Correction du premier sujet Problème 1 1. Soit (u n ) la suite arithmétique de premier terme u 1 = 3 et de raison. Donner la somme des 0 premiers termes de cette suite. Préciser la formule utilisée.. Soit (u n ) la suite géométrique de premier terme u 1 = 3 et de raison. Donner la somme des 0 premiers termes de cette suite. Préciser la formule utilisée. 1. Si (u n ) est une suite arithmétique de raison r alors S = u 1 + + u n = n u 1+u n où u n = u 1 + (n 1)r. Ici, u 1 = 3 et r = donc u n = 3 + (0 1) = 41 et S = 41+3 0 = 440.. Si (u n ) est une suite géométrique de raison q alors S = u 1 + + u n = 1 q u n 1. Ici, u 1 q 1 = 3 et q = donc S = 3 1 0 = 3 145 75. 1 Problème Monsieur Durand a 50 000 à placer. La banque lui offre deux possibilités : un placement à intérêts simples au taux annuel de 11 % et un placement à intérêts composés au taux annuel de 9 %. Quel est le placement le plus intéressant s il veut placer son argent 6 ans? Et s il décide de placer son argent pour 3 ans seulement, quel est le placement le plus intéressant? Calculons la somme obtenue dans chacun des cas: 1. Si le placement dure 6 ans (a) avec des intérêts composés: S = 50000 (1 + 0, 09) 6 83 855 (b) avec des intérêts simples: S = 50000 (1 + 6 0, 11) 83 000 intérêts composés.. Si le placement dure 3 ans (a) avec des intérêts composés: S = 50000 (1 + 0, 09) 3 = 64 751, 45
(b) avec des intérêts simples: S = 50000 (1 + 3 0, 11) = 66 500 intérêts simples. Problème 3 Un capital de 0 000 est placé à un taux d intérêts composés de 4%. La valeur récupérée à l issue du placement est 7 371,381. Quelle est la durée de ce placement? Soit a le nombre d années de placement. On a Le placement a duré 8 ans. Problème 4 Résoudre 1. ln( 3x+1 x 7 ) 0. ln(x + 3x 3) 0 0 000(1 + 0, 04) a = 7 371, 381 (1, 04) a = 7 371, 381 0 000 ln((1, 04) a ) = 7 371, 381 ln( ) 0 000 a ln((1, 04)) = 7 371, 381 ln( ) 0 000 a = 7 371,381 ln( ) 0 000 8 ln(1, 04) 1. On veut que ln( 3x+1 3x+1 ) 0 = ln(1). Il faut donc que 1 et de plus, x 7 x 7 pour que le logarithme soit défini, il faut que 3x+1 > 0. Il y a deux cas x 7 possibles: (a) Si x 7 > 0 (càd x > 7 ), on a alors: 3x + 1 > 0 (car 3x+1 > 0) ce qui nous donne x > 1 x 7 3 1 3x + 1 x 7 x 8 3x+1 x 7 Il faut donc que x > 7 (b) Si x 7 < 0 (càd x < 7 ), on a alors:
3x + 1 < 0 (car 3x+1 > 0) ce qui nous donne x < 1 x 7 3 1 3x + 1 x 7 x 8 3x+1 x 7 Il faut donc que x 8 L ensemble solution est donc ] ; 8] ] 7 ; + [. On veut que ln(x +3x 3) 0 = ln(1). Il faut donc que x +3x 3 1 càd x + 3x 4 0 et de plus, pour que le logarithme soit défini, il faut que x + 3x 3 > 0. Cherchons les signes de x + 3x 4 et de x + 3x 3: (a) x + 3x 4: calculons le discriminant: = 3 4 1 ( 4) = 5 donc les solutions sont x 1 = 3 5 = 4 et x = 3+5 = 1. On obtient le tableau suivant: x 4 1 + (x + 4) 0 + 0 + (x 1) 0 + x + 3x 4 = (x + 4)(x 1) + 0 0 + Pour que x + 3x 4 0, il faut donc que x [ 4, 1]. (b) x + 3x 3: calculons le discriminant: = 3 4 1 ( 3) = 1 donc les solutions sont x 1 = 3 1 3, 79 et x = 3+ 1 0, 79. On obtient le tableau suivant: x 3 1 3+ 1 + (x 3 1 ) 0 + 0 + (x 3+ 1 ) 0 + x + 3x 3 + 0 0 + Pour que x +3x 3 > 0, il faut donc que x ], 3 1 [ ] 3+ 1, + [. Pour que x + 3x 4 0 et x + 3x 3 > 0, il faut donc que x [ 4, 3 1[ ] 3+ 1, 1].
