Exercices 6 NOMBRES COMPLEXES Calculs dans C Écrire chacun des nombres suivants sous forme algébrique : A = 4 i + i B = i i5 i C = i D = i i E = G = i 7 + i i F = H = Soit z = + i et z = i i + i i Écrire chacun des nombres suivants sous forme algébrique : A = z z B = z z C = z z D = z + z z z 4 Résoudre dans C les équations suivantes : E : iz + z i = 0 E : 4 + iz = z E : z + iz + i = 0 E 4 : iz z iz + 4 = 0 E 5 : iz = i E 6 : z + z = i E 7 : zz + z + z = E 8 : z + z = iz z E 9 : zz + iz + + z = 0 5 Résoudre le système ci-dessous : { + iz + 5 iz = 4 + 9i 5 + iz iz = 6 + i 6 Résoudre dans C les équations suivantes : E : 5z z + = 0 E : z + z = 0 4 E : 9 z + 5 = 0 E 4 : 5z + z = 5 Déterminer le conjugué de chacun des complexes suivants : A = i i B = i 4 i C = + i i D = i i + i 7 Soit P le polynôme défini sur C par Pz = z Calculer P puis factoriser P par z Résoudre Pz = 0 On appelle j la solution dont la partie imaginaire est strictement positive Démontrer que l autre solution j vérifie j = j Module, argument Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct 8 Déterminer le module et un argument puis écrire sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants : A = i B = i C = D = i E = + i F = i i G = + i I = i i H = J = i + i + i K = cosθ + isinθ L = sinθ icosθ 9 Soit θ un nombre réel Résoudre dans C les équations suivantes : E : z z cosθ + = 0 E : z e θ z + e θ = 0 Donner le module et un argument de chacune des solutions NOMBRES COMPLEXES 9
Terminale 7 S - 00/0 0 Le plan est muni d un repère orthonormal Déterminer et représenter l ensemble des points M d affixe z tels que : arg z = π π argiz = π 4 z arg = π π + i 4 π Déterminer l ensemble des points M d affixe z tels que : z + i = z i = z + + i argz + i = π π 4 argz + i = π π z + i 5 arg = π z + i π z + i 6 arg = π z + i π z + i 7 arg = 0 π z + i z + i 8 arg = π π z + i z + i 9 arg = 0 π z + i Déterminer l ensemble des points M d affixe z tels que : z 6 = z i = z + i z + i arg = 0 π iz 4 argz iz + i = 0 π Soient A, B, M et M les points d affixes respectives, +i, z et z = z + Déterminer l ensemble z i des points M tels que : OM = z est réel z est imaginaire pur 4 z est un réel négatif Forme exponentielle, trigonométrie 4 Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct Placer les points suivants : A e i π 6 B e i π C + e i π 4 4 D + e i π 5 Écrire sous forme exponentielle chacun des complexes suivants : z = z = k, k R + z 5 = ki, k R + z = i z 4 = k, k R z 6 = ki, k R z 7 = 5 5i z 8 = + i z 9 = 5 5i + i + i z 0 = i z = e i π z = ie i π 6 5 8 On done les deux nombres complexes suivants : z = i et z = + i Écrire Z = z sous forme algébrique z Écrire z, z et Z sous forme exponentielle Déduire des questions précédentes les valeurs π π exactes de cos et sin 4 Quelle est la plus petite valeur strictement positive n z de l entier n telle que soit un réel? z 9 Soit z = eiθ avec θ ] π;π[ + eiθ Montrer que z est imaginaire pur Exprimer z en fonction de θ 6 On pose z = + i Écrire z sous forme exponentielle En déduire z 009 sous forme exponentielle puis sous forme algébrique 7 Déterminer les entiers n pour lesquels + i n est imaginaire pur 0 z et z sont deux nombres complexes non nuls de même module r On pose U = z + z zz Montrer, en écrivant z et z sous forme exponentielle que U est un nombre réel positif Dans quel cas a-t-on U = 0? 0 EXERCICES 6
Terminale 7 S - 00/0 Soit x kπ k Z On appelle S et S les sommes suivantes : S = + cos x + cosx + + cosnx S = sin x + sinx + + sinnx Montrer que S + is = en+ix e ix Factoriser e n+ix au numérateur de S +is et e ix au dénominateur En déduire les expressions simplifiées de S et S Soit x un réel quelconque Calculer de deux façon différentes le nombre e ix 4 et en déduire les expressions de cos4x et sin4x en fonction de cos x et sin x Soit x un réel quelconque Utiliser le développement de e ix + e ix et les formules d Euler pour prouver que : cos x = e ix + e ix + e ix + e ix 8 En déduire une linéarisation de cos x 4 a et b sont deux nombres réels Démontrer que cos a cosb = cosa + b + cosa b De même, linéariser cos a sinb puis sin a sinb 4 Nombres complexes et géométrie Dans tous les exercices, le plan est muni d un repère orthonormal 5 a Placer les points A, B et C d affixes respectives i, + i et + i b Déterminer les affixes des vecteurs AB, # BC # et # AC a Placer les points C et D d affixes respectives i et + i b Déterminer les affixes de C # D et du