Produit scalaire dans le plan

3 ème sciences expérimentales Produit scalaire dans le plan Octobre 009 A. LAATAOUI Exercice n 1 : ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm. I est le milieu de [BC]. Calculer les produits scalaires suivants : BA BC ; CA CI AB AC AI. Exercice n : ; ( ) ABC est un triangle dans le quel AB = et AC = 3. De plus AB AC = 4. Ce triangle est il rectangle? (si oui préciser en quel sommet ). Exercice n 3 : C est un cercle de centre O et de rayon R et A est un point fixé du plan. Le but du problème est d établir la propriété suivante : Quelle que soit la droite (d) passant par A, coupant le cercle C en deux points P et Q, le produit scalaire AP AQ est constant. 1. Soit P le point diamétralement opposé à P. Montrer que AP AQ= AP AP '.. Montrer que AP AP' = AO R. 3. Conclure. Exercice n 4 : ABCD est un parallélogramme tel que AB = 4, AD = 5 et AC = 7. 1. Calculer AB AD.. Calculer en développant AD AB. 3. En déduire BD Exercice n 5 : ABCD est un rectangle de longueur L et largeur l. Soient H et K les projetés orthogonaux des sommets B et D sur la diagonale (AC). 1. Montrer queca BD = L l (on pourra décomposer les vecteurs suivant des directions orthogonales). En déduire HK en fonction de L et l.. Comment choisir L et l pour avoir AC = HK. 1 Produit scalaire dans le plan. 3 ème Sciences 09 10. www.espacemaths.com

Exercice n 6 : Dans un repère orthonormé ( Oi,, j), on donne A ( - ; ) et B( ; ). 1. Calculer les coordonnées du milieu I de [AB].. Démontrer que, pour tout point M du plan, on a : AB MA + MB = MI + 3. Démontrer que l'ensemble E des points M du plan tels que : MA + MB = 40 est un cercle (C) de centre I et de rayon r = 4. 4. Déterminer une équation du cercle (C). 5. Déterminer les coordonnées des (éventuels) points d'intersection de (C) avec l'axe des abscisses. 6. Soit λ un réel négatif. Comment choisir λ pour que le point Z ( 7, λ ) soit sur (C)? 7. Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) en Z. Exercice n 7 : L'unité de longueur est le centimètre. O et A sont deux points tels que OA =. 1) Déterminer et placer sur une figure le point H de la droite (OA) tel que OA. OH = 10 ) Déterminer et représenter sur la figure précédente l'ensemble E des points M du plan tels que OA. OM = 10. (E est la ligne de niveau 10 de la fonction M u. OM, avec u = OA) Exercice n 8 : ABC est un triangle et I est le milieu de [BC]. (voir les données sous la figure) Calculer : 1. AB AC. AB + AC 3. AB AC 4. AB et AC. Exercice n 9 : Dans un plan P on donne un rectangle ABCD tel que AB = BC = 4. On note O = A BJ. [ CD] tel que 1 1- a) Calculer CA CB et CA CJ BJ. CJ = et I le point d intersection des deux droites ( AC) et ( ). En déduire que ( AC) ( ) b) Calculer BJ puis la distance du point B à la droite ( AC ). - Soit F { M P tel que MA MB 4} = + =. Déterminer et construire l ensemble F. Λ 3- On note H le point du plan défini par BH = 3 et ABH π = et E le point tel que HB+ HE = 0. 6 b) Calculer AH et en déduire la nature du triangle ABH. F' = M P tel que MB + ME = 30. Vérifier que A F' puis déterminer et construire c) Soit { } l ensemble F. BJ. Produit scalaire dans le plan. 3 ème Sciences 09 10. www.espacemaths.com

Exercice n 10 : ABC est un triangle tel que AB = 6, AC = 4 et BC = 19. Λ π 1. a) Démontrer que BAC = rd. Construire le triangle ABC. 3 b) Calculer la distance CI où I = A B.. Déterminer et construire chacun des ensembles suivants : E = M P/ MA + MB = 9. a) { } b) F { M P/ MA MB 60} c) Γ= { M P/ MB 4MA = 1}. = =, ( vérifier que C F ). 3 Produit scalaire dans le plan. 3 ème Sciences 09 10. www.espacemaths.com

