. C est-à-dire : > 2 et >. D où E = ] 2 ; [. Pour tout E, ln+2 = ln équivaut à +2 = c est-à-dire 2 = ou encore = { } 2. Ce nombre appartient bien à E. Donc l ensemble des solutions est S =. 2 Chapitre A5. Logarithme népérien 5

MÉTHODE 2 Résoudre une inéquation avec ln E. 27 p. 58 Pour résoudre une inéquation du type lnu < lnv : Rechercher l ensemble E des réels tels que u > 0 et v > 0 ; Résoudre dans E, l inéquation u < v. Eercice d application Résoudre l inéquation ln 2 + < ln 8. Condition d eistence : 2 + > 0 soit + > 0. D où E = ] ; [ ]0 ;+ [. Pour tout E, ln 2 + < ln 8 équivaut à 2 + < 8 ou encore 2 + 8 < 0. Le trinôme 2 + 8 a pour discriminant = 8 et pour racines 6 et. Donc 2 + 8 < 0 ] 6 ; [. En tenant compte du fait que appartient à E, on a finalement, S = ] 6 ; [ ]0 ; [. 2. Propriétés algébriques PROPRIÉTÉ : Relation fonctionnelle Pour tous les réels a et b strictement positifs, lnab = lna + lnb. lnab = lna+lnb. Pour tous les réels a > 0 et b > 0, e lnab = ab = e lna e lnb = e lna+lnb. Ainsi, REMARQUE : On dit que la fonction ln transforme les produits en sommes. Cette formule se généralise à un produit de trois facteurs ou plus. PROPRIÉTÉS : Logarithme d un inverse, d un quotient Pour tous les réels a et b strictement positifs, ln = lna a a 2 ln = lna lnb b Voir eercice 94 p. 7 pour une démonstration de cette propriété. PROPRIÉTÉS : Logarithme d une puissance, d une racine carrée Pour tout réel a > 0 et pour tout entier relatif n, lna n = n ln a 2 ln a = 2 ln a e lnan = a n et e n ln a = e ln a n = a n ainsi e lnan = e n ln a d où lna n = n ln a. Voir [ eercice 95 p. 7 pour une démonstration par récurrence de cette propriété. ln a 2] [ = ln a et ln a 2] = 2 ln a donc ln a = 2 ln a d où le résultat. 52 Chapitre A5. Logarithme népérien

Eemple Écrire chacun des nombres suivants en fonction de ln 2. A = ln 2+ln 4 B = ln 8 C = ln 20 ln 5 A = ln 2+ ln 4 = ln 2+2 ln 2 = 5 ln 2. B = ln 8 = 2 ln 8 = 2 ln2 = ln 2. 2 20 C = ln 20 ln 5 = ln = ln 4 = 2 ln 2. 5 MÉTHODE Résoudre une inéquation avec une inconnue à l eposant E. p. 59 Eercice d application Résoudre l inéquation n 0, 0 avec n N. La fonction ln est croissante sur ]0 ;+ [ donc l inéquation [ n ] ln ln 0, 0. Pour tout a > 0, lna n = n ln a, donc l inéquation s écrit : n ln ln 0, 0. En divisant chaque membre par ln n 0, 0 est équivalente à qui est strictement négatif, le sens de l inégalité change. ln 0, 0 ln 0, 0 n, or 4, 9. L ensemble solution est constitué de tous les entiers n 5. ln ln. Étude de la fonction logarithme népérien PROPRIÉTÉ : Dérivée de la fonction ln La fonction ln est dérivable sur ]0 ;+ [ et pour tout réel > 0, ln =. On admet que la fonction ln est dérivable sur ]0 ;+ [. Pour tout réel > 0, on pose f = e. La fonction ln étant dérivable sur ]0 ;+ [, f est aussi dérivable sur ]0 ;+ [. Pour tout réel > 0, calculons f de deu manières : f = ln e ln = ln et on a aussi f = donc f =. On en déduit que pour tout réel > 0, ln =, par suite ln =. PROPRIÉTÉ : Limites au bornes ln = + et ln = >0 Chapitre A5. Logarithme népérien 5