milieu I de [C D] a Placer les points E, F et G d affixes respectives + i, i et 5 + i Placer H = Bar{E,;F,;G, } b Déterminer l affixe de H 4 a Placer les points J, K et L d affixes respectives, i et + i Placer le point M tel que JK LM soit un parallélogramme b Déterminer l affixe de M 6 Soient A, B et C les points d affixes respectives : a = i, b = + i et c = i On pose Z = a b c b Placer les points A, B et C sur une figure Interpréter géométriquement module et argument de Z Calculer Z et déterminer la nature de ABC 7 Soient A, B, C et D les points d affixes respectives : a = +i, b = i, c = 4 i, d = + i Placer les points A, B, C et D sur une figure Démontrer que le quadrilatère ABC D est un parallélogramme Démontrer que d b est un imaginaire pur En déduire la nature du parallélogramme c a ABCD 8 Soient M, M et M les points d affixes respectives z =, z = z i et z = z i + i 4 a Donner la forme algébrique de z et de z b Calculer z z et z z + z z Que peuton en déduire pour les points M, M et M? a Déterminer le module et un argument de z et de z b Déterminer le module de z z c Montrer que le triangle M OM est rectangle 9 Soient A, B, C et D les points d affixes respectives a = + i, b = 4 + i, c = i et d = 4 i Placer les points A, B, C et D sur une figure Calculer c a d a et c b d b Quelle est la nature des triangles ACD et BCD? 4 Démontrer que A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon 0 Soit P le polynôme défini sur C par : Pz = z 4z + 6z 4 Calculer P puis factoriser P Résoudre Pz = 0 Donner les solutions sous forme algébrique puis sous forme exponentielle Démontrer que les images dans un repère orthonormal des trois solutions de l équation forment un triangle rectangle isocèle Démontrer que les images des complexes, j et j où j est le nombre complexe défini dans l exercice 7 forment un triangle équilatéral NOMBRES COMPLEXES
Terminale 7 S - 00/0 5 Transformations Le plan est rapporté à un repère orthonormal # v On considère le point M d affixe z = + i, le point M d affixe z = i et le point A d affixe z A = Déterminer l affixe z du point M image de M par l homothétie h de centre A et de rapport Déterminer l affixe z 4 du point M 4 image de M par la rotation r de centre O et d angle π Placer les cinq points précédents 4 Calculer z z z 4 z 5 Soit I le milieu du segment [M M 4 ] et M 5 le symétrique de M par rapport à I Montrer que les points M M M 5 M 4 est un carré Le plan est rapporté à un repère orthonormal Soit a un nombre réel et M et M les points d affixes z et z où z et z sont les solutions de l équation : E : z az + + a = 0 Pour quelles valeurs de a le triangle OM M est-il équilatéral? Pour quelles valeurs de a le triangle OM M est-il rectangle? 4 Le plan est rapporté à un repère orthonormal On considère les points A d affixe z A = et B d affixe z B = Soit θ un réel de ]0;π[ On note M le point d affixe z = + e iθ Quel est l ensemble E ds points M quand θ décrit l intervalle ]0; π[? Soit M l image de M par la rotation r de centre O et d angle θ On note z l affixe de M Montrer que z = z puis que M est sur le cercle C de centre A et de rayon Dans toute la suite, on choisit θ = π Soit A = r A a Définir l image C de C par r Placer sur une figure A, B, C, M, C et M b Montrer que le triangle AMO est équilatéral c Montrer que C et C se coupent en O et en M d Soit P le symétrique de M par rapport à A Montrer que M est le milieu de [AP] 5 ABCD est un parallélograme direct et les triangles CBE et DCF sont équilatéraux de sens direct Le but de l exercice est de démontrer, en utilisant les complexes, que AEF est équilatéral de sens direct On choisit un repère orthonormal de sens direct et on appelle a, b, c, d, e et f les affixes respectives de A, B, C, D, E et F Faire une figure Vérifier que a f = a d + d f puis montrer que a f = b c + d f En déduire que e i π a f = e c + c f puis que E est l image de A par la rotation de centre F et d angle π Conclure 6 On considère un quadrilatère ABC D de sens direct On construit les points M, M, M et M 4 tels que AM B, BM C, C M D et DM 4 A soient des triangles rectangles isocèles directs en M, M, M et M 4 Démontrer, en utilisant les nombres complexes, que les segments [M M ] et [M M 4 ] sont orthogonaux et de même longueur 7 On considère un réel a > 0 et deux points A et B tels que AB = a On appelle f la transformation du plan qui à tout point M associe le point M tel que A = Bar { B;;M;; M,m } où m