HAITRE 4 : RAISONNEMENT DES SYSTÈMES DE OMMANDE RAISONNEMENT DES SYSTÈMES DE OMMANDE... 2 INTRODUTION... 22 RAELS... 22 alcul de la valeur ntale de la répone à un échelon... 22 alcul du gan tatque... 22 omportement d'un ytème ntégrateur... 23 FONTIONNEMENT INTUITIF D'UN RÉGULATEUR... 24 NÉESSITÉ D'UN INTÉGRATEUR DANS LE RÉGULATEUR... 27 Échelon de congne... 27 erturbaton en échelon à l'entrée du procédé... 28 erturbaton en échelon à la orte du procédé... 22 ANALYSE DES ASSERVISSEMENTS AUX TEMS ZÉRO ET INFINI... 22 ROÉDÉ ET RÉGULATEUR AVE HAUN UNE INTÉGRATION... 225
haptre 4 INTRODUTION ette ecton ntrodut le comportement de ytème en boucle fermée et de leur régulateur. Avant d'aborder le ujet, quelque rappel 'avèrent utle. RAELS alcul de la valeur ntale de la répone à un échelon S la foncton de tranfert du ytème et G(), alor la valeur ntale de a répone à un échelon d'ampltude u et: Y( ) G( ) U ( ) y( ) lm Y() G u lm ( ) lm u G( ) Au facteur u prè, la valeur ntale de la orte 'obtent donc en remplaçant dan la foncton de tranfert par. On contate la dualté temp-fréquence, c'et-à-dre que la valeur à t e calcule avec ω ( jω) tendant ver l'nfn. alcul du gan tatque Le gan tatque K d'un ytème aymptotquement table (an ntégraton) peut 'obtenr en calculant la répone du ytème en régme permanent à un échelon (fgure 4.). Mathématquement, on obtent: Fgure 4. Sytème et commande lnéare GEL-25 22
haptre 4 y( ) lm Y( ) G u lm ( ) lm u G( ) Le gan tatque et donc: K y ( ) u lm G( ) Le gan tatque d'un ytème aymptotquement table e calcule donc en remplaçant par dan la foncton de tranfert. On contate encore une fo la dualté temp-fréquence. Le gan tatque et une nformaton ur le comportement en régme permanent ( t ) et l 'obtent par une analye aux bae fréquence ( jω ). omportement d'un ytème ntégrateur Un ytème ntégrateur et un ytème qu ntègre l'entrée. Sa foncton de tranfert et K G( ). An, l'entrée et un échelon, alor la orte et une rampe (fgure 4.2). Fgure 4.2 La orte d'un ntégrateur ne peut être dcontnue car la urface de l'entrée et une foncton contnue. La eule excepton et une entrée contenant une mpulon (fgure 4.3). e réultat 'explque également par le fat que n m (tableau.). our que la orte d'un ntégrateur ot contante, l faut que l'entrée ot nulle (l n'y a plu de urface qu 'accumule et par conéquent la orte demeure contante). La fgure 4.4 llutre ce phénomène. Sytème et commande lnéare GEL-25 23
haptre 4 Fgure 4.3 Fgure 4.4 FONTIONNEMENT INTUITIF D'UN RÉGULATEUR L'aervement étudé et llutré à la fgure 4.5. Fgure 4.5 Sytème et commande lnéare GEL-25 24
haptre 4 On uppoe que le régulateur et un I (proportonnel ntégral). 'et le régulateur de lon le plu utlé. Sa foncton de tranfert et: K G ( ) K ( T ) T K T Le premer terme et un gan (proportonnel) et le econd et un ntégrateur. La fgure 4.6 montre l'aervement avec un régulateur I. Fgure 4.6 Le gnaux u p (t) et u (t) ont repectvement le acton proportonnelle et ntégrale du régulateur I. Un de objectf du régulateur et d'amener la orte égale à la congne en régme permanent: y( ) r( ) ε( ) La fgure 4.7 montre le dfférent gnaux du ytème ute à un échelon de congne d'ampltude r. On a uppoé que le procédé et aymptotquement table (pa d'ntégrateur) et à gan potf. Sytème et commande lnéare GEL-25 25
haptre 4 r r(t) y(t) ε(t) Temp K r u(t) u (t) u p (t) Temp Fgure 4.7 Analyon d'abord le ytème (ntalement au repo) à t : On uppoe la orte du procédé contnue (ca de ytème phyque en général, n> m ). ar conéquent, y( ) même u( ). ε( ) r( ) y( ) r u ( ) K ε( ) K r p uque la orte d'un ntégrateur n'et pa dcontnue, on a u ( ). u( ) up ( ) u ( ) Kr L'acton potve calculée par le régulateur entraîne une augmentaton de la valeur de la orte et par conéquent une dmnuton de l'erreur et de l'acton proportonnelle. Tant que l'erreur n'et pa nulle, l'acton proportonnelle et dfférente de zéro et l'acton ntégrale n'et pa contante (la orte d'un ntégrateur n'et contante que on entrée et nulle). La varable manpulée et donc actve (non contante) tant que l'erreur n'et pa nulle. Le régulateur tente donc de fare bouger la orte du procédé en varant u( t) juqu'à ce que l'erreur ot nulle. Sytème et commande lnéare GEL-25 26
