Angles orientés et repérage, cours, première S F.Gaudon 19 novembre 2009 Table des matières 1 Angles orientés 2 2 Propriétés des mesures d'angles orientés 3 3 Cosinus et sinus d'angles orientés 4 3.1 Cosinus et sinus d'un réel................................... 4 3.2 Cosinus et sinus d'un angle orienté.............................. 5 3.3 Résolution d'équations trigonométriques........................... 6 4 Coordonnées polaires dans le plan 6 1
1 Angles orientés Soit (O; i; j) un repère du plan. Sur le cercle trigonométrique (cercle de centre O et de rayon 1), deux sens de parcours sont possibles, l'un est dit direct, l'autre indirect. Un sens de parcours direct (par convention on prend le sens inverse des aiguilles d'une montre) étant choisi, le plan est alors dit orienté. M et N sont les points images des réels x et y sur le cercle trigonométrique de centre O. Les mesures en radians de l'angle orienté noté ( OM; ON) sont les réels y x + 2kπ où k Z. On note plus simplement par abus de notation ( OM; ON) = y x. Propriété et dénition : M et N sont deux points du cercle trigonométrique de centre O. L'angle orienté ( OM; ON) possède une mesure et une seule a dans l'intervalle ] π; π]. Cette mesure est appelée mesure principale de l'angle orienté ( OM; ON). L'angle non orienté (encore appelé géométrique M ON est égale à a radians. Toute mesure en radians d'un angle orienté est de la forme x + 2kπ où k Z. On cherche les entiers k tels que π x + 2kπ π. Cela équivaut à π x 2kπ π x ou encore à pi+x k π x 2π 2π c'est à dire 1 x k 1 x. L'encadrement étant d'amplitude 1, il existe un uique entier k qui y 2 2π 2 2π appartient ce qui signie que l'angle orienté admet une et une seule mesure entre π et π. http: // mathsfg. net. free. fr 2
Soient u et v deux réels non nuls. Soient M et N les points du cercle trigonométrique tels que OM est colinéaire de même sens à u et ON est colinéaire de même sens à v. On appelle mesure de l'angle orienté ( u; v) toute mesure en radian de l'angle ( OM; ON). Dénition (Redénition des rotations) : Soit O un point et α un réel. La rotation de centre O et d'angle α radians est la transformation du plan orienté telle que l'image de O est O et pour tout point M distinct de O, l'image M' de M vérie : OM = OM et ( OM; OM ) = α 2 Propriétés des mesures d'angles orientés Propriété (relation de Chasles) : Pour tous les vecteurs non nuls u, v et w, ( u; v) = ( u; w) + ( w; v) Admise http: // mathsfg. net. free. fr 3
Soient u et v deux vecteurs non nuls. u et v sont colinéaires de même sens si et seulement si ( u; v) = 0. u et v sont colinéaires de sens contraire si et seulement si ( u; v) = π. Conséquence directe de la dénition des angles orientés. Conséquences de la relation de Chasles : Pour tous les vecteurs u et v non nuls, ( v; u) = ( u; v) ; ( u; v) = ( u; v) + π ; ( u; v) = ( u; v) + π ; ( u; v) = ( u; v). On a ( u; u) = 0 et d'après la relation de Chasles ( u; u) = ( u; v) + ( v; u) donc ( u; v) = ( v; u) ; ( u; v) = ( u; v) + ( v; v) = ( u; v) + π ; de même que précédemment ; ( u; v) = ( u; u) + ( u; v) + ( v; v) = π + ( u; v) + π = ( u; v). Exemple (fondamental) : ABC est un triangle. On a( AB; AC) + ( AC; BC) + ( BC; BA) = ( AB; AB) = 0 d'après la relation de Chasles donc ( AB; AC) + ( BC; BA) + ( CA; CB) = ( AB; AC) + ( AC; BC) + ( BC; BA) + π = π d'où la somme des angles orientés dans un triangle est égale à π radians. Les rotations et les translations conservent les angles orientés. Les ré- exions changent la mesure des angles orientés en leur opposée. Admis 3 Cosinus et sinus d'angles orientés 3.1 Cosinus et sinus d'un réel Soit (O : i; j) un repère orthonormal et C le cercle trigonométrique de centre O. Soit M le point de C image du réel x. On appelle : cosinus de x noté cos(x) l'abscisse du point M ; sinus de x noté sin(x) l'ordonnée du point M. http: // mathsfg. net. free. fr 4
Propriétés : Pour tout réel x et tout entier relatif k : 1 cos(x) 1 ; 1 sin(x) 1 ; cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1 ; cos(x + k2π) = cos(x) ; sin(x + k2π) = sin(x). Conséquences directes de la dénition. 3.2 Cosinus et sinus d'un angle orienté Propriété et dénition : Le cosinus (ou le sinus) d'un angle orienté est le cosinus (ou le sinus) d'une mesure en radians de cet angle orienté. Si α et β sont deux mesures en radians de l'angle ( u; v), alors il existe un entier k tel que α = β + k2π. On a donc cos(α) = sin(β). Propriétés : Pour tout réel x : cos( x) = cos(x) ; sin( x) = sin(x) ; cos(π x) = cos(x) ; sin(π x) = sin(x) ; cos(π + x) = cos(x) ; sin(π + x) = sin(x) ; cos( π x) = sin(x) ; 2 sin( π x) = cos(x). 2 http: // mathsfg. net. free. fr 5
3.3 Résolution d'équations trigonométriques L'équation cos(x) = cos(θ) équivaut dans R à x = θ + 2kπ avec k Z ou x = θ + 2k π avec k Z. L"équation sin(x) = sin(θ) équivaut dans R à x = θ + 2kπ avec k Z ou x = π θ + 2k π avec k Z. admis 4 Coordonnées polaires dans le plan Soient O et I deux points distincts tels que OI = 1. M est un point du plan distinct de O. Tout couple (r; θ) avec r > 0 tel que OM = r et ( OI; OM) = θ est un couple de coordonnées polaires dans le repère polaire (O; OI). Remarques : Si (r; θ) est un couple de coordonnées polaires d'un point M, alors tout couple (r; θ + k2π) où k est un entier relatif est un autre couple de coordonnées polaires de M ; un repère polaire étant choisi, à tout couple de coordonnées polaires correspond un point et un seul ; pour l'origine O, on convient que r = 0 et θ est quelconque. Soit (O; i; j) un repère orthonormal. Si un point M distinct de O a pour coordonnées (x; y) dans ce repère et pour coordonnées polaires (r; θ) dans le repère polaire (O; i), alors : r = x 2 + y 2 ; x = r cos(θ) ; y = r sin(θ). Soit C le cercle trigonométrique de centre O. La demi-droite [OM) coupe C en un point N. Alors OM et ON sont colinéaires de même sens. On a OM = r et ON = 1 donc OM = ron. N est sur C et ( i; ON) = ( i; OM) donc les coordonnées cartésiennes de N sont (cos(θ); sin(θ)). Par suite, les coordonnées cartésiennes de M sont (r cos(θ); r sin(θ)). En outre OM 2 = x 2 + y 2. Propriété (lien avec les rotations : http: // mathsfg. net. free. fr 6
Dans le cas d'une rotation de centre O et d'angle α, si M de coordonnées polaires (r; θ) a pour image M' de coordonnées polaires (r, θ ),alors les coordonnées polaires de M' vérient r = r et θ = θ + α. Remarque : Les règles de calcul sur les coordonnées cartésiennes ne s'appliquent pas en général aux coordonnées polaires. http: // mathsfg. net. free. fr 7