est un réel différent de Le but de l exercice est de déterminer la nature de f dans le cas où m = puis dans le cas où m = On considère le repère othonormal A; # u ; où # u est colinéaire et de même sens que AB # On note z et z les affixes de M et M Quelle est l affixe de B? Déterminer z en fonction de z Conclure 6 Annales de bac 8 Amérique du sud, novembre 00 Le plan est muni d un repère orthonormal direct Soit A, B et P les points d affixes respectives a = 5+5i, b = 5 5i et p = 0 On considère un point M, distinct de O, d affixe z On note U le point d affixe u, image du point M par la rotation R A de centre A et d angle de mesure π On note T le point d affixe t, image du point M par la rotation R B de centre B et d angle de mesure π Soit D le symétrique du point M par rapport à O EXERCICES 6
Terminale 7 S - 00/0 Démontrer que l affixe du point U est u = i0 z Exprimer en fonction de z l affixe du point T puis justifier que le quadrilatère MU DT est un parallélogramme de centre O Déterminer l ensemble Γ des points M d affixe z tels que : zz 5z 5z = 0 Justifier que le quadrilatère O APB est inscrit dans Γ On suppose que le point M est distinct de O, A et P Les points O, M et U sont donc distincts deux à deux a Démontrer que les points O, M etu sont alignés si et seulement si u z = u z b Démontrer que les points O, M etu sont alignés si et seulement si M appartient à Γ 4 Déterminer l ensemble des points M du plan tels que OMU soit un triangle isocèle en O Quelle est dans ce cas la nature du quadrilatère MUDT? 5 Déterminer l ensemble des nombres complexes z tels que u soit un imaginaire pur En déduire la nature du quadrilatère MUDT dans le cas où M est z un point de la droite OP privée de O et P Prouver finalement qu il existe une unique position du point M tel que MUDT soit un carré 9 Nouvelle Calédonie, mars 009 Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct d unité graphique cm On considère les points A et B d affixes respectives z A = et z B = +4i Soit C et D les points d affixes respectives z C = + i et z D = + i + L objet de l exercice est de proposer une construction géométrique des points D et C a Montrer que l image du point B par la rotation de centre A et d angle π est le point D b En déduire que B et D sont sur un cercle C de centre A dont on déterminera le rayon Soit F, l image du point A par l homothétie de centre B et de rapport a Montrer que l affixe z F du point F est i b Montrer que F est le milieu du segment [CD] c Montrer que z C z F z A z F = i En déduire la forme exponentielle de z C z F z A z F Déduire des questions précédentes que la droite AF est la médiatrice du segment [CD] Proposer un programme de construction pour D et C à partir de A, B et F et réaliser la figure 40 Nouvelle Calédonie, novembre 00 Le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct d unité graphique cm On considère les points A, B et C d affixes respectives : z A = i, z B = + i et z C = + i a Écrire z A, z B et z C sous forme exponentielle b En déduire le centre et le rayon du cercle Γ passant par les points A, B et C c Faire une figure et placer le point A, tracer le cercle Γ puis placer les points B et C z B z A a Écrire le quotient sous forme algébrique puis sous forme exponentielle z C z A b En déduire la nature du triangle ABC On note r la rotation de centre A et d angle π a Montrer que le point O, image de O par r, a pour affixe i b Démontrer que les points C et O sont diamétralement opposés sur le cercle Γ c Tracer l image Γ du cercle Γ par la rotation r d Justifier que Γ et Γ se coupent en A et B 4 a Déterminer l ensemble E des points M d affixe z tels que : z = z + + i b Montrer que A et B appartiennent à E 4 Polynésie, septembre 00 Le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct unité : cm On fera une figure que l on complétera au fur et à mesure des questions On considère les points A, B, S et Ω d affixes respectives a = +4i, b = 4+i et s = 5+5i et ω = +i Soit h l homothétie de centre S et de rapport Soit C l image de A par h et D l image de B par h a Déterminer l écriture complexe de h b Démontrer que le point C a pour affixe c = 4+i et que le point D a pour affixe d = 4i Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon Démontrer que la droite SΩ est la médiatrice du segment [AB] 4 Soit P le milieu du segment [AC ] a Déterminer l affixe p du point P b Démontrer que ω p d b = i En déduire une # mesure de l angle BD ; PΩ # 5 Soit Q le milieu du segment [BD] Que représente le point Ω pour le triangle PQS? 4 Polynésie, juin 009 Partie A - Restitution organisée de connaissances Le plan est muni d un repère orthonormal direct On supposera connus les résultats suivants : Pour tous points A, B et C du plan d affixes respectives a, b et c, avec A C et A B : b a c a = AB b a # et arg = AC, # AB + k π où AC c a k est un entier relatif ; NOMBRES COMPLEXES