3 ème sciences expérimentales Produit scalaire dans le plan Corrigé Octobre 009 A. LAATAOUI Exercice n 1 : BA BC BA BC cosabc 5 = = 5 5 cos60 = 5 5 CA CI = CA CI cos ACI = 5 cos60 = 4 ( AB AC) AI = ( AB + CA ) AI = CB AI = 0 Exercice n : AB = et AC = 3 et AB AC = 4. BA BC = BA BA+ AC = BA BA + BA AC = BA AB AC = = ( ) ² 4 4 0 ABC est un triangle rectangle en B. Autrement : ² BC = BC = BA+ AC = BA² + AC² + BA AC = BA² + AC² AB AC = 4+ 9 8= 5 ( ) BC² + BA² = AC² BAC est un triangle rectangle en B. 4 Produit scalaire dans le plan. 3 ème Sciences 09 10. www.espacemaths.com

Exercice n 3 : 1. AP AP' = AP AQ, car Q est le projeté orthogonal de P sur la droite (AP).. AP AP' = ( AO+ OP) ( AO+ OP' ) = AO² + AO OP+ OP' + OP OP ' = AO OP = AO² R² 0 OP 3. AP AQ = AP AP ' = AO² R² c'est une constante puisque A est fixe. Exercice n 7 : 1. H (OA) tel que : OA. OH = 10 OA OH si OA et OH sont de même sens H (OA) OA OH = ou - OA OH si OA et OH sont de sens contraire OAOH. = 10 > 0 OA et OH sont de même sens et OA OH = 10 OH = 5. OA OM = 10 OA OM = OA OH OA OM OH = 0 OA HM = 0 OA HM HM E est la droite perpendiculaire à (OA) en H. 5 Produit scalaire dans le plan. 3 ème Sciences 09 10. www.espacemaths.com

Exercice n 10 : AB = 6, AC = 4 et BC = 19. 1. a) D après la formule d El Kashy, on a : AB² + AC² BC² 36+ 16 76 1 BC² = AB² + AC² AB AC cosbac cos BAC = = = AB AC 48 Λ π BAC = rd 3 b) D après la formule de la médiane, on a : AB² CA² + CB² AB² 16+ 76 18 CA² + CB² = CI² + CI² = = = 37 CI = 37 E = M P/ MA + MB = 9. a) { } M E MA² + MB² = 9 M ζ (I, 37 ) AB MI + = 9 MI² = 9 18 37 = IM = 37 Ainsi E est le cercle de centre I et de rayon 37 (puisque IC = 37 C E). 6 Produit scalaire dans le plan. 3 ème Sciences 09 10. www.espacemaths.com

b) F = { M P/ MA MB = 60} CA² - CB² = - 60 C F. M F MA² - MB² = - 60 IM AB = 60 IM AB = 30 Soit H le point de la droite (AB) tel que IH AB = 30 F est la droite perpendiculaire à (AB) en H, ou F est la perpendiculaire à (AB) passant par C. c) Γ= { M P/ MB 4MA = 1} Soit G le barycentre des points pondérés (B, 1) et (A, - 4) GB 4GA = 0 M Γ MB² - 4 MB² = 1 ( MG+ GB) 4( MG+ GA) = 1 3 MG² + MG GB 4 GA + GB² 4 GA² = 1 0-3MG² + GB² - 4GA² = 1 4 4 1 1 Or BG = BA BG = 6 = 8 et AG = AB AG = 6 = 3 3 3 3 M Γ - 3 MG² + 64 16 = 1 3MG² = 36 MG² = 1 GM = 3 M ζ(g, 3) Remarque : C Γ car CB² - 4CA² = 1 Γ est le cercle de centre G et passant par C 7 Produit scalaire dans le plan. 3 ème Sciences 09 10. www.espacemaths.com