Les notions de dérivées et primitives sont essentielles en équations différentielles ou en intégrations. Leurs multiples applications en physiques et biologie en font un élément incontournable des mathématiques d aujourd hui. I. Dérivées Dans cette partie, on va se limiter à la notion de dérivée. A. Rappel de la classe de er STI2D et compléments Les dérivées usuelles ax + b Ensemble de définition D f Fonction dérivée f (x) Ensemble de dérivabilité x s (s R) x x cos (x) sin (x) e x ln (x) Remarques :
Les opérations sur les dérivées Fonction dérivée f (x) u(x) + v(x) ku(x) u(x)v(x) u(x) v(x) Exemples : Calculer les dérivées des trois fonctions suivantes f(x) = x 2 + x + cos(x) ; g(x) = xsin(x) et h(x) = x + 2 3x + 2
B. Dérivée d une fonction composée Propriété : Dérivée de u(x) n Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et n N. La fonction f définie sur I par f(x) = u(x) n est dérivable sur I par : Exemples : Calculer les dérivées des deux fonctions suivantes f(x) = (3x ) 2000 et g(x) = sin(x) 3 Propriété : Dérivée de f(u(x)) Soient f un fonction dérivable sur J et u une fonction dérivable sur I telle que u(x) J pour tout x I. La fonction g: x f(u(x)) est dérivable sur I par Exemples : Calculer les dérivées des deux fonctions suivantes f(x) = (2x ) 2 = (2x ) 2 et g(x) = cos(x) 3
Les dérivées de fonctions composées Fonction dérivée f (x) u(x) s (s R) u(x) u(x) cos (u(x)) sin (u(x)) e u(x) ln (u(x)) C. Dérivées successives Soit f dérivable sur I et f sa dérivée. Si f est dérivable sur I, on nomme f sa dérivée et l appelle dérivée seconde de f. On note aussi f (2) ou d2 f dx 2. En généralisant, f (n) est la dérivée n-ième de f Exemple : On considère f(x) = x 2 + 2 + x 4
II. Primitives Dans cette partie, on va définir la notion de primitive essentielle dans la suite du programme de A. Définition Définition : Primitive Soit fune fonction définie sur un intervalle I. On appelle F primitive de f sur I, toute fonction dont la dérivée sur I est f. C est-à-dire que F est une primitive de f lorsque pour tout x I. Exemple : On considère la fonction définie sur R par f(x) = 4x + 5. Les fonctions F: x et G: x sont des primitives sur R de f et g. Propriété : F (x) = 4x + 5 = f(x) et G (x) = 4x + 5 = f(x) Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si F est une primitive de f sur I, alors toutes les primitives de f sur I sont les fonction x F(x) + c où c est un nombre réel quelconque. Exemple : On considère la fonction définie sur R par f(x) = 2x +. La fonction F: x est une primitive de f. Toutes les primitives de f sur R sont les fonctions F c (x) =. Propriété : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Il existe une unique primitive F 0 qui soit primitive de f et prenne la valeur y 0 en x 0. C est-à-dire que Exemple : On considère la fonction définie sur R par f(x) = 4x 3. Les fonctions F c : x sont les primitives de f sur R. Il existe une unique primitive tel que F(6) = 7. 5
B. Primitives usuelles On considère f une fonction définie sur l intervalle I et F c sont toutes les primitives de f sur I. Fonction f Primitives F c Intervalle I 0 a x x 2 x x s (s ) cos (x) sin (x) x e x Exemple : On considère les fonctions f(x) = x 7 et g(x) = x 4 = x 4. Les primitives sont : C. Opérations sur les primitives Comme pour la notion de dérivée, il faut connaitre les deux opérations possibles sur les primitives. On considère f et g deux fonctions définie sur I et F c et G c les primitives de f et g sur I. Fonction kf(x) (k R) f(x) + g(x) On démontre cela facilement pour tout x I, Primitives 6
D. Primitives d une fonction composée u est une fonction dérivable sur un intervalle I. Propriété : Primitive de u(x) n u (x) Pour tout entier relatif n, on considère la fonction définie sur I par f(x) = u(x) n u (x) pour tout x I. Les primitives de la fonction f sont Exemple : On considère les fonctions f(x) = 2(2x ) 7 et g(x) = (2x 2 + x )(4x + ). Les primitives sont : On peut tout résumer sur un tableau des dérivées composées. Les primitives de fonctions composées Primitives F c (x) u(x) s u (x) (s ) u(x) 2 u (x) u(x) u (x) cos(u(x)) u (x) sin(u(x)) u (x) e u(x) u (x) u (x) u(x) 7