Correction du deuxième sujet Problème 1 1. Soit (u n ) la suite arithmétique de premier terme u 1 = et de raison 3. Donner la somme des 0 premiers termes de cette suite. Préciser la formule utilisée.. Soit (u n ) la suite géométrique de premier terme u 1 = et de raison 3. Donner la somme des 0 premiers termes de cette suite. Préciser la formule utilisée. 1. Si (u n ) est une suite arithmétique de raison r alors S = u 1 + + u n = n u 1+u n où u n = u 1 + (n 1)r. Ici, u 1 = et r = 3 donc u n = + (0 1) 3 = 59 et S = 59+ 0 = 610.. Si (u n ) est une suite géométrique de raison q alors S = u 1 + + u n = 1 q u n 1. Ici, u 1 q 1 = et q = 3 donc S = 1 30 = 3 486 784 400 1 3 Problème Monsieur Durand a 50 000 à placer. La banque lui offre deux possibilités : un placement à intérêts simples au taux annuel de 10 % et un placement à intérêts composés au taux annuel de 8 %. Quel est le placement le plus intéressant s il veut placer son argent 9 ans? Et s il décide de placer son argent pour 4 ans seulement, quel est le placement le plus intéressant? Calculons la somme obtenue dans chacun des cas: 1. Si le placement dure 9 ans (a) avec des intérêts composés: S = 50000 (1 + 0, 08) 9 99 950, 3 (b) avec des intérêts simples: S = 50000 (1 + 9 0, 10) = 95 000 intérêts composés.. Si le placement dure 4 ans (a) avec des intérêts composés: S = 50000 (1 + 0, 08) 4 = 68 04, 45
(b) avec des intérêts simples: S = 50000 (1 + 4 0, 10) = 70000 intérêts simples. Problème 3 Un capital de 0 000 est placé à un taux d intérêts composés de 6%. La valeur récupérée à l issue du placement est 3 80,3. Quelle est la durée de ce placement? Soit a le nombre d années de placement. On a Le placement a duré 3 ans. Problème 4 Résoudre 1. ln( 3x 1 x+4 ) 0. ln(x + x 7) 0 0 000(1 + 0, 06) a = 3 80, 3 (1, 06) a = 3 80, 3 0 000 ln((1, 06) a ) = 3 80, 3 ln( 0 000 ) 3 80, 3 a ln((1, 06)) = ln( 0 000 ) a = ln( 3 80,3 0 000 ) ln(1, 06) 1. On veut que ln( 3x 1 3x 1 ) 0 = ln(1). Il faut donc que 1 et de plus, x+4 x+4 pour que le logarithme soit défini, il faut que 3x 1 > 0. Il y a deux cas x+4 possibles: (a) Si x + 4 > 0 (càd x > 4), on a alors: 3 3x 1 > 0 (car 3x 1 x+4 > 0) ce qui nous donne x > 1 3 3x 1 x+4 1 3x 1 x + 4 x 5 Il faut donc que x 5 ] 1, 5]. 3 et x > 1. L ensemble solution est donc 3
(b) Si x + 4 < 0 (càd x < 4), on a alors: 3x 1 < 0 (car 3x 1 > 0) ce qui nous donne x < 1 x+4 3 3x 1 1 3x 1 x + 4 x 5 x+4 Il n est pas possible que x 5 et x < 1 donc il n y a pas de 3 solution. L ensemble solution est donc ] 1 3, 5 ].. On veut que ln(x +x 7) 0 = ln(1). Il faut donc que x +x 7 1 càd x + x 8 0 et de plus, pour que le logarithme soit défini, il faut que x + x 7 > 0. Cherchons les signes de x + x 8 et de x + x 7: (a) x + x 8: calculons le discriminant: = 4 1 ( 8) = 36 donc les solutions sont x 1 = 6 = 4 et x = +6 =. On obtient le tableau suivant: x 4 + (x + 4) 0 + 0 + (x ) 0 + x + x 8 = (x + 4)(x ) + 0 0 + Pour que x +x 8 0, il faut donc que x ], 4] [1, + [. (b) x + x 7: calculons le discriminant: = 4 1 ( 7) = 3 donc les solutions sont x 1 = 3 3, 83 et x = + 3 1, 83. On obtient le tableau suivant: x 3 + 3 + (x 3 ) 0 + 0 + (x + 3 ) 0 + x + x 7 + 0 0 + Pour que x +x 7 > 0, il faut donc que x ], 3 [ ] + 3, + [. Il suffit donc que x ], 4] [, + [ pour que ln(x + x 7) 0. Remarque: l une de ces étapes est inutile. En effet, si x + x 7 1 alors forcément x + x 7 > 0.