/RJLTXHERROpHQQH I. Défiitios I.. Variable biaire O appelle variable biaire (ou logique), ue variable preat ses valeurs das l esemble {0, }. Eemple : état d u iterrupteur, d u bouto poussoir, la présece d ue tesio,... oit a la variable associée à l état d u bouto poussoir, alors a = 0 (fau ou bas) sigifie qu il est pas actioé, a = (vrai ou haut) sigifie qu il est actioé. I.2. Equatio logique O appelle équatio logique ue combiaiso de plusieurs variables logiques doat l état d ue variable dite de sortie associée. Cette combiaiso est réalisée à l aide d opératios logiques : oit i (i [, ]) les variables d etrée. L équatio A = f( i ) défiit l état de la variable de sortie A. I.3. La table de vérité représete l état de la variable de sortie pour chacue des combiaisos des variables d etrée (2 liges). II. Les opératios logiques élémetaires II.. Opérateur OUI L opératio (ou opérateur) OUI est dite uaire (e s applique qu à ue seule opérade). Elle affecte à la variable de sortie l état logique de la variable d etrée. Equatio : est l etrée, la sortie : =. mbole (orme IEC ) 0 0 (représetatio esembliste) mbole : orme IEEE 2 Remarque : les aglo-américais otet H (High) le iveau haut et L (Low) le iveau bas. II.2. Opérateur NON L opératio (ou opérateur) NON est la foctio uaire qui affecte à la variable de sortie l état complémetaire de la variable d etrée. Equatio : est l etrée, la sortie, «barre»). mbole (orme IEC) = (proocer 0 0 mbole (orme IEEE) IEC, Iteratioal Electrotechical Commissio (CEI e fraçais). 2 IEEE, Istitute of Electrical ad Electroics Egieers. <²XP ovembre 98 V3. / 6 Logique booléee
II.3. Opérateur ET L opératio ET est le produit logique. Le sige est celui de la multiplicatio (u poit), mais o lit «et». C est u opérateur biaire qui affecte à la variable de sortie l état si et seulemet si les variables d etrée sot à simultaémet. Equatio : et les etrées, la sortie, =. =. O ote aussi l opératio ET par u V retouré :. = (peser à l itersectio d esembles). mbole (orme IEC) mbole (orme IEEE) 0 0 0 0 0 0 0 II.4. Opérateur OU L opératio OU est la somme logique. Le sige est celui de l additio (+), mais o lit «ou». C est u opérateur biaire qui affecte à la variable de sortie l état si et seulemet si ue variable d etrée est à. Cette défiitio iduit directemet le smbole. Equatio : et sot les etrées, est la sortie, = + O ote aussi l opératio OU par u V : + = (peser à l uio d esembles). mbole (orme IEC) mbole (orme IEEE) 0 0 0 0 0 II.5. Remarques et complémets Il est possible d étedre la otio d opératio logique e utilisat des cocepts plus «algébriques» : pour le NON logique : = avec {0, }, pour le ET logique :. = Mi(,) avec (,) {0, } {0, }, pour le OU logique : + = Ma(,) avec (,) {0, } {0, }, Ces otatios sot aisémet vérifiables à l aide de tables de vérité. III. Les opératios logiques iduites III.. L opératio NON ET ou NAND Cette foctio logique est le résultat de l associatio d u NON et d u ET. C est u opérateur biaire qui affecte à la variable de sortie l état 0 si et seulemet si les variables d etrée sot à simultaémet Equatio : et les etrées, la sortie, =.. O ote aussi l opératio NAND par ue flèche motate : =. = (peser ). 0 0 0 0 0 <²XP ovembre 98 V3. 2 / 6 Logique booléee
mbole (orme IEC) mbole (orme IEEE) III.2. L opératio NON OU ou NOR Cette foctio logique est le résultat de l associatio d u NON et d u OU. C est u opérateur biaire qui affecte à la variable de sortie l état si et seulemet si les variables d etrée sot à 0 simultaémet. Equatio : et les etrées, la sortie, = +. O ote aussi l opératio NOR par ue flèche descedate : = + = (peser ). mbole (orme IEC) mbole (orme IEEE) 0 0 0 0 0 0 0 III.3. L opératio OU EXCLUIF ou XOR Cet opérateur logique biaire e pred la valeur que si ue seule des etrées est à. Equatio : et les etrées, la sortie, =. 0 0 0 0 0 0 mbole (orme IEC) mbole (orme IEEE) = Gééralisatio L opérateur XOR se gééralise à u esemble de variables d etrée par la défiitio suivate : La sortie vaut si et seulemet si le ombre d etrées à est impair. Cet opérateur peut doc aisémet faire foctio de cotrôleur de parité (ou d imparité). IV. Les epressios logiques et leur simplificatio Tous les opérateurs précédets permettet de combier des variables pour e costruire de ouvelles. c = a + b.d Eemple : c = a + b.(e + f) d = e + f <²XP ovembre 98 V3. 3 / 6 Logique booléee
