Médiatrice d un segment Définition : La médiatrice d'un segment [] est la droite perpendiculaire à [] et passant par son milieu. Un point est sur la médiatrice de [] si et seulement si il est équidistant de et de. Figure : d est la médiatrice de [] et M = M. onstruction à la règle et au compas Pour construire la médiatrice (d) d'un segment [], il suffit de prendre une ouverture du compas plus grande que la moitié de la longueur du segment, puis de tracer deux arcs de cercle de centre et deux de centre La médiatrice (d) est alors la droite passant par les deux points d'intersection des arcs de cercles. Vous savez donc construire : Le milieu d'un segment Une droite perpendiculaire à une droite donnée. ours Théorèmes des milieux THEOREME 1 : Dans un triangle, Si I est le milieu de [] et J est le milieu de [], lors (IJ) est parallèle à () et IJ = 1 THEOREME : J Dans un triangle, Si une droite passe par le milieu I de [], et si cette droite est parallèle à (), lors cette droite coupe [] en son milieu J. I 1 / 7
utour du triangle rectangle 1 ) Théorème de Pythagore et réciproque Théorème : Si un triangle est rectangle en, lors ² + ² = ². Réciproque : Si un triangle est tel que ² + ² = ², lors il est rectangle en ) Triangle rectangle et cercle Si est rectangle en, alors le point appartient au cercle de diamètre [] Réciproque : Si le triangle est inscrit dans un cercle de diamètre [], alors est rectangle en. ) Trigonométrie Dans un triangle rectangle, on peut définir les relations suivantes entre les angles aigus et les différentes longueurs des côtés. cosɵ adjacent x = hypoténuse sinɵ opposé x = hypoténuse tanɵ opposé x = adjacent ôté opposé Hypoténuse x ôté adjacent Quelques valeurs remarquables : ɵx 0 45 60 ɵ cos x ɵ sin x 1 ɵ tan x 1 1 / 7
ngles 1 ) Les angles d un triangle : Les trois angles d un triangle sont supplémentaires (leur somme vaut 180 ). En particulier : Dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure 60. Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires (leur somme vaut 90 ). Dans un triangle isocèle, les deux angles adjacents à la base sont égaux. ) onfigurations angulaires z x x y y z Les angles xz et x ' z ' sont «opposés par le sommet». Deux angles opposés par le sommet sont toujours égaux. Les angles x ' z ' et yz sont «alternes-internes». Si les deux droites sont parallèles, alors deux angles alternes-internes sont égaux. Les angles xz et yz sont «correspondants». Si les deux droites sont parallèles, alors deux angles correspondants sont égaux. ) ngle inscrit, angle au centre () est un cercle de centre O. L angle M est appelé angle inscrit dans (). L angle N aussi. L angle O est l angle au centre associé à cet angle inscrit. On dit que ces angles interceptent le même arc. O M N La mesure d un angle inscrit dans un cercle est égale à la moitié de la mesure de l ange au centre associé. / 7
Théorème de Thalès 1 ) onfiguration de Thalès : Soient (d) et (d') deux droites sécantes en Soient et M deux points de (d), distincts de «configuration de Thalès» Soient et N deux points de (d'), distincts de Voici les configurations de Thalès «classiques» : Dans toutes les configurations de Thalès, on retrouve des triangles aux côtés parallèles et dont les longueurs sont proportionnelles. On peut résumer la position des points,,, M et N par une seule phrase : «Les droites (M) et (N) sont sécantes en et (MN) // ()». ) Théorème de Thalès : Si les droites () et (MN) sont parallèles, alors M = N = MN ) Réciproque du théorème : Si M = N et si les points,, M et les points,, N sont dans le même ordre, alors les droites () et (MN) sont parallèles. 4 / 7
Quadrilatères 5 / 7
ire des figures planes usuelles Triangle Triangle rectangle Trapèze base hauteur côté 1 côté (Petite ase + Grande ase) Hauteur Rectangle Losange Disque Longueur Largeur Diagonale 1 Diagonale π Rayon² ours Symétries 1 ) Symétrie axiale Déf : M ( ) Soit ( ) une droite du plan. On appelle symétrie d axe ( ), la transformation du plan qui à tout point M associe un point M tel que ( ) est la médiatrice de [MM ]. M Point(s) invariant(s)* : tous les points de la droite ( ). ) Symétrie centrale Déf : Soit O un point du plan. On appelle symétrie centrale de centre O, la transformation du plan qui à tout point M associe un point M tel que O est le milieu de [MM ]. Point(s) invariant(s)* : le centre O. M O M * Un point M est dit invariant lorsque M = M. 6 / 7
Droites remarquables d un triangle Les hauteurs Définition : Dans un triangle, la hauteur issue de est la droite qui passe par et qui est perpendiculaire à la droite (). Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes en un point appelé l orthocentre du triangle. Les médianes Définition : Dans un triangle, la médiane issue de est la droite qui passe par et par le milieu de côté opposé []. Les trois médianes d un triangle sont concourantes en un point appelé le centre de gravité du triangle. Le centre de gravité est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet. Les médiatrices Définition : La médiatrice d un segment est la droite perpendiculaire au segment en son milieu. (d) Les trois médiatrices d un triangle sont concourantes. Leur point d intersection est équidistant de chacun des sommets du triangle : c est le centre du cercle circonscrit au triangle. O Les bissectrices Définition : La bissectrice de l angle xoy est la droite passant par O qui partage cet angle en deux angles égaux. (d) Les trois bissectrices d un triangle sont concourantes. Leur point d intersection est équidistant de chacun des côtés du triangle : c est le centre du cercle inscrit. Ω 7 / 7