haptre 4 En régme permanent, l'erreur et nulle et l'acton u( t) contante. L'acton proportonnelle et nulle. On contate donc que, ute à un échelon de congne: à t, l'acton provent de la parte proportonnelle du régulateur, à t, l'acton provent de la parte ntégrale du régulateur, et la combnaon de acton proportonnelle et ntégrale aure que u( t) n'et pa contante tant que ε et que u( t) prend une valeur telle en régme permanent que ε. NÉESSITÉ D'UN INTÉGRATEUR DANS LE RÉGULATEUR Et-l néceare que le régulateur poède un ntégrateur pour avor une erreur nulle en régme permanent? La répone à cette queton et obtenue mathématquement pour le ca uvant: échelon de congne, perturbaton en échelon à l'entrée du procédé, et perturbaton en échelon à la orte du procédé. Échelon de congne Le dagramme fonctonnel du ytème et tracé à la fgure 4.8. L'ampltude de l'échelon de congne et r. En régme permanent, l'objectf et d'obtenr y( ) r. Fgure 4.8 L'analye du ytème mène aux équaton uvante: Sytème et commande lnéare GEL-25 27
haptre 4 our obtenr y( ) r, l faut que our cela, l faut que G ( ) G ( ) Y( ) R( ) G ( ) G ( ) G ( ) G( ) r G ( ) G ( ) y( ) lm Y( ) r G ( ) Gp( ) lm G ( ) G ( ) G ( ) G ( ) lm G ( ) G ( ) lm G ( ) G ( ) >> ette relaton 'obtent G ( ) G ( ) content au mon un ntégrateur, c'et-à-dre G ( ) G ( ) et de la forme uvante: G ( ) G ( ) m Ao A Am α n α ( α enter) ( B B B ) 2 n Le ytème aerv ne préente donc pa d'erreur tatque à un échelon de congne G ( ) et/ou G ( ) poèdent au mon un ntégrateur. erturbaton en échelon à l'entrée du procédé La fgure 4.9 et le dagramme fonctonnel du ytème. L'ampltude de la perturbaton en échelon et p. En régme permanent, la valeur dérée de la orte et y( ). Fgure 4.9 Sytème et commande lnéare GEL-25 28
haptre 4 Un dagramme fonctonnel équvalent à la fgure 4.9 et llutré à la fgure 4.. Fgure 4. La relaton entre la orte du ytème et la perturbaton et: En régme permanent la orte et: our que y( ), l faut que 'et donc dre que G G ( ) Y( ) ( ) G ( ) G ( ) G ( ) p G ( ) G ( ) pg ( ) y( ) lm G ( ) G ( ) lm G ( ) >> ( ) dot poéder au mon un ntégrateur. Dan ce ca, on obtent: pg ( ) y( ) lm G ( ) G ( ) pg ( ) lm G ( ) G ( ) p lm G ( ) Sytème et commande lnéare GEL-25 29
haptre 4 Il n'y a donc pa d'erreur tatque ute à une perturbaton en échelon à l'entrée du procédé G ( ) poède au mon un ntégrateur. erturbaton en échelon à la orte du procédé La fgure 4. montre deux dagramme fonctonnel équvalent du ytème aerv attaqué par une perturbaton en échelon, d'ampltude p, à la orte du procédé. Fgure 4. L'objectf et d'obtenr y( ). Le relaton décrvant le ytème ont: Afn que y( ) tende ver zéro, l faut p Y( ) G ( ) G ( ) p y( ) lm G ( ) G ( ) lm G ( ) G ( ) >> Sytème et commande lnéare GEL-25 22
haptre 4 ar conéquent, ute à une perturbaton en échelon à la orte du procédé, l'erreur tatque et nulle G ( ) et/ou G ( ) poèdent au mon un ntégrateur. ANALYSE DES ASSERVISSEMENTS AUX TEMS ZÉRO ET INFINI Il et mportant pour un automatcen de pouvor analyer rapdement un ytème aerv. Dan cette ecton, le valeur à t et t de la orte du procédé et de la commande ont calculée de deux façon. La premère technque conte à écrre l'expreon de Y( ) et de U ( ) et pu à leur applquer le théorème de la valeur ntale et de la valeur u, u, y et y conte à utler beaucoup plu a tête et ben mon le technque mathématque. fnale. La econde façon d'obtenr ( ) ( ) ( ) ( ) EXEMLE 4. Le régulateur et un I, G ( ), et le procédé et un premer ordre, G ( ) (fgure 4.2). Sute à un échelon de congne d'ampltude untare applqué à t, calculez u( ), u( ), y ( ) et y( ). Le ytème et ntalement au repo. Fgure 4.2 alculon d'abord Y( ) et U ( ). ar la ute, l ne rete qu'à applquer le théorème de la valeur ntale et de la valeur fnale. Sytème et commande lnéare GEL-25 22