Pour tout réel A > 0, > A > e A donc ln = +. Pour tout réel > 0, on pose X =. On a = X donc = ln X = ln X X = + et >0 X + ln X = donc par ite d une composée ln =. On peut alors dresser le tableau de variation de la fonction ln et représenter sa courbe. >0 0 + ln + REMARQUE : Une équation de la tangente à la courbe de la fonction ln en est : y = ln +ln soit y =. 4. Autres ites PROPRIÉTÉ : Croissance comparée = 0 et = 0. Pour tout réel > 0, on effectue le changement de variable : X =, on a alors = e X. Ainsi = X e X = e X. Or X = = + et e X = + donc par ite X + X X d un quotient X + e X X = 0. Enfin, par ite d une composée, = 0. Pour tout réel > 0, on pose X =, on a alors = e X X. On a X = = et par propriété, X XeX composée, = 0. PROPRIÉTÉ : Limite et tau d accroissement ln+h =. h 0 h = 0, donc par ite d une h 0 ln+h ln h La fonction ln est dérivable en donc, par définition, = ln. Or ln = 0 et ln = =, on obtient donc h 0 ln+ h h =. 54 Chapitre A5. Logarithme népérien

MÉTHODE 4 Lever une indétermination pour étudier une ite E. 5 p. 59 Dans le cas d une forme indéterminée qui fait intervenir la fonction ln, on peut : factoriser et faire apparaître des ites déjà connues ; effectuer un changement de variable. Eercice d application Déterminer les ites suivantes : 2 2 ln + Pour tout réel > 0, 2 = 2. Par propriété, = 0 donc 2 = 2. Donc par ite d un produit, 2 =. Ainsi, 2 =. 2 Pour tout réel > 0, on pose X =, on a alors ln + = ln+x. X On a X = composée, ln + = 0 et par propriété, X 0 =. ln+x X = donc par ite d une 5. Fonction lnu NOTATION : u est une fonction strictement positive sur un intervalle I. La fonction lnu est notée lnu ou ln u. PROPRIÉTÉ : Dérivée de ln u Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction ln u est dérivable sur I, et ln u = u u. CONSÉQUENCE : u étant strictement positive,ln u et u sont de même signe. On en déduit que les fonctions u et ln u ont le même sens de variation sur I. MÉTHODE 5 Calculer la dérivée d une fonction du type ln u E. 52 p. 6 Pour dériver une fonction du type ln u sur un intervalle I, on s assure que la fonction u est dérivable et strictement positive sur l intervalle I. Eercice d application f est la fonction définie sur R par f = ln 2 +. Calculer f. Posons u = 2 +. u est dérivable et strictement positive sur R et u = 2. Donc f est dérivable sur R et f = u u = 2 2 +. Chapitre A5. Logarithme népérien 55

MÉTHODE 6 Étudier les ites d une fonction du type ln u E. 54 p. 6 Pour étudier les ites d une fonction du type ln u, on peut : utiliser le théorème sur la ite d une composée ; utiliser les théorèmes de comparaison. Eercice d application +2 f est la fonction définie sur ]0 ;+ [ par f = ln. Étudier les ites de la fonction f au bornes de son ensemble de définition. Pour tout > 0, + 2 2 = + 2. De plus, 2 + 2 d une somme, 2 = 0. 2 = 0 et De plus, ln X = donc par ite d une composée, X 0 Pour tout > 0, + 2 + 2 donc 2 2 > ]0 ;+ [ donc f > ln 2 2 2 f =. = 0 donc par ite > or la fonction ln est strictement croissante sur ou encore f >. De plus, = donc = + donc par comparaison, f = +. 6. Fonction logarithme décimal DÉFINITION La fonction logarithme décimal, notée log, est la fonction définie sur]0 ;+ [, par : log = ln 0. PROPRIÉTÉS Pour tout entier relatif n, log0 n = n. 2 La fonction log est strictement croissante sur ]0 ;+ [. Pour tous les réels a > 0 et b > 0, a logab = log a+ log b et log = log a log b. b Voir eercice 74 p. 64 pour une démonstration de ces propriétés. REMARQUE : Les logarithmes décimau trouvent toute leur utilité en chimie calcul de ph, en acoustique mesure du son, en sismologie magnitude d un séisme, en astronomie magnitude apparente d un astre... 56 Chapitre A5. Logarithme népérien