Terminale 7 S - 00/0 Soit z un complexe et soit θ un réel : z = e iθ si et seulement si z = et argz = θ +k π où k est un entier relatif Démontrer que la rotation r d angle α et de centre Ω d affixe ω est la transformation qui à tout M d affixe z associe M d affixe z telle que : z ω = e iθ z ω Partie B Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct, unité graphique cm Soit f l application qui, à tout point M d affixe z associe le point M d affixe z telle que : z = iz + 4 + 4i a Déterminer l affixe ω de Ω tel que f Ω = Ω b Montrer que, pour tout nombre complexe z on a : z 4i = iz 4i c En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f On note A et B les points d affixes respectives a = 4 i et b = 4 + 6i a Placer les points A, B et Ω sur une figure à compléter au fur et à mesure des questions b Déterminer les affixes des points A et B images respectives des points A et B par f Soit m, n, p et q les affixes de M, N, P et Q, milieux respectifs des segments [AA ], [A B], [BB ] et [B A] a Déterminer m On admettra que n = + 7i, p = + i et q = i b Montrer que M N PQ est un parallélogramme c Déterminer la forme algébrique de q m n m En déduire la nature du quadrilatère M NPQ 4 Montrer que B A et ΩN sont perpendiculaires d Soit G l isobarycentre des points O, A, B et C On note G le point associé à G par f Déterminer les affixes des points G et G Le point G est-il l isobarycentre des points O, A, B et C? Montrer que si M appartient à AB alors M appartient à la parabole d équation y = x + 4 44 France, juin 009 sujet initial Le plan est muni d un repère orthonormal direct On désigne par A, B et J les points d affixes respectives i, i et i On désigne par la médiatrice du segment [AB] et par C le cercle de centre O et de rayon À tout point M d affixe z distincte de i, on associe le point M d affixe z telle que : z iz + i = z + i Le point M est appelé image du point M Calculer les affixes des points A et O Faire une figure iz + i Montrer que l équation z = admet deux z + i solutions On note E et F les images de ces solutions Justifier que E et F appartiennent à C 4 Soit M distinct de B et M son image a Exprimer OM en fonction de AM et BM b Montrer que si M décrit la droite, alors M décrit un cercle que l on précisera 5 Montrer que si M décrit la droite AB privée de B, alors M appartient à une droite que l on précisera 4 Liban, juin 009 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct unité graphique : cm On considère les points A, B et C d affixes respectives : Partie A z A = + i, z B = z A et z C = Écrire z A et z B sous forme exponentielle Placer les points A, B et C Démontrer que le triangle ABC est équilatéral Partie B Soit f l application qui, à tout point M du plan d affixe z, associe le point M d affixe z = iz On note O, A, B et C les points respectivement associés par f aux points O, A, B et C a Déterminer la forme exponentielle des affixes des points A, B et C b Placer les points A, B et C c Démontrer l alignement des points O, A et B ainsi que celui des points O, B et A 45 France, juin 009 sujet de secours Dans le plan complexe muni d un repère orthonormal direct, on associe à tout point M d affixe z non nulle, le point M milieu du segment [MM ] où M est le point d affixe z M est appelé l image de M a Montrer que les distances OM et OM vérifient la relation OM OM = et que les angles # u # ; OM et # u # ; OM vérifient l égalité suivante : # u # ; OM = # u # ; OM π b Placer un point A sur le cercle de centre O et de rayon puis construire A image de A a Justifier que pour tout nombre complexe z non z + z nul, le point M a pour affixe z = b Soient B et C d affixes i et i Calculer les affixes de B et C images de B et C c Placer les points B, C, B et C sur la figure Déterminer l ensemble des points M du plan tels que M = M 4 Montrer que si le point M appartient au cercle de centre O et de rayon alors son image M appartient au segment [K L] où K et L sont les points d affixes respectives et 4 EXERCICES 6