haptre 4 G ( ) G ( ) Y( ) R( ) G ( ) G ( ) ( ) [ ] [ ] U ( ) G ( ) R( ) Y( ) G ( ) R( ) G ( ) U ( ) G ( ) R( ) G ( ) G ( ) 2 y( ) lm Y( ) lm y( ) lm Y( ) lm u( ) lm U ( ) lm u( ) lm U ( ) e même réultat peuvent être rapdement obtenu en utlant effcacement no connaance ur le ytème. Le procédé et un ytème phyque dont l'ordre du numérateur de a foncton de tranfert et nféreur à l'ordre du dénomnateur. ar conéquent, a orte à t ne peut changer ntantanément même u( ) (tableau.): Sytème et commande lnéare GEL-25 222
haptre 4 y( ) En régme permanent la orte rejont la congne car G ( ) G ( ) poède un ntégrateur: uque r( ) et y( ) : y( ) ε( ) r( ) y( ) u p ( ) ε( ) La orte de l'ntégrateur ne bouge pa ntantanément. ar conéquent: u ( ) u( ) u ( ) u ( ) Sachant que le procédé et à gan untare et que y( ), alor l et clar que: p u( ) y( ) EXEMLE 4.2 Le ytème étudé (régulateur I et procédé ntégrateur) et llutré à la fgure 4.3. alculez u( ), u( ), y( ) et y( ). Fgure 4.3 Sytème et commande lnéare GEL-25 223
haptre 4 G ( ) G ( ) Y( ) G ( ) G ( ) R ( ) r K ( T ) 2 T K ( T ) y( ) lm Y( ) T r K 2 lm T T K 2 ec état prévble car la orte du procédé ne peut bouger ntantanément même u( ) ( n m ) : y( ) lm Y( ) r lm r K ( T ) 2 T K ( T ) Il et normal que la orte rejogne la congne en régme permanent car G ( ) G ( ) poède deux ntégrateur. [ ] U ( ) G ( ) R( ) G ( ) U ( ) G ( ) R( ) G ( ) G ( ) K ( T ) r 2 T K ( T ) u( ) lm U ( ) Kr T lm T T K 2 K r Il état facle de prévor cette valeur car: Sytème et commande lnéare GEL-25 224
haptre 4 u p ( ) K ε( ) [ ( ) ( )] K r y K r u ( ) u( ) u ( ) u ( ) p K r Fnalement, la valeur en régme permanent de la commande et: u( ) lm lm U() K r 2 ( T ) ( ) 2 T K T Encore une fo, cette valeur état prévble. En effet, puque le procédé et ntégrateur et que a orte en régme permanent et contante, y( ), alor on entrée dot nécearement être nulle. ROÉDÉ ET RÉGULATEUR AVE HAUN UNE INTÉGRATION our qu'un ytème aerv amène la orte en régme permanent à la congne dan toute le tuaton (changement de congne et perturbaton à l'entrée et à la orte du procédé), le régulateur dot poéder un ntégrateur. S de plu le procédé poède également un ntégrateur, le ytème aerv préente alor un comportement ndérable ma qu ne peut être élmné. Sute à un échelon de congne, la orte dépaera aurément, et peut-être de façon mportante, la congne. ourquo en et-l an? La fgure 4.4 montre le dagramme fonctonnel du ytème. Le ytème et ntalement au repo et l'échelon de congne d'ampltude r et applqué à t. Une analye du ytème condut aux réultat uvant: y( ) ε ( ) r u ( ) u( ) u p y( ) r u( ) K r ε( ) ( ) u ( ) p u ( ) K r Sytème et commande lnéare GEL-25 225
haptre 4 Fgure 4.4 On contate donc que le valeur ntale et fnale de u ( t) ont nulle. La relaton entre u ( t) et ε(t) et la uvante: K U ( ) ε ( ) T Le gnal u ( t ) et donc l'ntégraton de l'erreur. L'erreur et ntalement égale à r et vaut en régme permanent. our que u ( t), qu calcule la urface de ε( t ), ot nulle en régme permanent, l faut donc que ε( t ) change de gne (fgure 4.5). L'erreur ε( ) t et la dfférence entre la congne et la orte. uqu'elle change de gne, l y a donc un dépaement (fgure 4.6). Sytème et commande lnéare GEL-25 226
haptre 4 r ε(t) A A 2 A 2 A Temp K A T u (t) Temp Fgure 4.5 r r(t) y(t) ε(t) Temp Fgure 4.6 Sytème et commande lnéare GEL-25 227