IV.. Propriétés Commutativité a + b = b + a (commutativité de l opératio OU) a.b = b.a (commutativité de l opératio ET) Associativité a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c (associativité de l opératio OU) (ab)c = a(bc) = abc (associativité de l opératio ET) Distributivité (a + b).c = ac + bc (distributivité du produit logique sur la somme logique) ab + c = (a + c).(b + c) (distributivité de la somme logique sur le produit logique) Les parethèses imposet ue priorité supérieure. IV.2. Autres propriétés IV.3. Eemples a est ue variable logique a+ a = a + 0 = a a + = a + a = a a. a = 0 a.0 = 0 a. = a a.a = a f = a + a.b = a + b abc + abc + ab c + abc = bc( a + a) + abc + abc = c( b + ab) + abc = ac + bc + abc = ab + bc + ac (a + b).c + (a + c)ab + bc + a = ac + bc + ab + abc + bc + a = a( c + b + bc + ) + bc + bc = a + b IV.4. Théorèmes de De Morga 3 But : eprimer les opérateurs ET, OU et NON eclusivemet à l aide d opérateurs NOR seuls ou NAND seuls. O dit que les opérateurs NOR et NAND sot uiversels ou complets. Premier théorème : a + b = a. b gééralisatio a i = ai où les ai sot les variables, i [,]. ecod théorème : ab = a + b gééralisatio a i = ai où les ai sot les variables, i [,]. igificatio pratique U NAND est u OU à etrées complémetées U NOR est u ET à etrées complémetées Epressio des opérateurs de base à l aide des seuls opérateurs uiversels. a = a.a = a a = a+a = a a Opérateur NON réalisé avec u NAND et avec u NOR a.b = a.b = a+b = a b Trois opérateurs NOR (dot deu e NON) a.b = a.b = a b Deu opérateurs NAND (dot u e NON) Cas trivial a+b= a+b=a.b = a b Trois opérateurs NAND (dot deu e NON) a+b = a+b = a b Deu opérateurs NOR (dot u e NON) Cas trivial 3 De Morga (Augustus), mathématicie et logicie britaique (806-87). <²XP ovembre 98 V3. 4 / 6 Logique booléee
V. Ecriture des foctios booléees V.. Défiitios O appelle miterme de variables, u produit logique de ces derières (complémetées ou o). Avec variables, o costruit 2 mitermes, c est-à-dire autat que de combiaisos possibles de élémets preat deu états. Eemple : pour 2 variables a et b, voici les 4 mitermes : ab, ab, ab et ab. O appelle materme de variables, ue somme logique de ces derières (complémetées ou o). De la même maière que pour les mitermes, o costruit 2 matermes avec variables. Eemple : pour 2 variables a et b, voici les 4 matermes : a + b, a + b, a + b et a + b. V.2. Première forme caoique La première forme caoique d ue epressio booléee est composée d ue somme de mitermes eclusivemet. Pour ue epressio doée cette forme est uique. Eemple : Remarque : la somme de tous les mitermes de variables vaut toujours puisqu'il eiste toujours u miterme de variables valat. V.3. ecode forme caoique La secode forme caoique d ue epressio booléee est composée d u produit de matermes eclusivemet. Pour ue epressio doée cette forme est uique. Eemple : Remarque : Le produit de tous les matermes de variables vaut toujours 0 puisqu il eiste toujours u materme de variables valat 0. Pour chager de forme caoique o effectue d ue double complémetatio (ivolutio) de l epressio suivie de l applicatio de l u des théorèmes de De Morga. V.4. Forme caoique décimale L écriture des epressios logique a cet icovéiet d être assez logue. Chaque miterme parmi les 2 de variables correspod à u ombre représetat so ordre, c est pourquoi o préfère parfois utiliser ue écriture idiquat la liste classée des uméros des mitermes de la première forme caoique. Eemple : F = abcd + abcd + ab cd + abcd peut aussi s écrire F(a, b, c, d) = Σ 0, 6, 0, 5. VI. Etractio d ue équatio logique à partir d ue table de vérité Ue table de vérité recese l esemble des états d ue sortie pour toutes les combiaisos possibles des variables d etrée. Pour trouver ue epressio sous la première forme caoique, o applique la méthode suivate : o défiit les mitermes de variables qui sot les epressios logiques bâties sur la combiaiso de ces variables ; chaque miterme est associé à l ue des combiaisos de la table de vérité (e coservat la correspodace pour la variable et 0 pour la variable complémetée), tous les mitermes valat sot sommés logiquemet pour obteir l epressio de la sortie. Les simplificatios sot effectuées par les procédés de calcul algébrique. <²XP ovembre 98 V3. 5 / 6 Logique booléee
VII. Applicatios Eercices (sas corrigé) VII.. Epressios logiques F = ab + c + c(a+b ) F = (a+b+c)(a+b+c)+ab+bc 2 F = (+z)(+)z 3 F = (ab + ab)(ab+ab ) 4 F = abcd + abcd + ab cd + abcd+abcd+abcd+ab cd 5 VII.2. Logigrammes Tracer les logigrammes des epressios logiques suivates : =bcd +abd+abcd =+z+t zt 2 VII.3. Chroogrammes Dessier la forme d'ode e sortie du sstème logique de la Figure. a a b b t t Figure VII.4. Problème Trois iterrupteurs a, b et c commadet l'allumage de deu lampes R et suivat les coditios : dès qu'u ou plusieurs iterrupteurs sot activés la lampe R s'allume, la lampe e doit s'allumer que si au mois deu iterrupteurs sot activés. Trouver les epressios de R et et dessier les logigrammes. <²XP ovembre 98 V3. 6 / 6 Logique booléee