Les Suites 1. Principe de la démonstration par récurrence Soit n 0 un entier naturel fixe. Pour démontrer qu une propriété P n est vraie pour tout entier naturel n avec n n 0, on procède en deux étapes : (a) On vérifie que P n0 est vraie. (b) On montre que si la propriété est vraie pour un entier naturel k avec k n 0 (c est l hypothèse de récurrence) alors elle est vraie pour l entier suivant k +1. On conclut que la propriété P n est vraie pour tout entier naturel n avec n n 0. Exemple La suite (u n ) est définie par : u 0 = 0 et u n+1 = u n +1 pour tout n de N. Démontrer par récurrence, que, pour tout n de N : u n = n 1. Solution (a) Initialisation Si n = 0, 0 1 = 1 1 = 0 = u 0 : la propriété est vraie au rang 0. (b) Hérédité On suppose que la propriété est vraie au rang k c est-à-dire que : u k = k 1 On a alors : u k+1 = u k +1 = ( k 1)+1 = k+1 +1 = k+1 1 : la propriété est vraie au rang k +1. Conclusion Pour tout n de N : u n = n 1. 3. Suites à connaître Suite (u n ) Suite arithmétique de raison r Suite géométrique de raison b Définition On passe d un terme quelconque au suivant en ajoutant la même quantité r, u n+1 = u n +r On passe d un terme quelconque au suivant en multipliant par la même quantité b, u n+1 = u n b Expression de u n en fonction de n u n = u 0 +nr = u 1 +(n 1)r u n = u 0 b n = u 1 b n 1 Somme S de n termes successifs Cas Particulier 4. Sens de variation d une suite n(p +D) S = P = premier terme de la somme D = dernier terme de la somme S = 1++3+...+n = n(n+1) Si b 1, S = P 1 bn 1 b P = premier terme de la somme Si x 1, S = 1+x+x +...+x n = 1 xn+1 1 x (a) La suite (u n ) est croissante si, pour tout n de N,u n u n+1 (b) La suite (u n ) est décroissante si, pour tout n de N,u n u n+1 (c) La suite (u n ) est monotone si elle est croissante ou si elle est décroissante. 5. Méthode Pour étudier le sens de variation d une suite, on peut étudier le signe de u n+1 u n suivant les valeurs de n. 6. Définition (Suite majorée, minorée, bornée) (a) La suite (u n ) est majorée s il existe un réel M tel que pour tout n de N,u n M. On dit que M est un majorant de la suite. (b) La suite (u n ) est minorée s il existe un réel m tel que pour tout n de N,u n m. On dit que M est un minorant de la suite. (c) Une suite, à la fois majorée et minorée, est dite bornée
7. Exercice Soit (u n ) la suite définie pour tout entier naturel n par : u 0 = et u n+1 = 3 u n +3 (a) A l aide de la calculatrice, calculer les 10 premiers termes de la suite. n u n (b) Que peut-on conjecturer sur le sens de variation de (u n ) et sur la majoration de (u n )?. (c) Montrer par récurrence que (u n ) est majorée par 9 i. Initialisation ii. Hérédité On suppose que la propriété est vraie au rang k c est-à-dire que : (d) Étudier le sens de variation de la suite (u n ) Pour tout entier naturel n : u n+1 u n = 9 8 7 6 5 4 3 1 1 3 4 5 6 7 8 9 10
8. Définition (Suite convergente) On dit que la suite (u n ) admet pour limite le réel l si tout intervalle ouvert de centre l contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. On dit alors que la suite est convergente et converge vers le réel l Une suite qui n est pas convergente est dite divergente. 9. Exemple La suite (u n ) définie par : u n = + 3 n,n N est convergente et sa limite est. +1 Animation 5 4 ε = 0.87 u n = + 3 n +1 l = 3 ε 1 1 1 3 4 5 6 7 8 9 10 10. Théorème (admis) Si une suite est convergente, sa limite est unique. 11. Définition (Limite infinie) On dit que la suite (u n ) admet pour limite + (respectivement ) si tout intervalle du type ]A;+ [ (respectivement ] ;A[ contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. On note alors : 1. Opérations et limites lim u n = + (resp. lim u n = ) (a) Limite d une somme l l ou + l ou + et si (v n ) a pour limite l + alors (u n +v n ) a pour limite l+l +?? : forme indéterminée. (b) Limite d un produit l l 0 0 et si (v n ) a pour limite l alors (u n v n ) a pour limite l l * *? * : on détermine le signe avec la règle des signes
(c) Limite d un quotient si la limite du dénominateur n est pas nulle l l ± et si (v n ) a pour limite l 0 l 0 ± alors ( un v n ) a pour limite l 0 * *? l * : on détermine le signe avec la règle des signes (d) Limite d un quotient si la limite du dénominateur est nulle et si (v n ) a pour limite ( ) un alors a pour limite v n l 0 ou 0 0 en gardant un signe constant 0? 13. Limites et comparaison Hypothèse 1 inégalité à partir d un certain rang Hypothèse comportement à l infini Conclusion u n v n lim u n = + lim v n = + u n v n lim v n = lim u n = u n w n v n lim u n = lim v n = l l réel lim w n = l (théorème d encadrement ou des gendarmes) 14. Limite d une suite géométrique du type u n = b n 1) Si b > 1, lim bn = + ) Si 1 < b < 1, lim bn = 0 3) Si b 1, la suite est divergente et n a pas de limite 15. Exercice (Démonstration de la première propriété) (a) Soit x un réel positif. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : (1+x) n 1+nx (b) En déduire que si b > 1, lim bn = +
16. Théorème (Suites monotones non bornées) (a) Toute suite croissante non majorée diverge vers +. (b) Toute suite décroissante non minorée diverge vers 17. démonstration de (a) Soit (u n ) une suite croissante et non majorée. On doit montrer que, pour tout réel A, il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à A. Pour un réel A quelconque, comme la suite n est pas majorée, il existe au moins un indice n 0 tel que u n0 > A. Mais la suite est croissante, d où, pour tout n n 0 on a u n u n0. Par transitivité, pour tout entier naturel n n 0,u n > A. On a bien montré que pour tout réel A, il existe un indice à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à A et donc lim u n = + 18. Propriété Soit (u n ) une suite croissante telle que lim u n = l. Alors la suite (u n ) est majorée par l. 19. Démonstration (par l absurde) ] Supposons qu il existe un indice n 0 tel que u n0 > l. Soit λ = u n0 l. L intervalle ouvert I = l λ ;l+ λ [ doit contenir tous les termes de la suite à partir d un certain rang, mais ceci est impossible car,comme la suite est croissante, pour n n 0,u n > l+ λ 0. Théorème (Suites monotones bornées)(admis) (a) Toute suite croissante et majorée est convergente (b) Toute suite décroissante et minorée est convergente 1. Exemple On pose u 1 = 0,1;u = 0,1;u 3 = 0,13;...;u 10 = 0,1345678910,u n est le nombre obtenue en juxtaposant tous les entiers 1,, 3,..., n après la virgule. Cette suite est croissante et majorée. Elle est donc convergente (sa limite est appelée le nombre de Champernowne).. Erreur à éviter Pour une suite (u n ) définie par récurrence par u n+1 = f(u n ), la croissance de f n entraîne pas nécessairement celle de (u n ). Par exemple, la suite définie par : u 0 = et u n+1 = u n +1,n N